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1. 已知一个角比它的补角小 $ 30^{\circ} $,则这个角的度数为( )
A.$ 85^{\circ} $
B.$ 80^{\circ} $
C.$ 75^{\circ} $
D.$ 70^{\circ} $
A.$ 85^{\circ} $
B.$ 80^{\circ} $
C.$ 75^{\circ} $
D.$ 70^{\circ} $
答案
C
解析
设这个角的度数为$x$，则它的补角为$180^{\circ}-x$。
由题意得：$180^{\circ}-x - x = 30^{\circ}$
$180^{\circ}-2x = 30^{\circ}$
$-2x = 30^{\circ}-180^{\circ}$
$-2x = -150^{\circ}$
$x = 75^{\circ}$
C
由题意得：$180^{\circ}-x - x = 30^{\circ}$
$180^{\circ}-2x = 30^{\circ}$
$-2x = 30^{\circ}-180^{\circ}$
$-2x = -150^{\circ}$
$x = 75^{\circ}$
C
2. 若 $ \angle \alpha $ 的余角为 $ 54^{\circ}32' $,则 $ \angle \alpha $ 的补角的度数是( )
A.$ 35^{\circ}28' $
B.$ 45^{\circ}38' $
C.$ 144^{\circ}32' $
D.$ 154^{\circ}38' $
A.$ 35^{\circ}28' $
B.$ 45^{\circ}38' $
C.$ 144^{\circ}32' $
D.$ 154^{\circ}38' $
答案
C [点拨]因为∠α的余角为54°32'，所以∠α = 35°28'，所以∠α的补角为180°−35°28′ = 144°32'.
3. 下列说法：
① 锐角的补角一定是钝角；
② 一个角的补角一定大于这个角；
③ 如果两个角是同一个角的余角,那么它们相等；
④ 若 $ \angle 1+\angle 2+\angle 3= 180^{\circ} $,则 $ \angle 1,\angle 2,\angle 3 $ 互为补角.
其中正确的说法有( )
A.1 个
B.2 个
C.3 个
D.4 个
① 锐角的补角一定是钝角；
② 一个角的补角一定大于这个角；
③ 如果两个角是同一个角的余角,那么它们相等；
④ 若 $ \angle 1+\angle 2+\angle 3= 180^{\circ} $,则 $ \angle 1,\angle 2,\angle 3 $ 互为补角.
其中正确的说法有( )
A.1 个
B.2 个
C.3 个
D.4 个
答案
B
解析
①锐角的补角一定是钝角，正确；
②钝角的补角小于这个角，错误；
③同角的余角相等，正确；
④补角是两个角之间的关系，错误；
正确的说法有2个。
B
②钝角的补角小于这个角，错误；
③同角的余角相等，正确；
④补角是两个角之间的关系，错误；
正确的说法有2个。
B
4. 如图,将一副三角尺按不同位置摆放,摆放方式中 $ \angle \alpha=\angle \beta $ 的图形有( )
A.1 个
B.2 个
C.3 个
D.4 个
A.1 个
B.2 个
C.3 个
D.4 个
答案
C
解析
1. 第一个图形：∠α=180°-45°=135°，∠β=180°-45°=135°，∠α=∠β。
2. 第二个图形：∠α=90°-30°=60°，∠β=90°-30°=60°，∠α=∠β。
3. 第三个图形：∠α=60°，∠β=30°+45°=75°，∠α≠∠β。
4. 第四个图形：∠α+∠β=180°-90°=90°，∠α=45°，∠β=45°，∠α=∠β。
综上，∠α=∠β的图形有3个。
C
2. 第二个图形：∠α=90°-30°=60°，∠β=90°-30°=60°，∠α=∠β。
3. 第三个图形：∠α=60°，∠β=30°+45°=75°，∠α≠∠β。
4. 第四个图形：∠α+∠β=180°-90°=90°，∠α=45°，∠β=45°，∠α=∠β。
综上，∠α=∠β的图形有3个。
C
5. 如图,将一副三角板如图放置, $ \angle COD= 17^{\circ}24' $,则 $ \angle AOB= $______.
答案
162°36′ [点拨]因为∠AOD = ∠COB = 90°，所以∠AOD−∠COD = ∠COB−∠COD，即∠AOC = ∠DOB = 90°−17°24′ = 72°36'.所以∠AOB = ∠AOC + ∠COD + ∠DOB = 72°36'+17°24′ + 72°36′ = 162°36'.
解析
解：因为$\angle AOD = \angle COB = 90°$，
所以$\angle AOD - \angle COD = \angle COB - \angle COD$，
即$\angle AOC = \angle DOB = 90° - 17° 24' = 72° 36'$。
所以$\angle AOB = \angle AOC + \angle COD + \angle DOB = 72° 36' + 17° 24' + 72° 36' = 162° 36'$。
$162° 36'$
所以$\angle AOD - \angle COD = \angle COB - \angle COD$，
即$\angle AOC = \angle DOB = 90° - 17° 24' = 72° 36'$。
所以$\angle AOB = \angle AOC + \angle COD + \angle DOB = 72° 36' + 17° 24' + 72° 36' = 162° 36'$。
$162° 36'$
6. [2025 邢台期中] 一位同学利用如图所示的量角器,采用如图①所示的方法测量锐角 $ \angle AOB $ 的度数,其中量角器有两条刻度线分别在射线 $ OA,OB $ 上,则 $ \angle AOB $ 的度数为______,另外一位同学用同样的方法,测量 $ \angle AOB $ 的余角 $ \angle COD $ 的度数,如图②所示,已知射线 $ OC $ 所指示的度数为 $ 50^{\circ} $,则射线 $ OD $ 所指示的度数为______.
