登录
4. 修建地铁离不开盾构机。一台盾构机的盾体部分是一个底面直径为$8\ \mathrm{m}$、高$10\ \mathrm{m}$的圆柱。
(1)这台盾构机向前掘进$2\ \mathrm{m}$,挖出土石多少立方米?(沿盾体的高所在的方向掘进)
(2)盾构机挖出的土石由运输车运出,运输车由4节车厢构成,每节车厢长$5\ \mathrm{m}$,宽$2.4\ \mathrm{m}$,高$1.6\ \mathrm{m}$。一台盾构机一天向前掘进$12\ \mathrm{m}$,挖出的土石需要多少辆运输车才能一次运完?
(1)这台盾构机向前掘进$2\ \mathrm{m}$,挖出土石多少立方米?(沿盾体的高所在的方向掘进)
(2)盾构机挖出的土石由运输车运出,运输车由4节车厢构成,每节车厢长$5\ \mathrm{m}$,宽$2.4\ \mathrm{m}$,高$1.6\ \mathrm{m}$。一台盾构机一天向前掘进$12\ \mathrm{m}$,挖出的土石需要多少辆运输车才能一次运完?
答案
4. (1)$3.14× (8÷ 2)^{2}× 2=100.48(\mathrm{m^{3}})$
(2)$3.14× (8÷ 2)^{2}× 12÷ (5× 2.4× 1.6× 4)$
$\approx 8$(辆)
解析 (1)盾构机在掘土过程中,掘进$2\ \mathrm{m}$挖出的
土石的体积是一个底面直径为$8\ \mathrm{m}$、高为$2\ \mathrm{m}$的圆
柱的体积,所以可以根据圆柱的体积公式$V=$
$π (\frac{d}{2})^{2}h$计算挖出的土石的体积。
(2)盾构机一天前进$12\ \mathrm{m}$,挖出的土石的体积是
$3.14× (8÷ 2)^{2}× 12=602.88(\mathrm{m^{3}})$,一辆运输车有
4节车厢,每节车厢长$5\ \mathrm{m}$,宽$2.4\ \mathrm{m}$,高$1.6\ \mathrm{m}$,那
么一辆运输车一次可运土石$5× 2.4× 1.6× 4=$
$76.8(\mathrm{m^{3}})$,一天挖出的土石一次运完需要$602.88$
$÷ 76.8\approx 8$(辆)运输车。注意:根据生活实际,得
数要用“进一法”取近似数,保留整数。
(2)$3.14× (8÷ 2)^{2}× 12÷ (5× 2.4× 1.6× 4)$
$\approx 8$(辆)
解析 (1)盾构机在掘土过程中,掘进$2\ \mathrm{m}$挖出的
土石的体积是一个底面直径为$8\ \mathrm{m}$、高为$2\ \mathrm{m}$的圆
柱的体积,所以可以根据圆柱的体积公式$V=$
$π (\frac{d}{2})^{2}h$计算挖出的土石的体积。
(2)盾构机一天前进$12\ \mathrm{m}$,挖出的土石的体积是
$3.14× (8÷ 2)^{2}× 12=602.88(\mathrm{m^{3}})$,一辆运输车有
4节车厢,每节车厢长$5\ \mathrm{m}$,宽$2.4\ \mathrm{m}$,高$1.6\ \mathrm{m}$,那
么一辆运输车一次可运土石$5× 2.4× 1.6× 4=$
$76.8(\mathrm{m^{3}})$,一天挖出的土石一次运完需要$602.88$
$÷ 76.8\approx 8$(辆)运输车。注意:根据生活实际,得
数要用“进一法”取近似数,保留整数。
5. 一个底面直径是$8\ \mathrm{cm}$、高是$10\ \mathrm{cm}$的圆柱形玻璃杯中装有一些水,水面高$8\ \mathrm{cm}$。把一个小球浸没在这个圆柱形玻璃杯中,水满后还溢出了$12.52\ \mathrm{mL}$。求这个小球的体积。
答案
5. $12.52\ \mathrm{mL}=12.52\ \mathrm{cm^{3}}$
$3.14× (8÷ 2)^{2}× (10-8)+12.52=113(\mathrm{cm^{3}})$
解析 由题意可知,小球的体积$=$放入小球前玻
璃杯内空余部分的体积$+$放入小球后玻璃杯内溢
出的水的体积。放入小球前玻璃杯内空余部分的
体积是$3.14× (8÷ 2)^{2}× (10-8)=100.48(\mathrm{cm^{3}})$,
放入小球后玻璃杯内溢出的水的体积是$12.52\ \mathrm{mL}$
$=12.52\ \mathrm{cm^{3}}$,所以小球的体积是$100.48+12.52=$
$113(\mathrm{cm^{3}})$。
$3.14× (8÷ 2)^{2}× (10-8)+12.52=113(\mathrm{cm^{3}})$
解析 由题意可知,小球的体积$=$放入小球前玻
璃杯内空余部分的体积$+$放入小球后玻璃杯内溢
出的水的体积。放入小球前玻璃杯内空余部分的
体积是$3.14× (8÷ 2)^{2}× (10-8)=100.48(\mathrm{cm^{3}})$,
放入小球后玻璃杯内溢出的水的体积是$12.52\ \mathrm{mL}$
$=12.52\ \mathrm{cm^{3}}$,所以小球的体积是$100.48+12.52=$
$113(\mathrm{cm^{3}})$。
