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1.（2023·枣庄中考）先化简，再求值：$(a - \frac{a^2}{a^2 - 1}) \div \frac{a^2}{a^2 - 1}$，其中$a$的值从不等式组$-1 ＜ a ＜ \sqrt{5}$的解集中选取一个合适的整数.
答案
原式 = $(\frac{a^{3}-a}{a^{2}-1}-\frac{a^{2}}{a^{2}-1})\div\frac{a^{2}}{a^{2}-1}=\frac{a(a^{2}-1)}{a^{2}-1}\cdot\frac{a^{2}-1}{a^{2}}=\frac{a^{2}-a - 1}{a}$。$\because a^{2}\neq0,a^{2}-1\neq0,\therefore a\neq0,a\neq\pm1$。$\because\sqrt{4}=2\lt\sqrt{5}\lt\sqrt{9}=3,\therefore - 1\lt a\lt\sqrt{5}$的整数解有$0,1,2$。$\because a\neq0,a\neq\pm1,\therefore a = 2$，原式$=\frac{2^{2}-2 - 1}{2}=\frac{1}{2}$。
2.（1）已知$x^2 + 7xy + y^2 = 0(x \neq 0,y \neq 0)$，则代数式
$\frac{y}{x}$
+
$\frac{x}{y}$
的值等于________.答案
- 7
（2）（2023·福建中考）已知$\frac{1}{a} + \frac{2}{b} = 1$，且$a \neq -b$，则$\frac{ab - a}{a + b}$的值为________.
答案
1
3. 先化简，再求值：$(1 - \frac{2}{x}) \div \frac{x^2 - 4x + 4}{x^2 - 4} - \frac{x + 4}{x + 2}$，其中$x^2 + 2x - 15 = 0$.
答案
原式$=\frac{x - 2}{x}\cdot\frac{x + 2}{x - 2}-\frac{x + 4}{x + 2}=\frac{x + 2}{x}-\frac{x + 4}{x + 2}=\frac{4}{x^{2}+2x}$。
$\because x^{2}+2x - 15 = 0,\therefore x^{2}+2x = 15,\therefore$原式$=\frac{4}{15}$。
$\because x^{2}+2x - 15 = 0,\therefore x^{2}+2x = 15,\therefore$原式$=\frac{4}{15}$。
4. 如果$a$、$b$、$c$是正数，且满足$a + b + c = 9$，$\frac{1}{a + b} + \frac{1}{b + c} + \frac{1}{c + a} = \frac{10}{9}$，试求$\frac{a}{b + c} + \frac{b}{c + a} + \frac{c}{a + b}$的值.
答案
$\because a,b,c$是正数，且满足$a + b + c = 9,\therefore a = 9 - b - c,b = 9 - a - c,c = 9 - a - b$。
$\therefore$原式$=\frac{9 - b - c}{b + c}+\frac{9 - a - c}{c + a}+\frac{9 - a - b}{a + b}=\frac{9}{b + c}+\frac{9}{c + a}+\frac{9}{a + b}-3 = 9\times\frac{10}{9}-3 = 7$。
$\therefore$原式$=\frac{9 - b - c}{b + c}+\frac{9 - a - c}{c + a}+\frac{9 - a - b}{a + b}=\frac{9}{b + c}+\frac{9}{c + a}+\frac{9}{a + b}-3 = 9\times\frac{10}{9}-3 = 7$。
5.（1）已知$a + \frac{1}{a} = 4$，则$(a - \frac{1}{a})^2 =$________.
答案
12 解析：$\because(a+\frac{1}{a})^{2}=4^{2},\therefore a^{2}+\frac{1}{a^{2}}+2 = 16,\therefore a^{2}+\frac{1}{a^{2}}-2 = 12$，
即$(a-\frac{1}{a})^{2}=12$。
即$(a-\frac{1}{a})^{2}=12$。
（2）若$x - \frac{1}{x} = 3$，则$\frac{x^2}{x^4 + 1} =$________.
