1.【知识回顾】
学习代数式求值时，遇到这样一类题“若代数式 $ax - y + 6 + 3x - 5y - 1$ 的值与 $x$ 的取值无关，求 $a$ 的值”，通常的解题方法是：把 $x$，$y$ 看作字母，$a$ 看作系数合并同类项，因为代数式的值与 $x$ 的取值无关，所以含 $x$ 项的系数为 $0$，即原式 $= (a + 3)x - 6y + 5$，所以 $a + 3 = 0$，则 $a = -3$。
【理解应用】
(1)若关于 $x$ 的多项式 $(2x - 3)m + 2m^2 - 3x$ 的值与 $x$ 的取值无关，求 $m$ 的值。
(2)已知 $A = (2x + 1)(x - 1) - x(1 - 3y)$，$B = -x^2 + xy - 1$，且 $3A + 6B$ 的值与 $x$ 的取值无关，求 $y$ 的值。
【能力提升】
(3)如图①是长为 $a$，宽为 $b$ 的小长方形，将 $7$ 个这样的小长方形按照如图②所示方式不重叠地放在大长方形 $ABCD$ 内，大长方形中未被覆盖的两个部分（图中阴影部分）中，设右上角的面积为 $S_1$，左下角的面积为 $S_2$。当 $AB$ 的长变化时，$S_1 - S_2$ 的值始终保持不变，求 $a$ 与 $b$ 之间的等量关系。

解: (1) $(2x - 3)m + 2m^{2} - 3x$
$= 2mx - 3m + 2m^{2} - 3x$
$= (2m - 3)x + 2m^{2} - 3m$.
因为其值与 $x$ 的取值无关,
所以 $2m - 3 = 0$, 解得 $m = \frac{3}{2}$.
(2) $3A + 6B = 3[(2x + 1)(x - 1) - x(1 - 3y)] + 6(-x^{2} + xy - 1)$
$= 3(2x^{2} - 2x + x - 1 - x + 3xy) - 6x^{2} + 6xy - 6$
$= 6x^{2} - 6x + 3x - 3 - 3x + 9xy - 6x^{2} + 6xy - 6$
$= -6x + 15xy - 9$
$= (-6 + 15y)x - 9$.
因为 $3A + 6B$ 的值与 $x$ 的取值无关,
所以 $-6 + 15y = 0$, 解得 $y = \frac{2}{5}$.
(3) 设 $AB$ 的长为 $x$, 则 $S_{1} = a(x - 3b)$, $S_{2} = 2b(x - 2a)$,
则 $S_{1} - S_{2} = a(x - 3b) - 2b(x - 2a) = (a - 2b)x + ab$.
因为当 $AB$ 的长变化时, $S_{1} - S_{2}$ 的值始终保持不变,
所以 $S_{1} - S_{2}$ 的取值与 $x$ 无关,
所以 $a - 2b = 0$, 所以 $a = 2b$.