1[2025 苏州期中] 如图，E，F 是 BD 上两点，AB = CD，BF = DE，AE = CF。试说明：AC 与 BD 互相平分。

解:因为 $ BF = DE $，
所以 $ BF - EF = DE - EF $，即 $ BE = DF $，
又因为 $ AB = CD $，$ AE = CF $，
所以 $ △ ABE ≌ △ CDF(SSS) $，所以 $ ∠ B = ∠ D $，
又因为 $ ∠ AOB = ∠ COD $，$ AB = CD $，
所以 $ △ ABO ≌ △ CDO(AAS) $，
所以 $ OA = OC $，$ OB = OD $，
所以 $ AC $ 与 $ BD $ 互相平分。
归纳总结
判定两个三角形全等的常用思路
已知对应相等的元素 可选择的判定方法 需寻找的条件
锐角三角形或钝角三角形 两边 $ SSS $ 或 $ SAS $ 第三边对应相等或两边的夹角对应相等
一边及其邻角 $ SAS $ 或 $ ASA $ 或 $ AAS $ 已知角的另一边对应相等或已知边的另一邻角对应相等或已知边的对角对应相等
一边及其对角 $ AAS $ 另一角对应相等
两角 $ ASA $ 或 $ AAS $ 两角的夹边对应相等或相等一角的对边对应相等

2[2024 马鞍山期末] 如图，已知点 B，F，C，E 在直线 l 上，点 A，D 在 l 异侧，且 AC // DF，AC = DF，∠ABC = ∠DEF。
(1)试说明：△ABC ≌ △DEF。
(2)连接 AE，BD，说明 AE，BD 的关系。

解:(1)因为 $ AC // DF $，所以 $ ∠ ACB = ∠ DFE $。
在 $ △ ABC $ 和 $ △ DEF $ 中，$ \{ \begin{array} { l } { ∠ ABC = ∠ DEF, } \\ { ∠ ACB = ∠ DFE, } \\ { AC = DF, } \end{array} $
所以 $ △ ABC ≌ △ DEF(AAS) $。
(2)由(1)知 $ △ ABC ≌ △ DEF $，所以 $ AB = DE $。
在 $ △ ABE $ 和 $ △ DEB $ 中，$ \{ \begin{array} { l } { AB = DE, } \\ { ∠ ABE = ∠ DEB, } \\ { BE = EB, } \end{array} $
所以 $ △ ABE ≌ △ DEB(SAS) $，
所以 $ AE = BD $，$ ∠ AEB = ∠ DBE $，所以 $ AE // BD $。
综上 $ AE = BD $，$ AE // BD $。

3[2025 沈阳皇姑区期末] 如图，在四边形 ABCD 中，AD // BC，E 为 CD 的中点，连接 AE，BE，延长 AE 交 BC 的延长线于点 F。
(1)试说明：△DAE ≌ △CFE。
(2)若 AB = BC + AD，试说明：BE ⊥ AF。

解:(1)因为 $ AD // BC $，所以 $ ∠ ADE = ∠ FCE $。
因为 $ E $ 是 $ CD $ 的中点，所以 $ DE = CE $。
在 $ △ DAE $ 和 $ △ CFE $ 中，$ \{ \begin{array} { l } { ∠ ADE = ∠ FCE, } \\ { DE = CE, } \\ { ∠ AED = ∠ FEC, } \end{array} $
所以 $ △ DAE ≌ △ CFE(ASA) $。
(2)由(1)知 $ △ DAE ≌ △ CFE $，
所以 $ AE = FE $，$ AD = FC $。
因为 $ AB = BC + AD $，所以 $ AB = BC + FC $，即 $ AB = FB $。
在 $ △ ABE $ 和 $ △ FBE $ 中，$ \{ \begin{array} { l } { AB = FB, } \\ { AE = FE, } \\ { BE = BE, } \end{array} $
所以 $ △ ABE ≌ △ FBE(SSS) $，所以 $ ∠ AEB = ∠ FEB = 90 ^ { \circ } $，
所以 $ BE ⊥ AF $。

4[2024 盐城月考] 如图，在△ABC 中，两边 AB，AC 上有两点 M，N，D 为△ABC 外一点，且∠A = 80°，∠BDC = 100°，∠MDN = 50°，BD = DC。
(1)猜想线段 MN，BM，CN 之间的数量关系并说明理由。
(2)若 AB = 7，AC = 8，求△AMN 的周长。

解:(1)$ MN = BM + CN $。理由如下:
延长 $ AB $，在 $ AB $ 的延长线上取 $ BE = CN $，连接 $ DE $，$ AD $，如图。

因为 $ ∠ BDC = 100 ^ { \circ } $，$ ∠ A = 80 ^ { \circ } $，
所以 $ ∠ ABD + ∠ ACD = 180 ^ { \circ } - ∠ BAD - ∠ BDA + 180 ^ { \circ } - ∠ CAD - ∠ ADC = 360 ^ { \circ } - ∠ A - ∠ BDC = 180 ^ { \circ } $，
又因为 $ ∠ ABD + ∠ DBE = 180 ^ { \circ } $，所以 $ ∠ DBE = ∠ DCN $。
因为 $ BE = CN $，$ DB = DC $，
所以 $ △ BDE ≌ △ CDN(SAS) $，
所以 $ ∠ BDE = ∠ CDN $，$ DE = DN $。
因为 $ ∠ BDC = 100 ^ { \circ } $，$ ∠ MDN = 50 ^ { \circ } $，
所以 $ ∠ MDE = ∠ BDM + ∠ BDE = ∠ BDM + ∠ CDN = ∠ BDC - ∠ MDN = 50 ^ { \circ } $，
所以 $ ∠ MDE = ∠ MDN $。
因为 $ DE = DN $，$ DM = DM $，
所以 $ △ MDE ≌ △ MDN(SAS) $，所以 $ ME = MN $。
因为 $ ME = BM + BE = BM + CN $，
所以 $ MN = BM + CN $。
(2)因为 $ MN = BM + CN $，$ AB = 7 $，$ AC = 8 $，
所以 $ △ AMN $ 的周长为 $ AM + MN + AN = AM + BM + AN + CN = AB + AC = 7 + 8 = 15 $。