登录
1 黄山以其“五绝”的奇景和博大的徽文化蜚声海内外，被誉为“天下第一奇山”。小杭有21枚外观相同的世界文化和自然遗产黄山普通纪念币，其中有一枚和其他几枚的质量不一样(略重)，用天平至少称()次才能保证找出这枚纪念币。
答案
将21枚纪念币分成7、7、7三组，称其中两组，确定略重的在7枚中；
将这7枚分成3、3、1三组，称3、3两组，确定略重的在3枚中（或直接找到）；
将这3枚分成1、1、1三组，称其中两组，找到略重的纪念币。
答：用天平至少称3次才能保证找出这枚纪念币。
将这7枚分成3、3、1三组，称3、3两组，确定略重的在3枚中（或直接找到）；
将这3枚分成1、1、1三组，称其中两组，找到略重的纪念币。
答：用天平至少称3次才能保证找出这枚纪念币。
解析
【分析】
要找出略重的纪念币，需利用天平“平衡则次品在未称组，不平衡则次品在重的一组”的原理，通过合理分组逐步缩小次品范围。最优策略是将纪念币尽量平均分成三组，这样每次称重能排除最多的正品。首先把21枚分成三组数量相等的7枚，通过第一次称重确定次品所在的7枚组；接着把7枚分成3、3、1三组，第二次称重可确定次品在3枚组或直接找到次品；最后把3枚分成1、1、1三组，第三次称重就能找出次品。
【解析】
步骤1：将21枚纪念币平均分成7、7、7三组，把其中两组放在天平两端称重。
若天平平衡，则略重的纪念币在未称的7枚中；
若天平不平衡，则略重的纪念币在下沉（重）的那7枚中。
步骤2：把确定含有略重纪念币的7枚分成3、3、1三组，将两组3枚的放在天平两端称重。
若天平平衡，则剩下的1枚就是略重的纪念币；
若天平不平衡，则略重的纪念币在下沉（重）的那3枚中。
步骤3：把确定含有略重纪念币的3枚分成1、1、1三组，把其中两组放在天平两端称重。
若天平平衡，则未称的1枚就是略重的纪念币；
若天平不平衡，则下沉（重）的那枚就是略重的纪念币。
综上，至少称3次才能保证找出这枚纪念币。
【答案】
3
【知识点】
找次品最优策略
【点评】
本题考查找次品问题，核心是利用天平的平衡特性，通过“尽量平均分三组”的最优策略，逐步缩小次品所在范围，确保用最少的次数找到次品。解题时需明确每次称重后如何判断次品位置，避免遗漏情况。
【难度系数】
0.6
要找出略重的纪念币，需利用天平“平衡则次品在未称组，不平衡则次品在重的一组”的原理，通过合理分组逐步缩小次品范围。最优策略是将纪念币尽量平均分成三组，这样每次称重能排除最多的正品。首先把21枚分成三组数量相等的7枚，通过第一次称重确定次品所在的7枚组；接着把7枚分成3、3、1三组，第二次称重可确定次品在3枚组或直接找到次品；最后把3枚分成1、1、1三组，第三次称重就能找出次品。
【解析】
步骤1：将21枚纪念币平均分成7、7、7三组，把其中两组放在天平两端称重。
若天平平衡，则略重的纪念币在未称的7枚中；
若天平不平衡，则略重的纪念币在下沉（重）的那7枚中。
步骤2：把确定含有略重纪念币的7枚分成3、3、1三组，将两组3枚的放在天平两端称重。
若天平平衡，则剩下的1枚就是略重的纪念币；
若天平不平衡，则略重的纪念币在下沉（重）的那3枚中。
步骤3：把确定含有略重纪念币的3枚分成1、1、1三组，把其中两组放在天平两端称重。
若天平平衡，则未称的1枚就是略重的纪念币；
若天平不平衡，则下沉（重）的那枚就是略重的纪念币。
综上，至少称3次才能保证找出这枚纪念币。
【答案】
3
【知识点】
找次品最优策略
【点评】
本题考查找次品问题，核心是利用天平的平衡特性，通过“尽量平均分三组”的最优策略，逐步缩小次品所在范围，确保用最少的次数找到次品。解题时需明确每次称重后如何判断次品位置，避免遗漏情况。
【难度系数】
0.6