答案
$\frac{1}{11}$ 解析：将$x-\frac{1}{x}=3$两边平方得$(x - \frac{1}{x})^{2}=x^{2}+\frac{1}{x^{2}}-2 = 9$，
即$x^{2}+\frac{1}{x^{2}}=11$，则原式$=\frac{1}{x^{2}+\frac{1}{x^{2}}}=\frac{1}{11}$。
即$x^{2}+\frac{1}{x^{2}}=11$，则原式$=\frac{1}{x^{2}+\frac{1}{x^{2}}}=\frac{1}{11}$。
6.（1）已知$a ＞ b ＞ 0$，$a^2 + b^2 = 3ab$，则$\frac{a + b}{a - b}$的值为________.
答案
$\sqrt{5}$ 解析：$\because a^{2}+b^{2}=3ab,\therefore(a + b)^{2}=5ab,(a - b)^{2}=ab$。$\because a\gt b\gt0$，
$\therefore\frac{a + b}{a - b}\gt0,\therefore\frac{a + b}{a - b}=\sqrt{\frac{(a + b)^{2}}{(a - b)^{2}}}=\sqrt{\frac{5ab}{ab}}=\sqrt{5}$。
$\therefore\frac{a + b}{a - b}\gt0,\therefore\frac{a + b}{a - b}=\sqrt{\frac{(a + b)^{2}}{(a - b)^{2}}}=\sqrt{\frac{5ab}{ab}}=\sqrt{5}$。
（2）若$a^2 + \frac{1}{a^2} = 23$，则$a + \frac{1}{a} - 2$的值为________.
答案
3 或 - 7 解析：$\because a^{2}+\frac{1}{a^{2}}=23,\therefore(a+\frac{1}{a})^{2}=a^{2}+2+\frac{1}{a^{2}}=25$，
$\therefore a+\frac{1}{a}=\pm5,\therefore$原式的值为 3 或 - 7。
$\therefore a+\frac{1}{a}=\pm5,\therefore$原式的值为 3 或 - 7。
7. 已知$m^2 - 5m + 1 = 0$，则$2m^2 - 5m + \frac{1}{m^2} =$________.
答案
22 解析：$\because m^{2}-5m + 1 = 0,\therefore m - 5+\frac{1}{m}=0,5m=m^{2}+1,\therefore m+\frac{1}{m}=5$，
$\therefore2m^{2}-5m+\frac{1}{m^{2}}=2m^{2}-m^{2}-1+\frac{1}{m^{2}}=m^{2}+\frac{1}{m^{2}}-1=(m+\frac{1}{m})^{2}-3 = 5^{2}-3 = 25 - 3 = 22$。
$\therefore2m^{2}-5m+\frac{1}{m^{2}}=2m^{2}-m^{2}-1+\frac{1}{m^{2}}=m^{2}+\frac{1}{m^{2}}-1=(m+\frac{1}{m})^{2}-3 = 5^{2}-3 = 25 - 3 = 22$。
8. 已知实数$x$满足$x + \frac{1}{x} = 9$，则分式$\frac{x + 1}{x^2 + 5x + 5}$的值为________.
答案
$\frac{1}{13}$ 解析：$\because x+\frac{1}{x + 1}=9,\therefore x + 1\neq0$，即$x\neq - 1,\therefore x + 1+\frac{1}{x + 1}=10$。
$\because\frac{x^{2}+5x + 5}{x + 1}=\frac{(x + 1)^{2}+3(x + 1)+1}{x + 1}=x + 1+\frac{1}{x + 1}+3 = 10 + 3 = 13$，
$\therefore\frac{x + 1}{x^{2}+5x + 5}=\frac{1}{13}$。
$\because\frac{x^{2}+5x + 5}{x + 1}=\frac{(x + 1)^{2}+3(x + 1)+1}{x + 1}=x + 1+\frac{1}{x + 1}+3 = 10 + 3 = 13$，
$\therefore\frac{x + 1}{x^{2}+5x + 5}=\frac{1}{13}$。
9. 已知$a$、$b$、$c$为实数，且$\frac{ab}{a + b} = \frac{1}{3}$，$\frac{bc}{b + c} = \frac{1}{4}$，$\frac{ca}{c + a} = \frac{1}{5}$，求$\frac{abc}{ab + bc + ca}$的值.
