13. 已知分式$A = (a + 1 - \frac{3}{a - 1}) \div \frac{a^{2} - 4a + 4}{a - 1}$.
（1）化简这个分式.
（2）当$a ＞ 2$时，把分式$A$化简结果的分子与分母同时加上4后得到分式$B$，问：分式$B$的值较原来分式$A$的值是变大了还是变小了？试说明理由.
（3）若$A$的值是整数，且$a$也为整数，求出符合条件的所有$a$值的和.

(1) $A=(a + 1 - \frac{3}{a - 1}) \div \frac{a^{2}-4a + 4}{a - 1} = \frac{a^{2}-1 - 3}{a - 1} \cdot \frac{a - 1}{(a - 2)^{2}} = \frac{(a + 2)(a - 2)}{a - 1} \cdot \frac{a - 1}{(a - 2)^{2}} = \frac{a + 2}{a - 2}$.
(2) 变小了，理由：$\because A=\frac{a + 2}{a - 2}$，$\therefore B=\frac{a + 6}{a + 2}$，$\therefore A - B=\frac{a + 2}{a - 2} - \frac{a + 6}{a + 2} = \frac{16}{(a - 2)(a + 2)}$.$\because a\gt2$，$\therefore a - 2\gt0$，$a + 2\gt4$，$\therefore A - B\gt0$，$\therefore$分式的值变小了.
(3) $\because A$的值是整数，$a$是整数，则$A=\frac{a + 2}{a - 2}=1+\frac{4}{a - 2}$，$\therefore a - 2=\pm1$、$\pm2$、$\pm4$.$\because a\neq1$，$a\neq2$，$\therefore a$的值可能为$3$，$0$，$4$，$6$，$-2$，$\therefore 3 + 0+4 + 6+(-2)=11$，$\therefore$符合条件的所有$a$值的和为$11$.

14.（2024·扬州校级月考）已知实数$x、y、z$满足$\frac{1}{x + y} + \frac{1}{y + z} + \frac{1}{z + x} = \frac{7}{6}$，且$\frac{z}{x + y} + \frac{x}{y + z} + \frac{y}{z + x} = 11$，则$x + y + z$的值为________.

12 解析：$\because \frac{z}{x + y}+\frac{x}{y + z}+\frac{y}{z + x}=11$，$\therefore 1+\frac{z}{x + y}+1+\frac{x}{y + z}+1+\frac{y}{z + x}=14$，即$\frac{x + y+z}{x + y}+\frac{x + y+z}{y + z}+\frac{x + y+z}{z + x}=14$，$\therefore \frac{1}{x + y}+\frac{1}{y + z}+\frac{1}{z + x}=\frac{14}{x + y+z}$.$\because \frac{1}{x + y}+\frac{1}{y + z}+\frac{1}{z + x}=\frac{7}{6}$，$\therefore \frac{14}{x + y+z}=\frac{7}{6}$，$\therefore x + y+z = 12$.

15. 一题多变 （1）已知$a + x^{2} = 2019$，$b + x^{2} = 2020$，$c + x^{2} = 2021$，且$abc = 6012$，则$\frac{a}{bc} + \frac{b}{ca} + \frac{c}{ab} - \frac{1}{a} - \frac{1}{b} - \frac{1}{c}$的值为________.
（2）已知实数$a、b、c$均不为零，且$a + b + c = 0$，则$\frac{1}{b^{2} + c^{2} - a^{2}} + \frac{1}{c^{2} + a^{2} - b^{2}} + \frac{1}{a^{2} + b^{2} - c^{2}}$的值为________.

(1) $\frac{1}{2004}$ 解析：$\frac{a}{bc}+\frac{b}{ca}+\frac{c}{ab}-\frac{1}{a}-\frac{1}{b}-\frac{1}{c}=\frac{a^{2}}{abc}+\frac{b^{2}}{abc}+\frac{c^{2}}{abc}-\frac{bc}{abc}-\frac{ac}{abc}-\frac{ab}{abc}=\frac{a^{2}+b^{2}+c^{2}-bc - ac - ab}{abc}=\frac{2a^{2}+2b^{2}+2c^{2}-2bc - 2ac - 2ab}{2abc}=\frac{(a - b)^{2}+(a - c)^{2}+(b - c)^{2}}{2abc}$.$\because a + x^{2}=2019$，$b + x^{2}=2020$，$c + x^{2}=2021$，$abc = 6012$，$\therefore a - b=-1$，$a - c=-2$，$b - c=-1$，$\therefore$原式=$\frac{1 + 4+1}{2\times6012}=\frac{6}{2\times6012}=\frac{1}{2004}$.
(2) 0 解析：$\because a + b + c = 0$，$\therefore b + c=-a$，$c + a=-b$，$a + b=-c$，
$\therefore \frac{1}{b^{2}+c^{2}-a^{2}}+\frac{1}{c^{2}+a^{2}-b^{2}}+\frac{1}{a^{2}+b^{2}-c^{2}}=\frac{1}{(b + c)^{2}-2bc - a^{2}}+\frac{1}{(c + a)^{2}-2ac - b^{2}}+\frac{1}{(a + b)^{2}-2ab - c^{2}}=\frac{1}{a^{2}-2bc - a^{2}}+\frac{1}{b^{2}-2ac - b^{2}}+\frac{1}{c^{2}-2ab - c^{2}}=-\frac{1}{2bc}-\frac{1}{2ac}-\frac{1}{2ab}=-\frac{1}{2}\times(\frac{1}{bc}+\frac{1}{ac}+\frac{1}{ab})=-\frac{1}{2}\times\frac{a + b + c}{abc}=0$.

