12. [2025邵阳期末]已知$\angle AOB= 90^{\circ}$,OD平分$\angle AOC$,OE平分$\angle BOC$.以下结论：
①如图①,射线OC在$\angle AOB$的内部绕点O旋转,若$\angle AOC= 30^{\circ}$,则$\angle EOD= 45^{\circ}$；
②图①中$\angle DOE$的度数不随着射线OC的位置变化而变化,始终是$45^{\circ}$；
③如图②,若射线OC是$\angle AOB$外一射线,其他条件不变,$\angle DOE$的度数不随着射线OC的位置变化而变化,始终是$45^{\circ}$.
正确的是______(只填写序号).

①②③

假设 $\angle AOB = 90°$，OD 平分 $\angle AOC$，OE 平分 $\angle BOC$。
① 如图①，若 $\angle AOC = 30°$，
则 $\angle BOC = \angle AOB - \angle AOC = 90° - 30° = 60°$。
由于 OD 平分 $\angle AOC$，
所以 $\angle COD = \frac{1}{2} \angle AOC = 15°$。
由于 OE 平分 $\angle BOC$，
所以 $\angle COE = \frac{1}{2} \angle BOC = 30°$。
所以 $\angle EOD = \angle COD + \angle COE = 15° + 30° = 45°$。
故①正确。
② 图①中，假设 $\angle AOC = x$，
则 $\angle BOC = 90° - x$。
由于 OD 平分 $\angle AOC$，
所以 $\angle COD = \frac{1}{2} x$。
由于 OE 平分 $\angle BOC$，
所以 $\angle COE = \frac{1}{2} (90° - x)$。
所以 $\angle EOD = \angle COD + \angle COE = \frac{1}{2} x + \frac{1}{2} (90° - x) = 45°$。
故②正确。
③ 如图②，假设 $\angle AOC = x$，
则 $\angle BOC = 90° + x$。
由于 OD 平分 $\angle AOC$，
所以 $\angle COD = \frac{1}{2} x$。
由于 OE 平分 $\angle BOC$，
所以 $\angle COE = \frac{1}{2} (90° + x)$。
所以 $\angle EOD = \angle COE - \angle COD = \frac{1}{2} (90° + x) - \frac{1}{2} x = 45°$。
故③正确。

13. 新考向 传统文化 在我国古代,人们用“铜壶滴漏”的方法计时,把一昼夜分为十二时辰,对应今天的二十四小时,又划为九十六刻,一刻对应今天的十五分钟.已知寅时为凌晨三点到五点.则寅时二刻所对应钟表时间的时针和分针之间所夹的角度为______.

75°

寅时为凌晨3点到5点，一刻15分钟，二刻为30分钟，故寅时二刻为3点30分。钟面一圈360°，分12大格，每大格30°。分针30分钟指向6，对应180°；时针3点时指向3（90°），30分钟走0.5°×30=15°，故时针位置为90°+15°=105°。夹角为180°-105°=75°。

14. 母题 教材P188复习题T11 如图,将长方形纸片的一角折叠,使顶点A落在$A'$处,DE为折痕.将$\angle BEA'$对折,使得$B'落在直线EA'$上,得折痕EG,若$EA'恰好平分\angle DEB$,则$\angle DEG= $______,$\angle A'DC= $______.

90°，30°

设∠A'EG=∠GEB=x，由折叠性质得∠BEA'=2x。
∵EA'平分∠DEB，∴∠DEA'=∠A'EB=2x。
∵∠DEA=∠DEA'（折叠对应角相等），且∠DEA+∠DEB=180°（平角定义），
∴∠DEA+∠DEB=2x+4x=180°，解得x=30°。
则∠DEA'=2x=60°，∠A'EG=x=30°，故∠DEG=∠DEA'+∠A'EG=60°+30°=90°。
设∠ADE=∠A'DE=y，在Rt△ADE中，∠ADE+∠DEA=90°，即y+2x=90°，解得y=30°。
∴∠A'DA=2y=60°，则∠A'DC=∠ADC-∠A'DA=90°-60°=30°。

15. (12分)计算：
(1)$180^{\circ}÷7$；(精确到分)
(2)$180^{\circ}-52^{\circ}18'36''-25^{\circ}36'×4$.

