登录
1[2025 无锡期中] 等腰三角形 $ ABC $ 中，$ AB = AC $，$ ∠ B = 72^{\circ} $，则 $ ∠ A $ 的度数为 (
A.$ 30^{\circ} $
B.$ 36^{\circ} $
C.$ 45^{\circ} $
D.$ 72^{\circ} $
B
)A.$ 30^{\circ} $
B.$ 36^{\circ} $
C.$ 45^{\circ} $
D.$ 72^{\circ} $
答案
1 B 因为 $ AB = AC $，所以 $ ∠ B = ∠ C = 72^{\circ} $，所以 $ ∠ A = 180^{\circ} - ∠ B - ∠ C = 36^{\circ} $。
[变式] [2024 张掖期中] 等腰三角形的一个角是 $ 70^{\circ} $，则它顶角的度数是 (
A.$ 70^{\circ} $
B.$ 70^{\circ} $ 或 $ 40^{\circ} $
C.$ 80^{\circ} $ 或 $ 30^{\circ} $
D.$ 40^{\circ} $
B
)A.$ 70^{\circ} $
B.$ 70^{\circ} $ 或 $ 40^{\circ} $
C.$ 80^{\circ} $ 或 $ 30^{\circ} $
D.$ 40^{\circ} $
答案
变式 B 分两种情况：①当 $ 70^{\circ} $ 角为等腰三角形的一个底角时，顶角的度数为 $ 180^{\circ} - 2 × 70^{\circ} = 40^{\circ} $；②当 $ 70^{\circ} $ 角为等腰三角形的顶角时，也符合题意。因此这个等腰三角形的顶角度数为 $ 40^{\circ} $ 或 $ 70^{\circ} $。
策略点拨
等腰三角形中求角的方法
先明确已知角是底角还是顶角，再根据等腰三角形的两个底角相等求其他角，若未指明，则需分类讨论。注意，若已知角是直角或钝角，则该角只能是顶角。
策略点拨
等腰三角形中求角的方法
先明确已知角是底角还是顶角，再根据等腰三角形的两个底角相等求其他角，若未指明，则需分类讨论。注意，若已知角是直角或钝角，则该角只能是顶角。
2 [2025 宿迁中考] 等腰三角形的两边长分别为 $ 2 \mathrm{ cm} $ 和 $ 4 \mathrm{ cm} $，则该等腰三角形的周长为
10
$ \mathrm{cm} $。答案
2 10 分两种情况：①当腰是 $ 2 \mathrm{ cm} $，底边是 $ 4 \mathrm{ cm} $ 时，$ 2 + 2 = 4 $，不能构成三角形；②当底边是 $ 2 \mathrm{ cm} $，腰长是 $ 4 \mathrm{ cm} $ 时，$ 2 + 4 ＞ 6 $，能构成三角形，其周长为 $ 4 + 4 + 2 = 10 (\mathrm{cm}) $。
3[2025 周口期末] 如图，在 $ △ ABC $ 中，$ AB = AC $，$ AD $ 平分 $ ∠ BAC $，若 $ BD = 5 $，则 $ BC $ 的长为
10
。答案
3 10 在 $ △ ABC $ 中，$ AB = AC $，$ AD $ 平分 $ ∠ BAC $，$ BD = 5 $，所以 $ BC = 2BD = 10 $。
4[2025 济南钢城区期末] 如图，在 $ △ ABC $ 中，$ AB = AC $，$ AD ⊥ BC $ 于点 $ D $，$ E $，$ F $ 分别是 $ AD $ 上的任意两点。若 $ △ ABC $ 的面积为 $ 20 \mathrm{ cm}^2 $，则图中阴影部分的面积为
10
$ \mathrm{cm}^2 $。答案
4 10
5[2025 平顶山期末] 如图，$ △ ABC $ 中，$ AB = AC $，$ AD $ 是 $ BC $ 边上的中线，$ BE $ 是 $ ∠ ABC $ 的平分线，$ ∠ CAD = 18^{\circ} $，则 $ ∠ ABE $ 的度数是
$ 36^{\circ} $
。答案
5 $ 36^{\circ} $ 因为 $ AB = AC $，$ AD $ 是 $ BC $ 边上的中线，所以 $ AD $ 平分 $ ∠ BAC $，$ ∠ ABC = ∠ C $，所以 $ ∠ BAC = 2 ∠ CAD = 2 × 18^{\circ} = 36^{\circ} $，所以 $ ∠ ABC = \frac{1}{2} × (180^{\circ} - 36^{\circ}) = 72^{\circ} $，又因为 $ BE $ 是 $ ∠ ABC $ 的平分线，所以 $ ∠ ABE = \frac{1}{2} ∠ ABC = 36^{\circ} $。
6如图，已知点 $ D $，$ E $ 在 $ △ ABC $ 的边 $ BC $ 上，$ AB = AC $，$ BD = CE $，点 $ F $ 为 $ DE $ 的中点。试说明：$ AF ⊥ BC $。
答案
6 解：因为点 $ F $ 为 $ DE $ 的中点，所以 $ DF = EF $。
因为 $ BD = CE $，
所以 $ BD + DF = CE + EF $，所以 $ BF = CF $，
又因为 $ AB = AC $，所以 $ AF ⊥ BC $。