答案
50°;90°或10°
7. 如图,点 $ A,O,B $ 在同一条直线上, $ \angle AOD= \angle BOD= \angle EOC= 90^{\circ} $, $ \angle BOC:\angle AOE= 3:1 $.
(1) 求 $ \angle COD $ 的度数.
(2) 图中有哪几对角互为余角？
(3) 图中有哪几对角互为补角？
(1) 求 $ \angle COD $ 的度数.
(2) 图中有哪几对角互为余角？
(3) 图中有哪几对角互为补角？
答案
[解]
(1)因为点A，O，B在同一条直线上，所以∠AOB = 180°.因为∠EOC = 90°，所以∠AOE + ∠BOC = 180°−90° = 90°.又因为∠BOC:∠AOE = 3:1，所以∠BOC = 90°×$\frac{3}{4}$ = 67.5°，所以∠COD = ∠BOD−∠BOC = 90°−67.5° = 22.5°.
(2)∠AOE与∠DOE，∠AOE与∠BOC，∠DOE与∠DOC，∠DOC与∠BOC，这4对角互为余角.
(3)∠AOE与∠EOB，∠AOD与∠DOB，∠AOC与∠BOC，∠EOD与∠AOC，∠DOC与∠EOB，∠AOD与∠EOC，∠BOD与∠EOC，这7对角互为补角.
(1)因为点A，O，B在同一条直线上，所以∠AOB = 180°.因为∠EOC = 90°，所以∠AOE + ∠BOC = 180°−90° = 90°.又因为∠BOC:∠AOE = 3:1，所以∠BOC = 90°×$\frac{3}{4}$ = 67.5°，所以∠COD = ∠BOD−∠BOC = 90°−67.5° = 22.5°.
(2)∠AOE与∠DOE，∠AOE与∠BOC，∠DOE与∠DOC，∠DOC与∠BOC，这4对角互为余角.
(3)∠AOE与∠EOB，∠AOD与∠DOB，∠AOC与∠BOC，∠EOD与∠AOC，∠DOC与∠EOB，∠AOD与∠EOC，∠BOD与∠EOC，这7对角互为补角.
8. 若 $ \angle 1 $ 与 $ \angle 2 $ 互为余角, $ \angle 1 $ 与 $ \angle 3 $ 互为补角,则下列结论错误的是( )
A.$ \angle 3-\angle 2= 90^{\circ} $
B.$ \angle 3+\angle 2+2\angle 1= 270^{\circ} $
C.$ \angle 3-\angle 1= 2\angle 2 $
D.$ \angle 3-\angle 2= 2\angle 1 $
A.$ \angle 3-\angle 2= 90^{\circ} $
B.$ \angle 3+\angle 2+2\angle 1= 270^{\circ} $
C.$ \angle 3-\angle 1= 2\angle 2 $
D.$ \angle 3-\angle 2= 2\angle 1 $
答案
D [点拨]因为∠1与∠2互为余角，所以∠1 + ∠2 = 90°.①因为∠1与∠3互为补角，所以∠1 + ∠3 = 180°.②所以②−①，得∠3−∠2 = 90°，故A正确，D错误；① + ②，得∠3 + ∠2 + 2∠1 = 270°，故B正确；②−①×2，得∠3−∠1 = 2∠2，故C正确.
9. 如图, $ \angle 1= \angle 2,\angle 3= \angle 4,\angle BOD= \frac{1}{2}\angle AOB= 90^{\circ} $,下列判断：① 射线 $ OF $ 是 $ \angle BOE $ 的平分线；② $ \angle BOC $ 是 $ \angle 3 $ 的补角；③ $ \angle COD= \angle BOE $；④ $ \angle 3 $ 的余角有 $ \angle BOE $ 和 $ \angle COD $. 其中正确的是( )
A.①③④
B.①②③
C.①②③④
D.②③④
A.①③④
B.①②③
C.①②③④
D.②③④
答案
C [点拨]因为∠1 = ∠2，所以射线OF是∠BOE的平分线，故①正确；因为∠3 = ∠4，且∠BOC是∠4的补角，所以∠BOC是∠3的补角，故②正确；因为∠BOD = $\frac{1}{2}$∠AOB = 90°，所以∠AOD = ∠BOD = 90°，所以∠4 + ∠COD = ∠3 + ∠BOE = 90°.因为∠3 = ∠4，所以∠COD = ∠BOE，故③正确；因为∠4 + ∠COD = 90°，∠3 = ∠4，所以∠3 + ∠COD = 90°.又因为∠3 + ∠BOE = 90°，所以∠3的余角有∠BOE和∠COD，故④正确.综上分析可知，正确的有①②③④.
