典例3 如图①,$\triangle ABC$和$\triangle A'B'C'$是两个边长不相等的等边三角形,点B',C',B,C都在直线l上,$\triangle ABC$固定不动,将$\triangle A'B'C'$在直线l上自左向右移动. 开始时,点C'与点B重合,当点B'移动到与点C重合时停止. 设$\triangle A'B'C'$移动的距离为x,两个三角形重叠部分的面积为y,y与x之间的函数关系如图②所示,则$\triangle ABC$的边长是______.
　　　　　　　　　　　
[思路点拨]在点B'到达点B之前，重叠部分的面积在增大，当点B'到达点B之后，且点C'到达点C之前，重叠部分的面积不变，然后在点C'到达点C之后，且点B'到达点C之前，重叠部分的面积开始变小，由此可得出B'C'的长为a，BC的长为a + 3，再根据$\triangle A'B'C'$的面积公式即可列出关于a的方程，求出a的值，最后求出BC的长即可.

当点B'到达点B之后，且点C'到达点C之前，重叠部分的面积不变. 根据题图②可知，B'C' = a，$S_{\triangle A'B'C'}$=$\sqrt{3}$. 如图，过点A'作A'H⊥B'C'于点H. ∵ △A'B'C'是等边三角形，∴ ∠A'B'H = 60°，A'B' = B'C' = a. ∴ A'H = A'B'sin60° = $\frac{\sqrt{3}}{2}$a. ∴ $S_{\triangle A'B'C'}$=$\frac{1}{2}\times\frac{\sqrt{3}}{2}$a·a = $\frac{\sqrt{3}}{4}$a² = $\sqrt{3}$，解得a = 2(负值舍去). 当点C'到达点C后继续向右移动，重叠部分的面积开始变小. 根据题图②可知，BC = a + 3 = 2 + 3 = 5，∴ △ABC的边长是5.

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3. 如图,$\triangle ABC$和$\triangle DEF$都是边长为2的等边三角形,它们的边BC,EF在同一条直线l上,点C与点E重合. 现将$\triangle ABC$沿直线l向右移动,当点B与点F重合时停止移动. 在此过程中,设点C移动的距离为x,$AF^{2}$为y. 有下列结论：① y始终随x的增大而减小；② y的最小值为3；③ 函数y的图像关于直线x = 3对称；④ 当x取不同的数值时,y也取不同的数值. 其中,正确的是（ ）
　　　　　　　　　　　　　　　　
A. ①②
B. ①④
C. ②③
D. ②

D.

典例4 如图①,矩形ABCD与以EF为直径的半圆O在直线l的上方,线段AB与点E,F都在直线l上,且AB = 7，EF = 10，BC＞5. 点B以每秒1个单位长度的速度从点E处出发,沿射线EF方向运动,矩形ABCD随之运动,运动时间为t秒.
(1)如图②,当t = 2.5时,求半圆O在矩形ABCD内的弧的长度.
(2)在点B运动的过程中,当AD,BC都与半圆O相交时,设这两个交点为G,H,连接OG，OH. 若$\angle GOH$为直角,求此时t的值.
　　　　　　　　　　　　
[思路点拨](1)设BC与半圆O交于点M,连接ME,MO,先判定$\triangle MEO$为等边三角形,然后根据弧长公式求解.(2)先判定$\triangle AGO\cong\triangle BOH$，然后利用全等三角形的性质及勾股定理分析求解.

(1) 如图①，设BC与半圆O交于点M，连接ME，MO. 当t = 2.5时，BE = 2.5. ∵ EF = 10，∴ EO = $\frac{1}{2}$EF = 5. ∴ BO = 2.5. ∴ BE = BO. 在矩形ABCD中，∠ABC = 90°，∴ 易得ME = MO. 又∵ MO = EO，∴ ME = EO = MO. ∴ △MEO是等边三角形. ∴ ∠EOM = 60°. ∴ $\overset{\frown}{ME}$的长为$\frac{60\pi\times5}{180}$=$\frac{5\pi}{3}$，即半圆O在矩形ABCD内的弧的长度为$\frac{5\pi}{3}$.
(2) 如图②，∵ 四边形ABCD是矩形，∴ ∠DAB = ∠CBA = 90°. ∵ ∠GOH = ∠GAO = 90°，∴ ∠AOG + ∠BOH = ∠AGO + ∠AOG = 90°. ∴ ∠AGO = ∠BOH. 在△AGO和△BOH中，$\begin{cases}\angle GAO = \angle OBH,\\\angle AGO = \angle BOH,\\OG = HO,\end{cases}$ ∴ △AGO≌△BOH. ∴ AG = BO = t - 5. ∵ AB = 7，∴ AE = t - 7. ∴ AO = 5 - (t - 7) = 12 - t. 在Rt△AGO中，AG² + AO² = OG²，∴ (t - 5)² + (12 - t)² = 5²，解得t = 8或t = 9. ∴ t的值为8或9.