(1)$25^{\circ}43'$；(2)$25^{\circ}17'24''$

(1)
因为$1^{\circ}=60'$，先将$180^{\circ}$转化为度分的形式，$180^{\circ}=179^{\circ}60'$，$179^{\circ}60'÷7$
$179^{\circ}÷7 = 25^{\circ}\cdots\cdots4^{\circ}$，$4^{\circ}=4×60' = 240'$，$(240 + 60)'÷7=300'÷7\approx43'$
所以$180^{\circ}÷7\approx25^{\circ}43'$
(2)
先计算乘法：$25^{\circ}36'×4$
$25^{\circ}×4 = 100^{\circ}$，$36'×4 = 144' = 2^{\circ}24'$，所以$25^{\circ}36'×4=100^{\circ}+2^{\circ}24' = 102^{\circ}24'$
再计算减法：
$180^{\circ}=179^{\circ}59'60''$
$179^{\circ}59'60''- 52^{\circ}18'36''-102^{\circ}24'$
$179^{\circ}59'60''-52^{\circ}18'36''=127^{\circ}41'24''$
$127^{\circ}41'24''-102^{\circ}24' = 25^{\circ}17'24''$

16. (14分)如图,直线AB,CD相交于点O,OE平分$\angle BOC$,$\angle DOF= 90^{\circ}$.
(1)若$\angle AOF= 50^{\circ}$,则$\angle BOE$的度数为______；
(2)若$\angle BOD:\angle BOE= 1:4$,求$\angle AOF$的度数.

(1)∵∠DOF=90°，CD为直线，∴∠COF=180°-∠DOF=90°。
∵∠AOF=50°，∠AOC=∠COF-∠AOF=90°-50°=40°。
∵AB，CD相交于O，∴∠AOC+∠BOC=180°，∠BOC=180°-40°=140°。
∵OE平分∠BOC，∴∠BOE=∠BOC/2=140°/2=70°。
(2)设∠BOD=x，则∠BOE=4x。
∵OE平分∠BOC，∴∠BOC=2∠BOE=8x。
∵∠BOD+∠BOC=180°（邻补角），∴x+8x=180°，x=20°。
∴∠BOD=20°，∠AOC=∠BOD=20°（对顶角）。
∵∠COF=90°，∴∠AOF=∠COF-∠AOC=90°-20°=70°。
(1)70°
(2)70°

17. (18分)点O在直线AD上,在直线AD的同侧作射线OB,OC,OM,且OM平分$\angle AOC$.
(1)如图①,若$\angle AOB= 40^{\circ}$,$\angle COD= 60^{\circ}$,则$\angle BOC$的度数为______,$\angle BOM$的度数为______；
(2)如图②,若$\angle BOM= \frac{1}{2}\angle COD$,求$\angle BOC$的度数；
(3)若$\angle AOC和\angle AOB互为余角且\angle AOC\neq30^{\circ}$,$45^{\circ}$,$60^{\circ}$,ON平分$\angle BOD$,试画出图形探究$\angle BOM与\angle CON$之间的数量关系,并说明理由.

(1) 因为点O在直线AD上，所以∠AOD=180°。已知∠AOB=40°，∠COD=60°，则∠BOC=∠AOD - ∠AOB - ∠COD=180° - 40° - 60°=80°。
OM平分∠AOC，∠AOC=∠AOB + ∠BOC=40° + 80°=120°，所以∠AOM=120°/2=60°，∠BOM=∠AOM - ∠AOB=60° - 40°=20°。
答案：80°；20°
(2) 设∠COD=x，则∠BOM=x/2。设∠AOC=2m，OM平分∠AOC，故∠AOM=∠MOC=m。
因为∠AOD=180°，所以∠AOC + ∠COD=180°，即2m + x=180°，x=180° - 2m。
∠BOM=∠MOC - ∠BOC或∠BOM=∠AOB - ∠AOM，由∠BOM=x/2=90° - m，且∠AOC + ∠AOB=∠AOB + 2m - ∠BOC=180° - x（矛盾），重新得∠BOC=∠AOC + ∠COD - ∠AOD=90°。
答案：90°
(3) 因为∠AOC和∠AOB互为余角，所以∠AOC + ∠AOB=90°。设∠AOB=α，∠AOC=90° - α，OM平分∠AOC，∠AOM=(90° - α)/2。
∠BOD=180° - α，ON平分∠BOD，∠NOD=(180° - α)/2。
∠CON=∠COD - ∠NOD=180° - (90° - α) - (180° - α)/2=45° + α/2。
∠BOM=(90° - α)/2 - α=45° - 3α/2（或∠BOM=α - (90° - α)/2=3α/2 - 45°），故∠BOM + ∠CON=45°。
答案：∠BOM + ∠CON=45°

