跟踪训练＞
2.(2024·宿迁泗阳二模)如图①,在Rt$\triangle ABC$中,$\angle BAC = 90^{\circ}$，AB = AC = $6\sqrt{2}$，D为BC的中点，动点P以每秒2个单位长度的速度从点B出发沿线段BC运动，动点Q同时在线段AD上运动，运动过程中始终保持DQ = PD，当点P到达点C时运动就停止，设运动的时间为t秒，作射线BQ，连接AP.
(1)当点P在线段BD上时,求证: $\angle PAD = \angle QBD$；
(2)当射线BQ将Rt$\triangle ABC$分成面积相等的两部分时，求点P运动的时间；
(3)如图②,设射线BQ与线段AP的交点为G,求点P在从点B向点C运动的过程中,点G运动的路径长.
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　

(1) ∵ ∠BAC = 90°，AB = AC，D为BC的中点，∴ AD = BD = CD = $\frac{1}{2}$BC. 在△PAD和△QBD中，$\begin{cases}AD = BD,\\\angle ADP = \angle BDQ,\\PD = QD,\end{cases}$ ∴ △PAD≌△QBD. ∴ ∠PAD = ∠QBD.
(2) 取CD的中点F，设射线BQ交AC于点E，连接EF. ∵ ∠BAC = 90°，AB = AC = 6$\sqrt{2}$，∴ BC = $\sqrt{AB^{2}+AC^{2}}$= 12. ∴ AD = BD = CD = $\frac{1}{2}$BC = 6. ∴ DF = CF = $\frac{1}{2}$CD = 3. ∴ BF = BD + DF = 6 + 3 = 9. ∵ $S_{\triangle ABE}$= $S_{\triangle CBE}$，∴ AE = CE. 又∵ DF = CF，∴ EF//AD，且EF = $\frac{1}{2}$AD = 3. ∴ △BDQ∽△BFE. ∴ $\frac{DQ}{FE}$=$\frac{BD}{BF}$=$\frac{2}{3}$. ∴ DQ = PD = $\frac{2}{3}$EF = 2. 如图①，点P在线段BD上，PD = 6 - 2t，∴ 6 - 2t = 2，解得t = 2. 如图②，点P在线段CD上，PD = 2t - 6，∴ 2t - 6 = 2，解得t = 4. 综上所述，点P运动的时间为2秒或4秒. (3) 如图①，点P在线段BD上，连接DG并延长，交AB于点H. 易知∠BAD = ∠ABD，∠PAD = ∠QBD，∴ ∠BAD - ∠PAD = ∠ABD - ∠QBD，即∠BAG = ∠ABG. ∴ AG = BG. ∴ 点G在线段AB的垂直平分线DH上运动. 又∵ AD = BD，∠ADB = 90°，∴ DH = $\frac{1}{2}$AB = 3$\sqrt{2}$. 如图②，点P在线段CD上，取AB的中点H，连接GH，DH，则DH⊥AB. ∴ ∠AHD = 90°. ∵ AD⊥BC，∴ ∠ADP = ∠BDQ = 90°. ∵ AD = BD，PD = QD，∴ △APD≌△BQD. ∴ ∠PAD = ∠QBD. ∴ ∠AGB = ∠QBD + ∠APD = ∠PAD + ∠APD = 90°. ∴ GH = $\frac{1}{2}$AB = 3$\sqrt{2}$. ∴ 点G在以点H为圆心，3$\sqrt{2}$为半径的圆上的一段弧$\overset{\frown}{AD}$上运动. ∴ $l_{\overset{\frown}{AD}}$=$\frac{90\pi\times3\sqrt{2}}{180}$=$\frac{3\sqrt{2}\pi}{2}$. ∴ 点G运动的路径长为3$\sqrt{2}$+$\frac{3\sqrt{2}\pi}{2}$.