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9[2024 清远期末]已知 $ M = 2024^2 $，$ N = 2023 × 2025 $，则 $ M $ 与 $ N $ 的大小关系是(
A.$ M ＞ N $
B.$ M ＜ N $
C.$ M = N $
D.不能确定
A
)A.$ M ＞ N $
B.$ M ＜ N $
C.$ M = N $
D.不能确定
答案
9 A 因为 $ M - N = 2024^{2}-2023×2025 = 2024^{2}-(2024 - 1)×(2024 + 1)=2024^{2}-(2024^{2}-1)=1＞0 $，所以 $ M＞N $。
10新趋势·代数推理 [2025 南京联合体零模]当 $ n $ 为正整数时，代数式 $ (2n + 1)^2 - (2n - 1)^2 $ 一定是下面哪个数的倍数(
A.$ 3 $
B.$ 5 $
C.$ 7 $
D.$ 8 $
D
)A.$ 3 $
B.$ 5 $
C.$ 7 $
D.$ 8 $
答案
10 D $ (2n + 1)^{2}-(2n - 1)^{2}=[(2n + 1)+(2n - 1)][(2n + 1)-(2n - 1)]=4n×2 = 8n $，故当 $ n $ 是正整数时，$ (2n + 1)^{2}-(2n - 1)^{2} $ 一定是 8 的倍数。
11[2025 西安灞桥区月考]如图，点 $ D $，$ C $，$ H $，$ G $ 分别在长方形 $ ABJI $ 的边上，点 $ E $，$ F $ 在 $ CD $ 上，若大正方形 $ ABCD $ 的面积为 $ 20 $，图中阴影部分的面积总和为 $ 8 $，则小正方形 $ EFGH $ 的面积为(
A.$ 3 $
B.$ 4 $
C.$ 5 $
D.$ 6 $
B
)A.$ 3 $
B.$ 4 $
C.$ 5 $
D.$ 6 $
答案
11 B 设大、小正方形的边长分别为 $ a $，$ b $，则有 $ a^{2}=20 $，阴影部分面积为 $ \frac{1}{2}(a + b)·DE+\frac{1}{2}(a + b)·FC=\frac{1}{2}(a + b)·(DE + FC)=\frac{1}{2}(a + b)(a - b)=8 $，即 $ a^{2}-b^{2}=16 $，可得 $ b^{2}=4 $，则小正方形 $ EFGH $ 的面积为 $ b^{2}=4 $。
12教材 P25T7 变式 [2025 淄博周村区二模]一个正方形的边长增加了 $ 3 \, \mathrm{cm} $，面积相应增加了 $ 39 \, \mathrm{cm}^2 $，则原来这个正方形的边长为
5
$ \mathrm{cm} $。答案
12 5 设原来正方形的边长是 $ x cm $，根据题意，得 $ (x + 3)^{2}-x^{2}=39 $，所以 $ (x + 3 + x)(x + 3 - x)=3(2x + 3)=39 $，所以 $ x = 5 $。
13[2025 内江中考]已知实数 $ a $，$ b $ 满足 $ a + b = 2 $，则 $ a^2 - b^2 + 4b = $
4
。答案
13 4 因为 $ a + b = 2 $，所以 $ a^{2}-b^{2}+4b=(a + b)(a - b)+4b = 2(a - b)+4b = 2a - 2b + 4b = 2a + 2b = 2(a + b)=2×2 = 4 $。
14先化简，再求值：$ (5a + 3b)(3b - 5a) - (3a - b)( - b - 3a) + (2b - 3a)( - 2b - 3a) $，其中 $ a = \frac{1}{7} $，$ b = -\frac{1}{2} $。
答案
14 解：$ (5a + 3b)(3b - 5a)-(3a - b)(-b - 3a)+(2b - 3a)(-2b - 3a) $
$ =(3b + 5a)(3b - 5a)+(3a - b)(3a + b)+(-3a + 2b)(-3a - 2b) $
$ =(3b)^{2}-(5a)^{2}+(3a)^{2}-b^{2}+(-3a)^{2}-(2b)^{2} $
$ =9b^{2}-25a^{2}+9a^{2}-b^{2}+9a^{2}-4b^{2} $
$ =-7a^{2}+4b^{2} $。
当 $ a=\frac{1}{7} $，$ b=-\frac{1}{2} $ 时，
原式 $ =-7×(\frac{1}{7})^{2}+4×(-\frac{1}{2})^{2}=-\frac{1}{7}+1=\frac{6}{7} $。
$ =(3b + 5a)(3b - 5a)+(3a - b)(3a + b)+(-3a + 2b)(-3a - 2b) $
$ =(3b)^{2}-(5a)^{2}+(3a)^{2}-b^{2}+(-3a)^{2}-(2b)^{2} $
$ =9b^{2}-25a^{2}+9a^{2}-b^{2}+9a^{2}-4b^{2} $
$ =-7a^{2}+4b^{2} $。
当 $ a=\frac{1}{7} $，$ b=-\frac{1}{2} $ 时，
原式 $ =-7×(\frac{1}{7})^{2}+4×(-\frac{1}{2})^{2}=-\frac{1}{7}+1=\frac{6}{7} $。