6. 如图,一根圆柱形钢管长$4\ \mathrm{m}$,每立方厘米钢的质量约是$7.8\ \mathrm{g}$,这根钢管的质量约是多少千克?(得数保留一位小数)
答案
6. $4\ \mathrm{m}=400\ \mathrm{cm}$
$3.14× 400× [(12÷ 2)^{2}-(8÷ 2)^{2}]× 7.8÷ 1000$
$\approx 195.9(\mathrm{kg})$
解析 先统一单位,$4\ \mathrm{m}=400\ \mathrm{cm}$,再用外面钢管
的体积减去钢管里面空心部分圆柱的体积,从而
求出钢管的体积。再根据“每立方厘米钢的质量
约是$7.8\ \mathrm{g}$”,求出这根钢管的质量是$3.14× 400×$
$[(12÷ 2)^{2}-(8÷ 2)^{2}]× 7.8÷ 1000\approx 195.9(\mathrm{kg})$。
注意单位转化,得数保留一位小数。
$3.14× 400× [(12÷ 2)^{2}-(8÷ 2)^{2}]× 7.8÷ 1000$
$\approx 195.9(\mathrm{kg})$
解析 先统一单位,$4\ \mathrm{m}=400\ \mathrm{cm}$,再用外面钢管
的体积减去钢管里面空心部分圆柱的体积,从而
求出钢管的体积。再根据“每立方厘米钢的质量
约是$7.8\ \mathrm{g}$”,求出这根钢管的质量是$3.14× 400×$
$[(12÷ 2)^{2}-(8÷ 2)^{2}]× 7.8÷ 1000\approx 195.9(\mathrm{kg})$。
注意单位转化,得数保留一位小数。
7. 一个固定在地面上的容器由两段组成,每一段都是圆柱且高度相等,这两个圆柱的底面半径之比是$3:5$。如果将水注入这个容器内,水装满下面一个圆柱和装满整个容器时的储水量的最简整数比是$a:b$,那么$a+b=$
59
。(写出分析过程)答案
7. 59 这两个圆柱的高度之比是$1:1$,底面半径
之比是$3:5$,底面积之比是$9:25$,则体积之比
是$9:25$,所以$a:b=25:(25+9)=25:34$,$a$
$+b=25+34=59$。
解析 两个圆柱的高度相等,所以它们的高度之
比是$1:1$。两个圆柱的半径之比是$3:5$,根据圆
的面积公式可得,它们的底面积之比是$3^{2}:5^{2}=$
$9:25$。所以这两个圆柱的体积之比是$(9× 1):$
$(25× 1)=9:25$。水装满下面一个圆柱时,储水
量刚好等于下面圆柱的体积;水装满整个容器时,
储水量刚好等于上、下两个圆柱的体积之和。所
以$a:b=25:(25+9)=25:34$,$a+b=25+34$
$=59$。
之比是$3:5$,底面积之比是$9:25$,则体积之比
是$9:25$,所以$a:b=25:(25+9)=25:34$,$a$
$+b=25+34=59$。
解析 两个圆柱的高度相等,所以它们的高度之
比是$1:1$。两个圆柱的半径之比是$3:5$,根据圆
的面积公式可得,它们的底面积之比是$3^{2}:5^{2}=$
$9:25$。所以这两个圆柱的体积之比是$(9× 1):$
$(25× 1)=9:25$。水装满下面一个圆柱时,储水
量刚好等于下面圆柱的体积;水装满整个容器时,
储水量刚好等于上、下两个圆柱的体积之和。所
以$a:b=25:(25+9)=25:34$,$a+b=25+34$
$=59$。
8.【拓展题】在一个装有水的圆柱形水桶里,放入一块底面半径是$5\ \mathrm{cm}$的圆柱形铁块。先将铁块全部浸没在水中,这时水面上升$10\ \mathrm{cm}$,再将铁块竖直拉出水面$6\ \mathrm{cm}$,这时水面下降$4\ \mathrm{cm}$。求这块圆柱形铁块的体积。
答案
8. $5^{2}× 3.14× 6÷ 4=117.75(\mathrm{cm^{2}})$
$117.75× 10=1177.5(\mathrm{cm^{3}})$
解析 本题可用排水法求物体的体积。由题意可
知,铁块竖直拉出水面的部分的体积是$3.14× 5^{2}$
$× 6=471(\mathrm{cm^{3}})$,也就是下降$4\ \mathrm{cm}$的水的体积,
那么圆柱形容器的底面积是$471÷ 4=117.75(\mathrm{cm^{2}})$。
铁块的体积等于容器里上升$10\ \mathrm{cm}$的水的体积,
所以铁块的体积是$117.75× 10=1177.5(\mathrm{cm^{3}})$。
$117.75× 10=1177.5(\mathrm{cm^{3}})$
解析 本题可用排水法求物体的体积。由题意可
知,铁块竖直拉出水面的部分的体积是$3.14× 5^{2}$
$× 6=471(\mathrm{cm^{3}})$,也就是下降$4\ \mathrm{cm}$的水的体积,
那么圆柱形容器的底面积是$471÷ 4=117.75(\mathrm{cm^{2}})$。
铁块的体积等于容器里上升$10\ \mathrm{cm}$的水的体积,
所以铁块的体积是$117.75× 10=1177.5(\mathrm{cm^{3}})$。