(1)要比较小宁和小舟7～12岁时的体重变化，应选用()统计图。
A.单式条形
B.复式条形
C.单式折线
D.复式折线
A.单式条形
B.复式条形
C.单式折线
D.复式折线
答案
D
解析
要比较小宁和小舟两人的体重变化，需选择能反映数据变化趋势且可展示两个统计对象的统计图。单式统计图仅能表示一个对象，排除A、C；条形统计图侧重比较数量多少，折线统计图可体现数据变化趋势，复式折线统计图适合比较两个对象的体重变化情况，因此选D。
(2)小嘉要从18袋同样的饼干中找出一袋忘记放干燥剂的次品，小舟要从27袋同样的饼干中找出一袋忘记放干燥剂的次品。下列说法中，正确的有()个。
①小嘉用的次数一定比小舟少； ②小嘉用的次数可能比小舟多；
③小嘉和小舟都可以称3次找到次品； ④小嘉分的份数要比小舟少。
A.1
B.2
C.3
D.4
①小嘉用的次数一定比小舟少； ②小嘉用的次数可能比小舟多；
③小嘉和小舟都可以称3次找到次品； ④小嘉分的份数要比小舟少。
A.1
B.2
C.3
D.4
答案
B
解析
根据找次品的最优策略（分成3份，尽量平均分）：
1. 若方法不当，小嘉用的次数可能比小舟多，故①错误，②正确；
2. 因为$3^3=27$，10~27袋物品找次品最少需3次，18袋和27袋都在此范围，故③正确；
3. 小嘉和小舟都可分成3份（如18分6、6、6，27分9、9、9），份数相同，故④错误。
综上，正确的说法有2个。
1. 若方法不当，小嘉用的次数可能比小舟多，故①错误，②正确；
2. 因为$3^3=27$，10~27袋物品找次品最少需3次，18袋和27袋都在此范围，故③正确；
3. 小嘉和小舟都可分成3份（如18分6、6、6，27分9、9、9），份数相同，故④错误。
综上，正确的说法有2个。
3 在一次科学实验中，小温同学记录了一壶水加热过程中水温的变化情况，并制作成右图所示的统计图。
(1)未加热时，水温是()℃。
(2)烧开这壶水(水温达到100℃)用了()分钟。
(3)从第()分钟到第()分钟水温上升得最快。
(4)如果继续加热到第10分钟，水温是100℃，请你把统计图补充完整。
(1)未加热时，水温是()℃。
(2)烧开这壶水(水温达到100℃)用了()分钟。
(3)从第()分钟到第()分钟水温上升得最快。
(4)如果继续加热到第10分钟，水温是100℃，请你把统计图补充完整。
答案
(1) $\boldsymbol{10}$
(2) $\boldsymbol{9}$
(3) $\boldsymbol{8}$；$\boldsymbol{9}$
(4) 在横轴“10分钟”对应的位置，纵轴“100℃”刻度处描点，将该点与第9分钟的点用水平线段连接。
答：
(1) 未加热时，水温是10℃。
(2) 烧开这壶水用了9分钟。
(3) 从第8分钟到第9分钟水温上升得最快。
(4) 统计图补充完成。
(2) $\boldsymbol{9}$
(3) $\boldsymbol{8}$；$\boldsymbol{9}$
(4) 在横轴“10分钟”对应的位置，纵轴“100℃”刻度处描点，将该点与第9分钟的点用水平线段连接。
答：
(1) 未加热时，水温是10℃。
(2) 烧开这壶水用了9分钟。
(3) 从第8分钟到第9分钟水温上升得最快。
(4) 统计图补充完成。
解析
【分析】
这道题是关于折线统计图的应用问题，我们可以通过观察统计图的横轴（时间）和纵轴（水温）的对应关系来解题：
1. 第(1)问：未加热时对应时间为0分钟，直接读取统计图中时间0对应的水温即可；
2. 第(2)问：水烧开时水温为100℃，找到纵轴100℃对应的横轴时间，就是烧开所用的时长；
3. 第(3)问：水温上升最快的阶段是折线最陡的部分，通过对比各时间段单位时间内水温上升的幅度，找出上升幅度最大的时间段；