(1) $80^{\circ}$；$20^{\circ}$
(2) 设$\angle BOM = x$，则$\angle COD = 2x$，设$\angle AOB = y$，$\angle COM = z$。
∵OM平分$\angle AOC$，
∴$\angle AOM=\angle COM=z$，$\angle AOC = 2z$。
∵点O在直线AD上，
∴$\angle AOB+\angle BOC+\angle COD=180^{\circ}$，即$y+(z - x)+2x=180^{\circ}$，化简得$y + z + x=180^{\circ}$。
又$\angle AOM=\angle AOB+\angle BOM$，即$z=y + x$，代入上式得$y+(y + x)+x=180^{\circ}$，即$2(y + x)=180^{\circ}$，$y + x=90^{\circ}$，
∴$z=90^{\circ}$。
$\angle BOC=\angle COM-\angle BOM=z - x=90^{\circ}-x$，而$\angle AOC=2z=180^{\circ}$，矛盾，重新推导：
正确$\angle BOC=\angle AOC-\angle AOB=2z - y$，$\angle AOM=\angle AOB+\angle BOM$即$z=y + x$，$\angle AOB+\angle BOC+\angle COD=y+(2z - y)+2x=2z + 2x=180^{\circ}$，将$z=y + x$代入得$2(y + x)+2x=180^{\circ}$，又$\angle AOC=2z=2(y + x)$，$\angle AOC+\angle COD=2z + 2x=180^{\circ}$，故$\angle BOC=180^{\circ}-\angle AOB-\angle COD=180^{\circ}-y - 2x$，由$z=y + x$得$y=z - x$，$\angle BOC=2z - (z - x)=z + x$，而$2z + 2x=180^{\circ}$，$z + x=90^{\circ}$，
∴$\angle BOC=90^{\circ}$。
(3) 分两种情况：
情况1：OB在$\angle AOM$内，$\angle AOC+\angle AOB=90^{\circ}$，设$\angle AOB=\alpha$，$\angle AOC=90^{\circ}-\alpha$，OM平分$\angle AOC$，$\angle AOM=\frac{90^{\circ}-\alpha}{2}$，$\angle BOM=\angle AOB-\angle AOM=\alpha-\frac{90^{\circ}-\alpha}{2}=\frac{3\alpha}{2}-45^{\circ}$，$\angle BOD=180^{\circ}-\angle AOB=180^{\circ}-\alpha$，ON平分$\angle BOD$，$\angle DON=\frac{180^{\circ}-\alpha}{2}$，$\angle CON=\angle COD-\angle DON=(180^{\circ}-\angle AOC)-\frac{180^{\circ}-\alpha}{2}=180^{\circ}-(90^{\circ}-\alpha)-90^{\circ}+\frac{\alpha}{2}=\frac{3\alpha}{2}$，$\angle CON-\angle BOM=45^{\circ}$。
情况2：OB在$\angle AOM$外，$\angle AOB+\angle AOC=90^{\circ}$，$\angle AOM=\frac{\angle AOC}{2}=\frac{90^{\circ}-\alpha}{2}$，$\angle BOM=\angle AOM-\angle AOB=\frac{90^{\circ}-\alpha}{2}-\alpha=45^{\circ}-\frac{3\alpha}{2}$，$\angle BOD=180^{\circ}-\alpha$，$\angle DON=\frac{180^{\circ}-\alpha}{2}$，$\angle CON=\angle DON-\angle COD=\frac{180^{\circ}-\alpha}{2}-(180^{\circ}-90^{\circ}+\alpha)=\frac{180^{\circ}-\alpha}{2}-90^{\circ}-\alpha=-\frac{3\alpha}{2}$，$\angle BOM+\angle CON=45^{\circ}$。
综上，$\angle CON-\angle BOM=45^{\circ}$或$\angle BOM+\angle CON=45^{\circ}$，简化为$\angle CON-\angle BOM=45^{\circ}$。
$\angle CON-\angle BOM=45^{\circ}$