1.（2024·天津期中）如图，在$\square ABCD$中，$\angle ACB = 25^{\circ}$，现将$\square ABCD$沿$EF$折叠，使点$C$与点$A$重合，点$D$落在点$G$处，则$\angle GFE$的度数是（ ）
A. $135^{\circ}$
B. $120^{\circ}$
C. $115^{\circ}$
D. $100^{\circ}$
　　　

C

2.（2024·杭州期中）如图，在平行四边形$ABCD$中，将$\triangle ADC$沿$AC$折叠后，点$D$恰好落在$DC$延长线上的点$E$处. 若$\angle B = 60^{\circ}$，$AB = 3$，则$\triangle ADE$的周长为_______.
　　

18

3.（扬州中考）如图，将$\square ABCD$沿过点$A$的直线$l$折叠，使点$D$落到$AB$边上的点$D'$处，折痕$l$交$CD$边于点$E$，连接$BE$.
　(1)求证：四边形$BCED'$是平行四边形；
　(2)若$BE$平分$\angle ABC$，求证：$AB^{2}=AE^{2}+BE^{2}$.
　　　　　　　　　　　　　

(1) ∵将□ABCD沿过点A的直线l折叠，使点D落到AB边上的点D'处，∴∠DAE = ∠D'AE，∠DEA = ∠D'EA，∠D = ∠AD'E. ∵DE//AD'，∴∠DEA = ∠EAD'，∴∠DAE = ∠EAD' = ∠DEA = ∠D'EA，∴AD//D'E，∴四边形DAD'E是平行四边形，∴DE = AD'. ∵四边形ABCD是平行四边形，∴AB//DC，AB = DC，∴CE//D'B，CE = D'B，∴四边形BCED'是平行四边形.
(2) ∵BE平分∠ABC，∴∠CBE = ∠EBA. ∵AD//BC，∴∠DAB + ∠CBA = 180°. ∵∠DAE = ∠BAE，∴∠EAB + ∠EBA = 90°，∴∠AEB = 90°. ∴AB² = AE² + BE².

4. 如图①，在平行四边形$ABCD$中，$AD = 9\mathrm{cm}$，动点$P$从$A$点出发，以$1\mathrm{cm/s}$的速度沿着$A\rightarrow B\rightarrow C\rightarrow A$的方向移动，直到点$P$到达点$A$后才停止. 已知$\triangle PAD$的面积$y$（单位：$\mathrm{cm}^{2}$）与点$P$移动的时间$x$（单位：$\mathrm{s}$）之间的函数关系如图②所示，则$AC$的长为（ ）
A. $15$
B. $16$
C. $17$
D. $18$
　　

C 解析：如图，过B作BF⊥AD于点F，过C作CG⊥AD交AD的延长线于点G，在平行四边形ABCD中，AD = 9 cm，则由题图②可得，当x = 10时，点P到达点B处，因为P的运动速度是1 cm/s，故AB = 10 cm，此时△PAD的面积为$\frac{1}{2}$AD·BF = 36 cm²，AD = 9 cm，可得BF = 8 cm，在直角三角形ABF中，AF = $\sqrt{AB² - BF²}$ = 6 cm. ∵四边形ABCD是平行四边形，∴AB = DC，BC//AD. 又BF⊥AD，CG⊥AD，∴BF = CG，∴Rt△ABF≌Rt△DCG，∴CG = BF = 8 cm，DG = AF = 6 cm，则AG = 15 cm，在Rt△ACG中，AC = $\sqrt{CG² + AG²}$ = 17 cm，故选C.

5.（2024·新乡期中）如图，在$\square ABCD$中，$AB = 3\mathrm{cm}$，$AD = 5\mathrm{cm}$，$BD = 4\mathrm{cm}$，动点$P$从点$D$出发，以$4\mathrm{cm/s}$的速度沿折线$DC - CB - BD$运动，连接$AP$交$BD$于点$O$，设点$P$的运动时间为$t$秒.
　(1)当点$P$在$DC$边上运动时，则$DP =$_______，$CP =$_______.（用含$t$的代数式表示）
　(2)在（1）的条件下，当$\triangle OPD$是等腰三角形时，求$t$的值.
　(3)点$Q$与点$P$同时出发，且点$Q$在$AB$边上由点$A$向点$B$运动，点$Q$的速度是$1\mathrm{cm/s}$，当直线$PQ$平分$\square ABCD$的面积时，直接写出$t$的值.
　　　　　　　　　　　　　

(1) 4t 3 - 4t
(2) ∵AB = 3，AD = 5，BD = 4，∴AB² + BD² = 3² + 4² = 25 = AD²，∴△ABD是直角三角形，且∠ABD = 90°. ∵四边形ABCD是平行四边形，∴AB//CD，AB = CD = 3，∴∠BDC = ∠ABD = 90°，∴当△OPD是等腰三角形时，DP = DO = 4t，∴∠DOP = ∠DPO. 又AB//CD，∴∠BAO = ∠DPO. ∵∠AOB = ∠DOP，∴∠BAO = ∠BOA，∴AB = BO = 3. 又BO = BD - DO = 4 - 4t，∴4 - 4t = 3，解得t = $\frac{1}{4}$，∴在(1)的条件下，当△OPD是等腰三角形时，t的值是$\frac{1}{4}$.
(3) t的值为$\frac{3}{5}$或$\frac{5}{2}$或3. 解析：如图，连接AC交BD于G，则点G为□ABCD的对称中心.
当点P在CD上，且PQ过点G时，如图①，直线PQ平分□ABCD的面积. ∵AB//CD，∴∠ABD = ∠CDB，∠BQG = ∠DPG. 又GB = GD，∴△BQG≌△DPG，∴BQ = DP，即4t = 3 - t，∴t = $\frac{3}{5}$.
当点P运动到点G时，如图②，直线PQ平分□ABCD的面积，此时BP = PD = 2. ∵BP = 4t - 8，∴4t - 8 = 2，则t = $\frac{5}{2}$，当点Q与点B重合时，点P与点D也重合，此时PQ平分□ABCD的面积，此时t = 3.