15推理能力 [2025 南阳期中]发现 若两个已知正整数之差为奇数，则它们的平方差为奇数；若两个已知正整数之差为偶数，则它们的平方差为偶数。
验证 如：$ (2 + 3)^2 - 2^2 = $
探究 设“发现”中的两个已知正整数为 $ n + m $，$ n $(两数之差为 $ m $)，请论证“发现”中的结论的正确性。
验证 如：$ (2 + 3)^2 - 2^2 = $
21
，$ (3 + 4)^2 - 3^2 = $40
。探究 设“发现”中的两个已知正整数为 $ n + m $，$ n $(两数之差为 $ m $)，请论证“发现”中的结论的正确性。
答案
15 解：验证 21 40
探究 $ (n + m)^{2}-n^{2}=(n + m + n)(n + m - n)=m(2n + m)=2mn + m^{2} $，易知 $ 2mn $ 为偶数。
当 $ m $ 为奇数时，$ m^{2} $ 为奇数，所以 $ 2mn + m^{2} $ 为奇数；
当 $ m $ 为偶数时，$ m^{2} $ 为偶数，所以 $ 2mn + m^{2} $ 为偶数。
探究 $ (n + m)^{2}-n^{2}=(n + m + n)(n + m - n)=m(2n + m)=2mn + m^{2} $，易知 $ 2mn $ 为偶数。
当 $ m $ 为奇数时，$ m^{2} $ 为奇数，所以 $ 2mn + m^{2} $ 为奇数；
当 $ m $ 为偶数时，$ m^{2} $ 为偶数，所以 $ 2mn + m^{2} $ 为偶数。
16运算能力 [2024 合肥蜀山区期中](1)计算：
$ (a + 1)(a - 1) = $
$ (a + 1)(a^2 - a + 1) = $
$ (a + 1)(a^3 - a^2 + a - 1) = $
……
(2)猜想：$ (a + 1)(a^9 - a^8 + a^7 - ··· - a^2 + a - 1) = $
(3)利用上面的结论计算：$ 3^9 - 3^8 + 3^7 - ··· + 3^3 - 3^2 + 3 $。
$ (a + 1)(a - 1) = $
$ a^{2}-1 $
；$ (a + 1)(a^2 - a + 1) = $
$ a^{3}+1 $
；$ (a + 1)(a^3 - a^2 + a - 1) = $
$ a^{4}-1 $
；……
(2)猜想：$ (a + 1)(a^9 - a^8 + a^7 - ··· - a^2 + a - 1) = $
$ a^{10}-1 $
。(3)利用上面的结论计算：$ 3^9 - 3^8 + 3^7 - ··· + 3^3 - 3^2 + 3 $。
答案
16 解：(1) $ a^{2}-1 $ $ a^{3}+1 $ $ a^{4}-1 $
$ (a + 1)(a - 1)=a^{2}-1 $；$ (a + 1)(a^{2}-a + 1)=a^{3}-a^{2}+a + a^{2}-a + 1=a^{3}+1 $；$ (a + 1)(a^{3}-a^{2}+a - 1)=a^{4}-a^{3}+a^{2}-a + a^{3}-a^{2}+a - 1=a^{4}-1 $。
(2) $ a^{10}-1 $
$ (a + 1)(a^{9}-a^{8}+a^{7}-··· - a^{2}+a - 1)=a^{10}-a^{9}+a^{8}-··· - a^{3}+a^{2}-a + a^{9}-a^{8}+a^{7}-··· - a^{2}+a - 1=a^{10}-1 $。
(3)由“猜想”可得，当 $ a = 3 $ 时，$ (3 + 1)(3^{9}-3^{8}+3^{7}-··· - 3^{2}+3 - 1)=3^{10}-1 $，
所以 $ 3^{9}-3^{8}+3^{7}-··· - 3^{2}+3 - 1=\frac{3^{10}-1}{4} $，
所以 $ 3^{9}-3^{8}+3^{7}-··· + 3^{3}-3^{2}+3=\frac{3^{10}+3}{4} $。
$ (a + 1)(a - 1)=a^{2}-1 $；$ (a + 1)(a^{2}-a + 1)=a^{3}-a^{2}+a + a^{2}-a + 1=a^{3}+1 $；$ (a + 1)(a^{3}-a^{2}+a - 1)=a^{4}-a^{3}+a^{2}-a + a^{3}-a^{2}+a - 1=a^{4}-1 $。
(2) $ a^{10}-1 $
$ (a + 1)(a^{9}-a^{8}+a^{7}-··· - a^{2}+a - 1)=a^{10}-a^{9}+a^{8}-··· - a^{3}+a^{2}-a + a^{9}-a^{8}+a^{7}-··· - a^{2}+a - 1=a^{10}-1 $。
(3)由“猜想”可得，当 $ a = 3 $ 时，$ (3 + 1)(3^{9}-3^{8}+3^{7}-··· - 3^{2}+3 - 1)=3^{10}-1 $，
所以 $ 3^{9}-3^{8}+3^{7}-··· - 3^{2}+3 - 1=\frac{3^{10}-1}{4} $，
所以 $ 3^{9}-3^{8}+3^{7}-··· + 3^{3}-3^{2}+3=\frac{3^{10}+3}{4} $。
