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典例1(2024·常州)如图,在平面直角坐标系中,二次函数$y=-x^{2}+bx+3$的图像与$x$轴相交于点$A$,$B$,与$y$轴相交于点$C$．
(1)$OC=$_______．
(2)已知点$A$的坐标是$(-1,0)$．
①当$1\leqslant x\leqslant m$,且$m ＞ 1$时,$y$的最大值和最小值分别是$s$,$t$,$s - t = 2$,求$m$的值．
②连接$AC$,$P$是该二次函数的图像上位于$y$轴右侧的一点(点$B$除外),过点$P$作$PD\perp x$轴,垂足为$D$,作$\angle DPQ=\angle ACO$,射线$PQ$交$y$轴于点$Q$,连接$DQ$,$PC$．若$DQ = PC$,求点$P$的横坐标．
[思路点拨](1)令$x = 0$即可求解．(2)①当$1\leqslant x\leqslant m$,且$m ＞ 1$时,$y$随$x$的增大而减小．当$x = 1$时,$y$取得最大值$s$,当$x = m$时,$y$取得最小值$t$,列方程即可求解．②设点$P$的坐标为$(n,-n^{2}+2n + 3)$．当点$P$在$x$轴上方时,由$\angle DPQ=\angle ACO$,得到直线$PQ$对应的函数表达式为$y = 3(x - n)-n^{2}+2n + 3$,则点$Q$的坐标为$(0,-n^{2}-n + 3)$,列方程即可求解；当点$P$在$x$轴下方时,同理可解．
(1)$OC=$_______．
(2)已知点$A$的坐标是$(-1,0)$．
①当$1\leqslant x\leqslant m$,且$m ＞ 1$时,$y$的最大值和最小值分别是$s$,$t$,$s - t = 2$,求$m$的值．
②连接$AC$,$P$是该二次函数的图像上位于$y$轴右侧的一点(点$B$除外),过点$P$作$PD\perp x$轴,垂足为$D$,作$\angle DPQ=\angle ACO$,射线$PQ$交$y$轴于点$Q$,连接$DQ$,$PC$．若$DQ = PC$,求点$P$的横坐标．
[思路点拨](1)令$x = 0$即可求解．(2)①当$1\leqslant x\leqslant m$,且$m ＞ 1$时,$y$随$x$的增大而减小．当$x = 1$时,$y$取得最大值$s$,当$x = m$时,$y$取得最小值$t$,列方程即可求解．②设点$P$的坐标为$(n,-n^{2}+2n + 3)$．当点$P$在$x$轴上方时,由$\angle DPQ=\angle ACO$,得到直线$PQ$对应的函数表达式为$y = 3(x - n)-n^{2}+2n + 3$,则点$Q$的坐标为$(0,-n^{2}-n + 3)$,列方程即可求解；当点$P$在$x$轴下方时,同理可解．
答案
专题三 二次函数综合题
典例1(1)在$y=-x^{2}+bx + 3$中，令$x = 0$，得$y = 3$.$\therefore$点$C$的坐标为$(0,3)$.$\therefore OC = 3$.
(2)$\because$点$A(-1,0)$在二次函数$y=-x^{2}+bx + 3$的图像上，$\therefore0=-1 - b + 3$，解得$b = 2$.$\therefore$二次函数的表达式为$y=-x^{2}+2x + 3=-(x - 1)^{2}+4$.$\therefore$其图像的对称轴为直线$x = 1$，顶点坐标为$(1,4)$.令$y = 0$，得$x_{1}=-1$，$x_{2}=3$.$\therefore$点$B$的坐标为$(3,0)$.
①当$1\leqslant x\leqslant m$，且$m＞1$时，$y$随$x$的增大而减小.当$x = 1$时，$y$取得最大值，即$s = 4$；当$x = m$时，$y$取得最小值，即$t=-m^{2}+2m + 3$.$\because s - t = 2$，$\therefore4-(-m^{2}+2m + 3)=2$，解得$m = 1+\sqrt{2}$或$m = 1-\sqrt{2}$（不合题意，舍去）.$\therefore m$的值为$1+\sqrt{2}$.
②设点$P$的坐标为$(n,-n^{2}+2n + 3)$，则点$D$的坐标为$(n,0)$.由$A$，$C$两点的坐标，得直线$AC$对应的函数表达式为$y = 3x + 3$.根据题意，作出图形如图①所示，当点$P$在$x$轴上方时，$\because\angle DPQ=\angle ACO$，$\therefore$易得直线$PQ$对应的函数表达式为$y = 3(x - n)-n^{2}+2n + 3$.令$x = 0$，得$y=-n^{2}-n + 3$.$\therefore$点$Q$的坐标为$(0,-n^{2}-n + 3)$.由点$P$，$C$，$D$，$Q$的坐标，得$DQ^{2}=n^{2}+(-n^{2}-n + 3)^{2}$，$PC^{2}=n^{2}+(-n^{2}+2n)^{2}$.$\because DQ = PC$，$\therefore DQ^{2}=PC^{2}$，即$n^{2}+(-n^{2}-n + 3)^{2}=n^{2}+(-n^{2}+2n)^{2}$，解得$n=-1$（不合题意，舍去）或$n = 1$或$n = 1.5$.根据题意，作出图形如图②所示，当点$P$在$x$轴下方时，$\because\angle DPQ=\angle ACO$，$\therefore$易得直线$PQ$对应的函数表达式为$y=-3(x - n)-n^{2}+2n + 3$.令$x = 0$，得$y=-n^{2}+5n + 3$.$\therefore$点$Q$的坐标为$(0,-n^{2}+5n + 3)$.由点$P$，$C$，$D$，$Q$的坐标，得$DQ^{2}=n^{2}+(-n^{2}+5n + 3)^{2}$，$PC^{2}=n^{2}+(-n^{2}+2n)^{2}$.$\because DQ = PC$，$\therefore DQ^{2}=PC^{2}$，即$n^{2}+(-n^{2}+5n + 3)^{2}=n^{2}+(-n^{2}+2n)^{2}$，解得$n=-1$（不合题意，舍去）或$n=\frac{7-\sqrt{73}}{4}$（不合题意，舍去）或$n=\frac{7+\sqrt{73}}{4}$.综上所述，点$P$的横坐标为$1$或$1.5$或$\frac{7+\sqrt{73}}{4}$.