因为 $ BD = CE $，
所以 $ BD + DF = CE + EF $，所以 $ BF = CF $，
又因为 $ AB = AC $，所以 $ AF ⊥ BC $。
7[一题多解] [2025 青岛三十九中期末] 如图，在等边三角形 $ ABC $ 中，$ BE $ 和 $ CD $ 分别是 $ AC $ 和 $ AB $ 边上的高，且相交于点 $ O $，则 $ ∠ BOC $ 的度数为 (
A.$ 100^{\circ} $
B.$ 120^{\circ} $
C.$ 150^{\circ} $
D.$ 160^{\circ} $
B
)A.$ 100^{\circ} $
B.$ 120^{\circ} $
C.$ 150^{\circ} $
D.$ 160^{\circ} $
答案
7 B 速解 因为 $ △ ABC $ 为等边三角形，所以 $ ∠ ACB = ∠ ABC = 60^{\circ} $，又因为 $ BE ⊥ AC $，$ CD ⊥ AB $，所以 $ ∠ EBC = ∠ DCB = \frac{1}{2} ∠ ABC = \frac{1}{2} ∠ ACB = 30^{\circ} $，所以 $ ∠ BOC = 180^{\circ} - ∠ EBC - ∠ DCB = 120^{\circ} $。
另解 因为 $ △ ABC $ 为等边三角形，所以 $ ∠ ABC = 60^{\circ} $，又因为 $ BE ⊥ AC $，$ CD ⊥ AB $，所以 $ ∠ OBD = \frac{1}{2} ∠ ABC = 30^{\circ} $，$ ∠ BDO = 90^{\circ} $，所以 $ ∠ BOD = 60^{\circ} $，所以 $ ∠ BOC = 180^{\circ} - ∠ BOD = 120^{\circ} $。
名师点睛
等边三角形的三边相等，三个角都是 $ 60^{\circ} $，具有等腰三角形的一切性质，如“三线合一”等。
另解 因为 $ △ ABC $ 为等边三角形，所以 $ ∠ ABC = 60^{\circ} $，又因为 $ BE ⊥ AC $，$ CD ⊥ AB $，所以 $ ∠ OBD = \frac{1}{2} ∠ ABC = 30^{\circ} $，$ ∠ BDO = 90^{\circ} $，所以 $ ∠ BOD = 60^{\circ} $，所以 $ ∠ BOC = 180^{\circ} - ∠ BOD = 120^{\circ} $。
名师点睛
等边三角形的三边相等，三个角都是 $ 60^{\circ} $，具有等腰三角形的一切性质，如“三线合一”等。
8[2024 泰安中考] 如图，直线 $ l // m $，等边三角形 $ ABC $ 的两个顶点 $ B $，$ C $ 分别落在直线 $ l $，$ m $ 上。若 $ ∠ ABE = 21^{\circ} $，则 $ ∠ ACD $ 的度数是 (
A.$ 45^{\circ} $
B.$ 39^{\circ} $
C.$ 29^{\circ} $
D.$ 21^{\circ} $
B
)A.$ 45^{\circ} $
B.$ 39^{\circ} $
C.$ 29^{\circ} $
D.$ 21^{\circ} $
答案
8 B 因为直线 $ l // m $，所以 $ ∠ ABE + ∠ ABC + ∠ ACB + ∠ ACD = 180^{\circ} $。因为三角形 $ ABC $ 是等边三角形，所以 $ ∠ ABC = ∠ ACB = 60^{\circ} $，所以 $ ∠ ACD = 180^{\circ} - ∠ ABE - ∠ ABC - ∠ ACB = 180^{\circ} - 21^{\circ} - 60^{\circ} - 60^{\circ} = 39^{\circ} $。
9[2024 鄂尔多斯期中] 如图，$ AD $ 是等边三角形 $ ABC $ 的中线，$ DF ⊥ AC $ 于点 $ F $，延长 $ DF $ 到点 $ E $，使 $ AE = AD $，求 $ ∠ E $ 的度数。
答案
9 解：因为三角形 $ ABC $ 是等边三角形，$ AD $ 是三角形 $ ABC $ 的中线，
所以 $ ∠ BAC = 60^{\circ} $，$ AD $ 平分 $ ∠ BAC $，所以 $ ∠ DAC = 30^{\circ} $。
因为 $ DF ⊥ AC $，所以 $ ∠ AFD = 90^{\circ} $，
所以 $ ∠ ADE = 90^{\circ} - ∠ DAC = 60^{\circ} $，
又因为 $ AE = AD $，所以 $ ∠ E = ∠ ADE = 60^{\circ} $。
所以 $ ∠ BAC = 60^{\circ} $，$ AD $ 平分 $ ∠ BAC $，所以 $ ∠ DAC = 30^{\circ} $。
因为 $ DF ⊥ AC $，所以 $ ∠ AFD = 90^{\circ} $，
所以 $ ∠ ADE = 90^{\circ} - ∠ DAC = 60^{\circ} $，
又因为 $ AE = AD $，所以 $ ∠ E = ∠ ADE = 60^{\circ} $。