4. 第(4)问：结合水沸腾后温度保持不变的特点，在横轴10分钟位置、纵轴100℃处描点，再与第9分钟的点用水平线段连接即可完成补充。
【解析】
(1) 观察统计图，当时间为0分钟（未加热时），对应的水温是10℃；
(2) 在纵轴找到100℃的刻度，其对应的横轴时间为9分钟，因此烧开这壶水用了9分钟；
(3) 对比各时间段单位时间内水温上升幅度：8到9分钟的1分钟内，水温从80℃上升到100℃，上升了20℃，是所有时间段中单位时间上升幅度最大的，所以是第8分钟到第9分钟水温上升得最快；
(4) 由于水达到100℃后继续加热温度保持不变，在横轴“10分钟”对应的位置，纵轴“100℃”刻度处描点，将该点与第9分钟的点用水平线段连接，即可完成统计图的补充。
【答案】
(1) $\boldsymbol{10}$
(2) $\boldsymbol{9}$
(3) $\boldsymbol{8}$；$\boldsymbol{9}$
(4) 在横轴“10分钟”对应的位置，纵轴“100℃”刻度处描点，将该点与第9分钟的点用水平线段连接。
【知识点】
折线统计图的应用；水的沸腾特点
【点评】
本题主要考查对折线统计图的读取、分析与绘制能力，需要结合水沸腾时温度保持不变的物理常识，通过观察折线的变化趋势解决问题，锻炼了从统计图中提取信息并应用的能力。
【难度系数】
0.9
这道题是关于折线统计图的应用问题，我们可以通过观察统计图的横轴（时间）和纵轴（水温）的对应关系来解题：
1. 第(1)问：未加热时对应时间为0分钟，直接读取统计图中时间0对应的水温即可；
2. 第(2)问：水烧开时水温为100℃，找到纵轴100℃对应的横轴时间，就是烧开所用的时长；
3. 第(3)问：水温上升最快的阶段是折线最陡的部分，通过对比各时间段单位时间内水温上升的幅度，找出上升幅度最大的时间段；
4. 第(4)问：结合水沸腾后温度保持不变的特点，在横轴10分钟位置、纵轴100℃处描点，再与第9分钟的点用水平线段连接即可完成补充。
【解析】
(1) 观察统计图，当时间为0分钟（未加热时），对应的水温是10℃；
(2) 在纵轴找到100℃的刻度，其对应的横轴时间为9分钟，因此烧开这壶水用了9分钟；
(3) 对比各时间段单位时间内水温上升幅度：8到9分钟的1分钟内，水温从80℃上升到100℃，上升了20℃，是所有时间段中单位时间上升幅度最大的，所以是第8分钟到第9分钟水温上升得最快；
(4) 由于水达到100℃后继续加热温度保持不变，在横轴“10分钟”对应的位置，纵轴“100℃”刻度处描点，将该点与第9分钟的点用水平线段连接，即可完成统计图的补充。
【答案】
(1) $\boldsymbol{10}$
(2) $\boldsymbol{9}$
(3) $\boldsymbol{8}$；$\boldsymbol{9}$
(4) 在横轴“10分钟”对应的位置，纵轴“100℃”刻度处描点，将该点与第9分钟的点用水平线段连接。
【知识点】
折线统计图的应用；水的沸腾特点
【点评】
本题主要考查对折线统计图的读取、分析与绘制能力，需要结合水沸腾时温度保持不变的物理常识，通过观察折线的变化趋势解决问题，锻炼了从统计图中提取信息并应用的能力。
【难度系数】
0.9
4 开放探究 服装厂的两个车间去年上半年各月产量如下图所示。
（1）你能从图中得到哪些有用的信息？至少写出2条。
（2）根据你得到的信息，提出一个数学问题并解答。
（1）你能从图中得到哪些有用的信息？至少写出2条。
（2）根据你得到的信息，提出一个数学问题并解答。
答案
（1）
① 5月份第二车间的产量最高，为1500件。
② 2月份第一车间产量600件，第二车间产量500件，是上半年两个车间产量较低的月份。
