12[2024 唐山期末]若△ABC 的三个内角∠A，∠B，∠C 满足关系式∠B + ∠C = 2∠A，则此三角形()

A.一定是直角三角形
B.一定是钝角三角形
C.一定有一个内角为 45°
D.一定有一个内角为 60°

12 D 因为∠B + ∠C = 2∠A，所以2∠A + ∠A = 180°，解得∠A = 60°。

13教材 P93T3 变式 [2024 烟台期末]已知在△ABC 中，∠A - ∠B = 30°，且∠C = 4∠B，则△ABC 为()

A.锐角三角形
B.直角三角形
C.钝角三角形
D.无法确定

13 C 因为∠A - ∠B = 30°，所以∠A = ∠B + 30°。在△ABC中，∠A + ∠B + ∠C = 180°，∠C = 4∠B，所以∠B + 30° + ∠B + 4∠B = 180°，所以∠B = 25°，所以∠C = 4 × 25° = 100° ＞ 90°，所以△ABC为钝角三角形。

14教材 P85 观察·交流变式 [2025 唐山五十四中月考]在探究“三角形的内角和是 180°”时，综合实践小组的同学作了如图所示四种辅助线，其中不能说明“三角形的内角和是 180°”的是()

]

14 D 列表分析如下:
选项 分析 是否符合题意
A EF // AB → ∠ECA = ∠A，∠FCB = ∠B，∠ECA + ∠ACB + ∠FCB = 180°，∠A + ∠ACB + ∠B = 180° 否
B CE // AB → ∠A = ∠FCE，∠B = ∠BCE，∠FCE + ∠BCE + ∠ACB = 180°，∠A + ∠B + ∠ACB = 180° 否
C DF // AC → ∠EDF = ∠AED，∠A = ∠FDB，ED // CB → ∠ADE = ∠B，∠C = ∠AED，∠C = ∠EDF，∠ADE + ∠EDF + ∠FDB = 180°，∠B + ∠C + ∠A = 180° 否
D CD ⊥ AB → ∠ADC = ∠CDB = 90° 是

15[2025 沈阳七中期中]已知下列条件：①∠A + ∠B = ∠C；②∠A:∠B:∠C = 1:2:3；③∠A = ∠B = 2∠C；④∠A = $\frac{1}{2}$∠B = $\frac{1}{3}$∠C；⑤∠A = ∠B = $\frac{1}{2}$∠C。其中能确定△ABC 为直角三角形的条件有()

A.5 个
B.4 个
C.3 个
D.2 个

15 B ①因为∠A + ∠B + ∠C = 180°，∠A + ∠B = ∠C，所以∠C + ∠C = 180°，所以∠C = 90°，所以△ABC是直角三角形，符合题意；②因为∠A + ∠B + ∠C = 180°，∠A : ∠B : ∠C = 1 : 2 : 3，所以∠A = 30°，∠B = 60°，∠C = 90°，所以△ABC是直角三角形，符合题意；③由∠A = ∠B = 2∠C，可设∠C = x，则∠A = ∠B = 2x，所以2x + 2x + x = 180°，解得x = 36°，则2x = 72°，所以△ABC不是直角三角形，不符合题意；④由∠A = $\frac{1}{2}$∠B = $\frac{1}{3}$∠C，可设∠A = x，∠B = 2x，∠C = 3x，所以x + 2x + 3x = 180°，解得x = 30°，则3x = 90°，所以△ABC是直角三角形，符合题意；⑤因为∠A + ∠B + ∠C = 180°，∠A = ∠B = $\frac{1}{2}$∠C，所以∠A + ∠B + ∠C = $\frac{1}{2}$∠C + $\frac{1}{2}$∠C + ∠C = 2∠C = 180°，所以∠C = 90°，所以△ABC是直角三角形，符合题意。综上，能确定△ABC为直角三角形的条件有①②④⑤，共4个。

16[2025 泰安二模]一副三角尺按如图所示放置，点 A 在 DE 上，点 F 在 BC 上，若∠EAB = 35°，则∠DFC = °。

16 100 如图，设AC与DF交于点G，由题意得，∠BAC = 60°，∠C = 30°，∠D = 45°。因为∠EAB = 35°，所以∠CAD = 180° - ∠EAB - ∠BAC = 85°，所以∠AGD = 180° - ∠D - ∠CAD = 50°，所以∠CGF = ∠AGD = 50°，所以∠DFC = 180° - ∠C - ∠CGF = 100°。

17一题多解 [2025 随州曾都区一模]如图，将一副三角尺按图中所示位置摆放，点 F 在 AC 上，其中∠ACB = 90°，∠ABC = 60°，∠EFD = 90°，∠DEF = 45°，若 AB // DE，则∠AFD 的度数是。

17 15° 通解 如图，设AB与DF交于点N，由题意，得∠D = 45°，∠A = 30°。因为AB // DE，所以∠FNB = ∠D = 45°，所以∠ANF = 180° - 45° = 135°，所以∠AFD = 180° - ∠ANF - ∠A = 15°。

另解 如图，设AB与EF交于点M，因为AB // DE，所以∠AMF = ∠E = 45°。因为∠ACB = 90°，∠ABC = 60°，所以∠A = 30°，所以∠AFM = 180° - 30° - 45° = 105°。因为∠EFD = 90°，所以∠AFD = ∠AFM - ∠EFD = 15°。

18推理能力 [2025 南昌新建区月考]如图 1，线段 AB，CD 相交于点 O，连接 AD，CB。如图 2，在图 1 的条件下，∠DAB 和∠BCD 的平分线 AP 和 CP 相交于点 P，且与 CD，AB 分别相交于点 M，N。解决下列问题：
(1)在图 1 中，请直接写出∠A，∠B，∠C，∠D 之间的数量关系；
(2)在图 2 中，若∠D = 40°，∠B = 30°，试求∠P 的度数；
(3)若图 2 中∠D 和∠B 为任意锐角，其他条件不变，试写出∠P 与∠D，∠B 之间的数量关系，不需要说明理由。

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18 解：(1)∠A + ∠D = ∠B + ∠C。
因为∠A + ∠D + ∠AOD = 180°，∠B + ∠C + ∠BOC = 180°，∠AOD = ∠BOC，
所以∠A + ∠D = ∠B + ∠C。
(2)由题意，得∠1 + ∠D = ∠P + ∠3，①
∠4 + ∠B = ∠2 + ∠P。②
因为AP，CP分别为∠DAB和∠BCD的平分线，
所以∠1 = ∠2，∠3 = ∠4。
由① + ②得∠1 + ∠D + ∠4 + ∠B = ∠P + ∠3 + ∠2 + ∠P，
所以∠D + ∠B = 2∠P。
因为∠D = 40°，∠B = 30°，
所以2∠P = 40° + 30° = 70°，
所以∠P = 35°。
(3)∠P = $\frac{1}{2}$(∠B + ∠D)。