答案
将已知的三个分式分别取倒数，得$\frac{a + b}{ab}=3,\frac{b + c}{bc}=4,\frac{c + a}{ca}=5$，即$\frac{1}{a}+\frac{1}{b}=3,\frac{1}{b}+\frac{1}{c}=4,\frac{1}{c}+\frac{1}{a}=5$，将以上三式相加并整理，得$\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}=6$，通分，得$\frac{ab + bc + ca}{abc}=6$，即$\frac{abc}{ab + bc + ca}=\frac{1}{6}$。
10. 已知$\frac{m}{n} = \frac{2}{3}$，则$\frac{m}{m - n} + \frac{m}{m + n} - \frac{n^2}{m^2 - n^2}$的值为________.
答案
$\frac{1}{5}$ 解析：设$m = 2k,n = 3k(k\neq0)$，则$\frac{m}{m - n}+\frac{m}{m + n}-\frac{n^{2}}{m^{2}-n^{2}}=\frac{2k}{2k - 3k}+\frac{2k}{2k + 3k}-\frac{(3k)^{2}}{(2k)^{2}-(3k)^{2}}=-2+\frac{2}{5}+\frac{9}{5}=\frac{1}{5}$。
11. 已知$\frac{x}{2} = \frac{y}{3} = \frac{z}{5}$，$2x + y \neq 0$，则$\frac{x + y - 3z}{2x + y}$的值为________.
答案
$-\frac{10}{7}$ 解析：设$\frac{x}{2}=\frac{y}{3}=\frac{z}{5}=a$，则$x = 2a,y = 3a,z = 5a$。$\because2x + y\neq0$，
$\therefore$把$x = 2a,y = 3a$代入$2x + y\neq0$，可得$4a + 3a\neq0$，解得$a\neq0$。
$\therefore$把$x = 2a,y = 3a,z = 5a$代入$\frac{x + y-3z}{2x + y}$，可得$\frac{2a + 3a-15a}{4a + 3a}=-\frac{10a}{7a}=-\frac{10}{7}$。
$\therefore$把$x = 2a,y = 3a$代入$2x + y\neq0$，可得$4a + 3a\neq0$，解得$a\neq0$。
$\therefore$把$x = 2a,y = 3a,z = 5a$代入$\frac{x + y-3z}{2x + y}$，可得$\frac{2a + 3a-15a}{4a + 3a}=-\frac{10a}{7a}=-\frac{10}{7}$。
12. 已知实数$a$、$b$、$c$满足$\frac{a + b}{c} = \frac{b + c}{a} = \frac{a + c}{b}$，计算：$\frac{(a + b)(b + c)(a + c)}{abc}$.
答案
设$\frac{a + b}{c}=\frac{b + c}{a}=\frac{a + c}{b}=k$，
则$b + c = ka$ ①，$a + c = kb$ ②，$a + b = kc$ ③，
① + ② + ③得，$2(a + b + c)=k(a + b + c)$，
若$a + b + c\neq0$，则$k = 2$，
$\therefore\frac{(a + b)(b + c)(a + c)}{abc}=\frac{kc\cdot ka\cdot kb}{abc}=k^{3}=8$；
若$a + b + c = 0$，则$a + b=-c,b + c=-a,a + c=-b$，
$\therefore\frac{(a + b)(b + c)(a + c)}{abc}=\frac{(-c)(-a)(-b)}{abc}=-1$。
则$b + c = ka$ ①，$a + c = kb$ ②，$a + b = kc$ ③，
① + ② + ③得，$2(a + b + c)=k(a + b + c)$，
若$a + b + c\neq0$，则$k = 2$，
$\therefore\frac{(a + b)(b + c)(a + c)}{abc}=\frac{kc\cdot ka\cdot kb}{abc}=k^{3}=8$；
若$a + b + c = 0$，则$a + b=-c,b + c=-a,a + c=-b$，
$\therefore\frac{(a + b)(b + c)(a + c)}{abc}=\frac{(-c)(-a)(-b)}{abc}=-1$。