16. 新趋势 项目式学习（盐城中考）【生活观察】甲、乙两人买菜，甲习惯买一定质量的菜，乙习惯买一定金额的菜，两人每次买菜的单价相同，例如：
| | 第一次 | 第二次 |
| ---- | ---- | ---- |
| | 菜价3元/千克 | 菜价2元/千克 |
| | 质量 | 金额 | 质量 | 金额 |
| 甲 | 1千克 | 3元 | 1千克 | ____元 |
| 乙 | 1千克 | 3元 | ____千克 | 3元 |
（1）完成上表.
（2）计算甲两次买菜的均价和乙两次买菜的均价.（均价 = 总金额÷总质量）
【数学思考】设甲每次买质量为$m$千克的菜，乙每次买金额为$n$元的菜，两次的单价分别是$a$元/千克、$b$元/千克，用含有$m、n、a、b$的式子，分别表示出甲、乙两次买菜的均价$\overline{x}_{甲}$、$\overline{x}_{乙}$. 比较$\overline{x}_{甲}$、$\overline{x}_{乙}$的大小，并说明理由.
【知识迁移】某船在相距为$s$的甲、乙两码头间往返航行一次，在水流速度为0时，船的速度为$v$，所需时间为$t_{1}$；如果水流速度为$p$时$(p ＜ v)$，船顺水航行速度为$(v + p)$，逆水航行速度为$(v - p)$，所需时间为$t_{2}$. 请借鉴上面的研究经验，比较$t_{1}$、$t_{2}$的大小，并说明理由.

【生活观察】(1) 2 1.5
(2) 甲两次买菜的均价为$\frac{3 + 2}{1 + 1}=2.5$（元/千克）；
乙两次买菜的均价为$\frac{3\times1+3\times1.5}{1 + 1.5}=2.4$（元/千克）.
【数学思考】$\overline{x}_{甲}=\frac{am + bm}{m + m}=\frac{a + b}{2}$（元/千克），$\overline{x}_{乙}=\frac{n + n}{\frac{n}{a}+\frac{n}{b}}=\frac{2ab}{a + b}$（元/千克）.$\overline{x}_{甲}\geqslant\overline{x}_{乙}$. 理由：
$\overline{x}_{甲}-\overline{x}_{乙}=\frac{a + b}{2}-\frac{2ab}{a + b}=\frac{(a + b)^{2}-4ab}{2(a + b)}=\frac{(a - b)^{2}}{2(a + b)}$.
$\because a\gt0$，$b\gt0$，$(a - b)^{2}\geqslant0$，$\therefore \frac{(a - b)^{2}}{2(a + b)}\geqslant0$，即$\overline{x}_{甲}-\overline{x}_{乙}\geqslant0$，$\therefore \overline{x}_{甲}\geqslant\overline{x}_{乙}$.
【知识迁移】$t_{1}\lt t_{2}$. 理由：
$\because t_{1}=\frac{s}{v}+\frac{s}{v}=\frac{2s}{v}$，$t_{2}=\frac{s}{v + p}+\frac{s}{v - p}=\frac{s(v - p)+s(v + p)}{(v + p)(v - p)}=\frac{2sv}{v^{2}-p^{2}}$，
$\therefore t_{1}-t_{2}=\frac{2s}{v}-\frac{2sv}{v^{2}-p^{2}}=\frac{2s(v^{2}-p^{2})-2sv^{2}}{v(v^{2}-p^{2})}=\frac{-2sp^{2}}{v(v^{2}-p^{2})}$.
$\because s\gt0$，$p\gt0$，$v\gt0$，$v\gt p$，$\therefore \frac{-2sp^{2}}{v(v^{2}-p^{2})}\lt0$，即$t_{1}-t_{2}\lt0$，$\therefore t_{1}\lt t_{2}$.