（2）
问题：上半年第一车间总产量是多少件？
$900+600+800+1000+1200+1200=5700$（件）
答：上半年第一车间总产量是5700件。
① 5月份第二车间的产量最高，为1500件。
② 2月份第一车间产量600件，第二车间产量500件，是上半年两个车间产量较低的月份。
（2）
问题：上半年第一车间总产量是多少件？
$900+600+800+1000+1200+1200=5700$（件）
答：上半年第一车间总产量是5700件。
解析
【分析】
这是一道折线统计图开放探究题，解题时先明确统计图横轴（月份）、纵轴（产量）的含义，区分两个车间的折线代表。对于第（1）问，可从产量的高低、变化趋势、特定月份产量对比等角度提取信息，比如找产量最高/最低的月份、不同车间同月份的产量差异等；对于第（2）问，可结合提取的信息，提出求和、求差、求平均数类的数学问题，再根据统计图中的数据计算解答。
【解析】
（1）从统计图中提取信息：
① 观察第二车间的折线数据，5月份产量为1500件，是上半年第二车间的最高产量；
② 观察两个车间2月份的产量，第一车间产量600件，第二车间产量500件，该月是上半年两个车间产量相对较低的月份。
（2）提出数学问题：上半年第一车间总产量是多少件？
计算过程：将第一车间各月产量相加，
$900+600+800+1000+1200+1200=5700$（件）
答：上半年第一车间总产量是5700件。
【答案】
（1）① 5月份第二车间的产量最高，为1500件；② 2月份是上半年两个车间产量较低的月份，第一车间产量600件，第二车间产量500件。（答案不唯一）
（2）示例问题：上半年第一车间总产量是多少件？
解答：$900+600+800+1000+1200+1200=5700$（件）
答：上半年第一车间总产量是5700件。（问题与解答不唯一）
【知识点】
折线统计图分析，整数加法运算
【点评】
本题考查对折线统计图的解读与运用，要求学生能从统计图中提取有效信息，并结合信息提出、解决数学问题，解题时需紧扣统计图数据，合理分析设计。
【难度系数】
0.8
这是一道折线统计图开放探究题，解题时先明确统计图横轴（月份）、纵轴（产量）的含义，区分两个车间的折线代表。对于第（1）问，可从产量的高低、变化趋势、特定月份产量对比等角度提取信息，比如找产量最高/最低的月份、不同车间同月份的产量差异等；对于第（2）问，可结合提取的信息，提出求和、求差、求平均数类的数学问题，再根据统计图中的数据计算解答。
【解析】
（1）从统计图中提取信息：
① 观察第二车间的折线数据，5月份产量为1500件，是上半年第二车间的最高产量；
② 观察两个车间2月份的产量，第一车间产量600件，第二车间产量500件，该月是上半年两个车间产量相对较低的月份。
（2）提出数学问题：上半年第一车间总产量是多少件？
计算过程：将第一车间各月产量相加，
$900+600+800+1000+1200+1200=5700$（件）
答：上半年第一车间总产量是5700件。
【答案】
（1）① 5月份第二车间的产量最高，为1500件；② 2月份是上半年两个车间产量较低的月份，第一车间产量600件，第二车间产量500件。（答案不唯一）
（2）示例问题：上半年第一车间总产量是多少件？
解答：$900+600+800+1000+1200+1200=5700$（件）
答：上半年第一车间总产量是5700件。（问题与解答不唯一）
【知识点】
折线统计图分析，整数加法运算
【点评】
本题考查对折线统计图的解读与运用，要求学生能从统计图中提取有效信息，并结合信息提出、解决数学问题，解题时需紧扣统计图数据，合理分析设计。
【难度系数】
0.8
