典例6 甲、乙两汽车出租公司均有50辆汽车对外出租，下面是两公司经理的一段对话：
甲公司经理说：“如果我公司每辆汽车的月租费为3000元，那么50辆汽车可以全部租出。如果每辆汽车的月租费每增加50元，那么将少租出1辆汽车。另外，公司为每辆租出的汽车支付月维护费200元。”
乙公司经理说：“我公司每辆汽车的月租费为3500元，无论是否租出汽车，公司均需一次性支付月维护费共计1850元。”
说明：①汽车数量为整数；②月利润＝月租车费－月维护费；③两公司月利润差＝月利润较高公司的利润－月利润较低公司的利润。
在两公司租出的汽车数量相等的条件下，根据上述信息，解决下列问题：
(1)当每个公司租出的汽车为10辆时，甲公司的月利润是________元；当每个公司租出的汽车为________辆时，两公司的月利润相等。
(2)两公司月利润差最大是多少？
(3)甲公司热心公益事业，每租出1辆汽车捐出$a$元($a＞0$)给慈善机构，如果捐款后甲公司剩余的月利润仍高于乙公司月利润，且当两公司租出的汽车均为17辆时，甲公司剩余的月利润与乙公司月利润之差最大，求$a$的取值范围。
　
[思路点拨](1)设每个公司租出的汽车为$x$辆，根据月利润相等得到方程，解之即可。(2)设两公司的月利润分别为$y_{甲}$元、$y_{乙}$元，月利润差为$y$元，由(1)可得$y_{甲}$和$y_{乙}$的表达式，再分甲公司的利润大于乙公司和甲公司的利润小于乙公司两种情况，列出$y$关于$x$的函数表达式，根据二次函数的性质，结合$x$的范围求出最值，再比较即可。(3)根据题意，得到利润差为$y = -50x² +(1800 - a)x + 1850$，得到函数图像的对称轴，再根据两公司租出的汽车均为17辆时，甲公司剩余的月利润与乙公司月利润之差最大，结合$x$为整数可得关于$a$的不等式，即可求出$a$的范围。

典例6(1)48000；37.(2)设每个公司租出的汽车为x辆，两公司的月利润分别为$y_{甲}$元、$y_{乙}$元，月利润差为y元，则$y_{甲}=[(50 - x)×50 + 3000]x - 200x = - 50x^2 + 5300x$，$y_{乙}=3500x - 1850$.结合函数图像(图略)及(1)知，当$0＜x＜37$时，$y_{甲}＞y_{乙}$，则$y = y_{甲}-y_{乙}= - 50x^2 + 5300x-(3500x - 1850)= - 50x^2 + 1800x + 1850 = - 50(x - 18)^2 + 18050$.∴当x = 18时，利润差最大，为18050元.当$37＜x\leq50$时，$y_{乙}＞y_{甲}$，则$y = y_{乙}-y_{甲}=3500x - 1850-(- 50x^2 + 5300x)=50x^2 - 1800x - 1850 = 50(x - 18)^2 - 18050$.∵当$37＜x\leq50$时，y随x的增大而增大，∴当x = 50时，利润差最大，为33150元.综上所述，两公司月利润差最大是33150元. (3)∵捐款后甲公司剩余的月利润仍高于乙公司月利润，∴利润差为$y = - 50x^2 + 1800x + 1850 - ax = - 50x^2+(1800 - a)x + 1850$，函数图像的对称轴为直线$x = \frac{1800 - a}{100}$.∵x只能取整数，且当两公司租出的汽车均为17辆时，月利润差最大，∴$16.5＜\frac{1800 - a}{100}＜17.5$，解得$50＜a＜150$.