跟踪训练
7.（2024·甘孜）【定义与性质】
如图，记二次函数$y = a(x - b)^{2} + c$和$y = - a(x - p)^{2} + q(a\neq0)$的图像分别为抛物线$C$和$C_{1}$.
定义：若抛物线$C_{1}$的顶点$Q(p,q)$在抛物线$C$上，则称$C_{1}$是$C$的伴随抛物线.
性质：①一条抛物线有无数条伴随抛物线；
②若$C_{1}$是$C$的伴随抛物线，则$C$也是$C_{1}$的伴随抛物线，即$C$的顶点$P(b,c)$在$C_{1}$上.
【理解与运用】
（1）若二次函数$y = - \frac{1}{2}(x - 2)^{2} + m$和$y = - \frac{1}{2}(x - n)^{2} + \frac{1}{2}$的图像都是抛物线$y = \frac{1}{2}x^{2}$的伴随抛物线，则$m = $________，$n = $________.
【思考与探究】
（2）设函数$y = x^{2} - 2kx + 4k + 5$的图像为抛物线$C_{2}$.
①若函数$y = - x^{2} + dx + e$的图像为抛物线$C_{0}$，且$C_{2}$始终是$C_{0}$的伴随抛物线，求$d$，$e$的值；
②若抛物线$C_{2}$与$x$轴有两个不同的交点$(x_{1},0)$，$(x_{2},0)(x_{1} ＜ x_{2})$，请直接写出$x_{1}$的取值范围.

（1）$\because$二次函数$y = -\frac{1}{2}(x - 2)^{2}+m$和$y = -\frac{1}{2}(x - n)^{2}+\frac{1}{2}$的图像都是抛物线$y=\frac{1}{2}x^{2}$的伴随抛物线，$\therefore$根据题意，得$\frac{1}{2}\times2^{2}=m$，$\frac{1}{2}n^{2}=\frac{1}{2}$.$\therefore m = 2$，$n=\pm1$.（2）①$\because y = x^{2}-2kx + 4k + 5=(x - k)^{2}-k^{2}+4k + 5$，$\therefore$抛物线$C_{2}$的顶点坐标为$(k,-k^{2}+4k + 5)$.又$C_{2}$始终是$C_{0}$的伴随抛物线，$\therefore$令$k = 0$，得顶点坐标为$(0,5)$；令$k = 1$，得顶点坐标为$(1,8)$.$\therefore$点$(0,5)$，$(1,8)$在抛物线$C_{0}:y=-x^{2}+dx + e$上.$\therefore\begin{cases}e = 5\\-1 + d + e = 8\end{cases}$，解得$\begin{cases}d = 4\\e = 5\end{cases}$.②由①，得函数$y=-x^{2}+4x + 5$的图像为抛物线$C_{0}$，且$C_{2}$始终是$C_{0}$的伴随抛物线，$\therefore C_{2}$的顶点$(k,-k^{2}+4k + 5)$在抛物线$C_{0}:y=-x^{2}+4x + 5=-(x - 2)^{2}+9$上滑动.当$-x^{2}+4x + 5 = 0$时，解得$x = - 1$或$x = 5$.$\therefore$抛物线$C_{0}$与$x$轴交于点$(-1,0)$，$(5,0)$.当$C_{2}$的顶点在点$(-1,0)$下方时，抛物线$C_{2}$与$x$轴有两个交点，此时$x_{1}＜-1$.根据题意可知，$C_{0}$的顶点$(2,9)$也在$C_{2}$上，$\therefore$当$C_{2}$的顶点在点$(5,0)$下方时，$2＜x_{1}＜5$.综上所述，$x_{1}＜-1$或$2＜x_{1}＜5$.