典例7（2024·泰州姜堰一模）综合与实践
【研究素材】二次函数$y = x^{2} - 1$的图像与$y$轴交于点$C$，与$x$轴分别交于$A$，$B$两点.
小亮对素材进行了深入的研究，提出研究思路，并布置了相关任务，请你根据小亮的研究完成下列任务（为了方便研究，规定点$A$在点$B$的右边）.
【探究1】确定素材中$\angle ACB$的度数.
【任务1】求证：$\angle ACB = 90^{\circ}$；
【探究2】改变相交的对象研究
若二次函数$y = x^{2} - 1$的图像与$y$轴交于点$C$，与一次函数$y = x + n$的图像分别交于$A$，$B$两点.
【任务2】若“$\angle ACB = 90^{\circ}$”成立，求$n$的值；
【探究3】改变表达式的系数研究
若二次函数$y = ax^{2} + c(a ＞ 0,c ＜ 0)$的图像与$y$轴交于点$C$，与一次函数$y = kx + n(k\neq0)$的图像分别交于$A$，$B$两点.
【任务3】若“$\angle ACB = 90^{\circ}$”成立，当$ac = - 2$时，求$n$与$c$之间的关系式；
【任务4】当$n = 0$时，若直线$BC$与$x$轴交于点$D$，连接$AD$交$y$轴于点$E$，试判断$S_{\triangle AOE}$与$S_{\triangle DOE}$的大小，并说明理由.


[思路点拨]【任务1】连接$BC$，$AC$，然后根据勾股定理解题即可.【任务2】过点$C$作$x$轴的平行线$l$，过点$A$作$AM\perp l$于点$M$，过点$B$作$BN\perp l$于点$N$，可以得到$\triangle AMC\sim\triangle CNB$，设点$A$的横坐标为$x_{A}$，点$B$的横坐标为$x_{B}$，通过图像的交点的横坐标与方程的根之间的关系，得$x_{A}\cdot x_{B} = - n - 1$，然后根据相似三角形的性质，得到$\frac{AM}{CN} = \frac{MC}{NB}$，即可得到关于$n$的方程，问题即可解决.【任务3】根据【任务2】的方法解题即可.【任务4】当$n = 0$时，令$ax^{2} + c = kx$，设点$B$的坐标为$(t,kt)$，结合点$C$的坐标，可以得到直线$BC$对应的函数表达式为$y = \frac{kt - c}{t}\cdot x + c$，然后求出$x_{A}$，$x_{D}$的值，利用$S_{\triangle AOE} = \frac{1}{2}\cdot OE\cdot|x_{A}|$，$S_{\triangle DOE} = \frac{1}{2}\cdot OE\cdot|x_{D}|$解题即可.

【任务1】如图①，连接$BC$，$AC$.在$y = x^{2}-1$中，令$x = 0$，得$y = - 1$；令$y = 0$，得$x_{1}=-1$，$x_{2}=1$.$\therefore$点$A$的坐标为$(1,0)$，点$B$的坐标为$(-1,0)$，点$C$的坐标为$(0,-1)$.$\therefore OA = OB = OC = 1$，$AB = 2$.$\because BC^{2}+AC^{2}=OB^{2}+OC^{2}+OA^{2}+OC^{2}=4$，$AB^{2}=4$，$\therefore BC^{2}+AC^{2}=AB^{2}$.$\therefore\triangle ACB$是直角三角形，$\angle ACB = 90^{\circ}$.【任务2】如图②，连接$BC$，$AC$，过点$C$作$x$轴的平行线$l$，过点$A$作$AM\perp l$于点$M$，过点$B$作$BN\perp l$于点$N$.$\therefore\angle AMC=\angle CNB = 90^{\circ}$.$\because\angle ACB = 90^{\circ}$，$\therefore\angle ACM+\angle BCN = 90^{\circ}$.又$\because\angle ACM+\angle CAM = 90^{\circ}$，$\therefore\angle CAM=\angle BCN$.$\therefore\triangle AMC\backsim\triangle CNB$.设点$A$的横坐标为$x_{A}$，点$B$的横坐标为$x_{B}$，则$x_{A}$，$x_{B}$是方程$x^{2}-1=x + n$的两个根，即方程$x^{2}-x - n - 1 = 0$的两个实数根.$\therefore x_{A}\cdot x_{B}=-n - 1$.$\because\triangle AMC\backsim\triangle CNB$，$\therefore\frac{AM}{CN}=\frac{MC}{NB}$.$\therefore\frac{x_{A}^{2}-1 + 1}{-x_{B}}=\frac{x_{A}}{x_{B}^{2}-1 + 1}$.$\therefore x_{A}\cdot x_{B}=-1$.$\therefore - n - 1 = - 1$.$\therefore n = 0$.【任务3】同【任务2】，可得$\triangle AMC\backsim\triangle CNB$，$\therefore\frac{AM}{CN}=\frac{MC}{NB}$，$\therefore\frac{ax_{A}^{2}+c - c}{-x_{B}}=\frac{x_{A}}{ax_{B}^{2}+c - c}$.$\therefore a^{2}x_{A}\cdot x_{B}=-1$.令$ax^{2}+c = kx + n$，得$ax^{2}-kx + c - n = 0$.$\because x_{A}$，$x_{B}$是关于$x$的方程$ax^{2}-kx + c - n = 0$的两个根，$\therefore a^{2}\cdot\frac{c - n}{a}=-1$.$\therefore ac - an = - 1$.$\because ac = - 2$，$\therefore an = - 1$.$\therefore\frac{c}{n}=2$，即$c = 2n$.【任务4】$S_{\triangle AOE}=S_{\triangle DOE}$.理由：当$n = 0$时，令$ax^{2}+c = kx$，得$ax^{2}-kx + c = 0$.设点$B$的坐标为$(t,kt)$.又点$C$的坐标为$(0,c)$，$\therefore$直线$BC$对应的函数表达式为$y=\frac{kt - c}{t}\cdot x + c$.令$y = 0$，得$x_{D}=\frac{tc}{c - kt}$.$\because x_{A}+x_{B}=\frac{k}{a}$，$x_{A}\cdot x_{B}=\frac{c}{a}$，即$x_{A}+t=\frac{k}{a}$，$x_{A}\cdot t=\frac{c}{a}$，$\therefore x_{A}=\frac{k}{a}-t$，$x_{A}=\frac{c}{at}$.$\therefore\frac{k}{a}-t=\frac{c}{at}$，$\therefore kt - c = at^{2}$.$\therefore x_{D}=\frac{tc}{-at^{2}}=-\frac{c}{at}$.$\therefore\vert x_{A}\vert=\vert x_{D}\vert$.$\because S_{\triangle AOE}=\frac{1}{2}\cdot OE\cdot\vert x_{A}\vert$，$S_{\triangle DOE}=\frac{1}{2}\cdot OE\cdot\vert x_{D}\vert$，$\therefore S_{\triangle AOE}=S_{\triangle DOE}$.