11 [2024 漳州一检]如图，在等边三角形 ABC 中，点 D，E 分别在边 BC，AB 上，且 BD = AE。试说明：AD = CE。

11 解：因为三角形ABC是等边三角形，所以AB=CA，∠ABD=∠CAE=60°，又因为BD=AE，所以△ABD≌△CAE（SAS），所以AD=CE。

12 [2025 绍兴期中]如图，在△ABC 中，∠A = 40°，点 D，E 分别在边 AB，AC 上，BD = BC = CE，连接 CD，BE。
（1）若∠ABC = 80°，求∠BDC，∠ABE 的度数；
（2）写出∠BEC 与∠BDC 之间的关系，并说明理由。

12 解：（1）因为∠ABC=80°，BD=BC，所以∠BDC=∠BCD=$\frac{1}{2}$（180°-80°）=50°。因为∠A+∠ABC+∠ACB=180°，∠A=40°，所以∠ACB=180°-40°-80°=60°。因为CE=BC，所以∠EBC=$\frac{1}{2}$（180°-60°）=60°，所以∠ABE=∠ABC-∠EBC=80°-60°=20°。（2）∠BEC+∠BDC=110°。理由如下：设∠BEC=α，∠BDC=β，因为∠A+∠ABE+∠AEB=∠BEC+∠AEB，所以α=40°+∠ABE。因为CE=BC，所以∠CBE=∠BEC=α，所以∠ABC=∠ABE+∠CBE=40°+2∠ABE。在△BDC中，BD=BC，所以∠BCD=∠BDC=β，又因为∠BCD+∠BDC+∠ABC=180°，所以2β+40°+2∠ABE=180°，所以β=70°-∠ABE，所以α+β=40°+∠ABE+70°-∠ABE=110°，所以∠BEC+∠BDC=110°。

13 [2025 凉山州期末]如图，在△ABC 中，∠BAC 和∠ABC 的平分线相交于点 O，过点 O 作 EF//AB 交 BC 于点 F，交 AC 于点 E，过点 O 作 OD⊥BC 于点 D。
（1）试说明：∠AOB = 90° + $\frac{1}{2}$∠C。
（2）试说明：AE + BF = EF。
（3）若 OD = a，CE + CF = 2b，请用含 a，b 的代数式表示△CEF 的面积。（直接写出答案）

13 解：（1）因为AO，BO分别平分∠BAC和∠ABC，所以∠OAB=∠OAE=$\frac{1}{2}$∠BAC，∠OBA=∠OBF=$\frac{1}{2}$∠ABC，所以∠AOB=180°-∠OAB-∠OBA=180°-$\frac{1}{2}$∠BAC-$\frac{1}{2}$∠ABC=180°-$\frac{1}{2}$（∠BAC+∠ABC）=180°-$\frac{1}{2}$（180°-∠C）=90°+$\frac{1}{2}$∠C。（2）因为EF//AB，所以∠OAB=∠AOE，∠ABO=∠BOF，又因为∠OAB=∠OAE，∠ABO=∠OBF，所以∠AOE=∠OAE，∠BOF=∠OBF，易得AE=OE，BF=OF，所以EF=OE+OF=AE+BF。（3）S△CEF=ab。因为点O在∠BAC的平分线上，所以点O到AB，AC的距离相等，又因为点O在∠ABC的平分线上，所以点O到AB，BC的距离相等，所以点O到AC，BC的距离相等。因为OD⊥BC，所以点O到AC的距离等于OD。连接OC，S△CEF=S△OCE+S△OCF=$\frac{1}{2}$（CE+CF）·OD=$\frac{1}{2}$·2b·a=ab。