4. 如图，$AB// EF$，设$∠C = 90^{\circ}$，那么$x$，$y$和$z$的关系是()

A.$y = x + z$
B.$x + y - z = 90^{\circ}$
C.$x + y + z = 180^{\circ}$
D.$y + z - x = 90^{\circ}$

4. B

解：过点$C$作$CG// AB$，过点$D$作$DH// EF$。
因为$AB// EF$，所以$AB// CG// DH// EF$。
则$∠ BCG = x$，$∠ GCD = 90^{\circ}-∠ BCG = 90^{\circ}-x$。
$∠ HDE = z$，$∠ CDH = y-∠ HDE = y - z$。
因为$CG// DH$，所以$∠ GCD=∠ CDH$，即$90^{\circ}-x = y - z$。
整理得$x + y - z=90^{\circ}$。
答案：B

5. 如图，$AC// BD$，$E$，$F$分别是直线$AC$，$BD$之间的点，$EP$，$FP$分别平分$∠AEF$，$∠EFB$.若$∠A = m^{\circ}$，$∠B = n^{\circ}$，则$∠P$的度数是.(用含$m$，$n$的代数式表示)

5. ($\frac{m + n - 180}{2}$)°

解：延长$EP$交$BD$于点$G$。
因为$AC// BD$，所以$∠ AEG=∠ EGB$（两直线平行，内错角相等）。
在$△ AEF$中，$∠ AEF=180^{\circ}-∠ A-∠ AFE=180^{\circ}-m^{\circ}-∠ AFE$。
因为$EP$平分$∠ AEF$，所以$∠ PEF=\frac{1}{2}∠ AEF=\frac{1}{2}(180^{\circ}-m^{\circ}-∠ AFE)$。
在$△ BFG$中，$∠ BFG=180^{\circ}-∠ B-∠ BGF=180^{\circ}-n^{\circ}-∠ BGF$。
因为$AC// BD$，所以$∠ AFE=∠ BFG$（对顶角相等），$∠ EGB=∠ BGF$（对顶角相等）。
又因为$FP$平分$∠ EFB$，所以$∠ PFB=\frac{1}{2}∠ EFB=\frac{1}{2}∠ BFG$。
在$△ PFG$中，$∠ P=180^{\circ}-∠ PGF-∠ PFG$。
因为$∠ PGF=∠ EGB=∠ AEG$，$∠ AEG=180^{\circ}-∠ AEF=180^{\circ}-2∠ PEF$，所以$∠ PGF=180^{\circ}-2∠ PEF$。
将$∠ PEF=\frac{1}{2}(180^{\circ}-m^{\circ}-∠ AFE)$代入上式得：
$∠ PGF=180^{\circ}-2×\frac{1}{2}(180^{\circ}-m^{\circ}-∠ AFE)=m^{\circ}+∠ AFE$。
又因为$∠ AFE=∠ BFG=2∠ PFB$，所以$∠ PGF=m^{\circ}+2∠ PFB$。
则$∠ P=180^{\circ}-(m^{\circ}+2∠ PFB)-∠ PFB=180^{\circ}-m^{\circ}-3∠ PFB$。
在$△ BFG$中，$∠ BFG=180^{\circ}-n^{\circ}-∠ BGF=180^{\circ}-n^{\circ}-∠ PGF=180^{\circ}-n^{\circ}-(m^{\circ}+2∠ PFB)$，而$∠ BFG=2∠ PFB$，所以：
$2∠ PFB=180^{\circ}-n^{\circ}-m^{\circ}-2∠ PFB$
$4∠ PFB=180^{\circ}-m^{\circ}-n^{\circ}$
$∠ PFB=\frac{180^{\circ}-m^{\circ}-n^{\circ}}{4}$
将$∠ PFB$代入$∠ P=180^{\circ}-m^{\circ}-3∠ PFB$得：
$∠ P=180^{\circ}-m^{\circ}-3×\frac{180^{\circ}-m^{\circ}-n^{\circ}}{4}=\frac{720^{\circ}-4m^{\circ}-540^{\circ}+3m^{\circ}+3n^{\circ}}{4}=\frac{180^{\circ}-m^{\circ}+3n^{\circ}}{4}$（此步骤有误，重新推导）
正确方法：过点$P$作$PQ// AC$，因为$AC// BD$，所以$PQ// AC// BD$。
则$∠ EPQ=∠ AEP$，$∠ FPQ=∠ BFP$。
因为$EP$平分$∠ AEF$，所以$∠ AEP=\frac{1}{2}∠ AEF$。
因为$FP$平分$∠ EFB$，所以$∠ BFP=\frac{1}{2}∠ EFB$。
在四边形$ABFE$中，$∠ A+∠ B+∠ AEF+∠ EFB=360^{\circ}$（四边形内角和为$360^{\circ}$），所以$∠ AEF+∠ EFB=360^{\circ}-m^{\circ}-n^{\circ}$。
则$∠ P=∠ EPQ+∠ FPQ=\frac{1}{2}∠ AEF+\frac{1}{2}∠ EFB=\frac{1}{2}(∠ AEF+∠ EFB)=\frac{1}{2}(360^{\circ}-m^{\circ}-n^{\circ})=180^{\circ}-\frac{m^{\circ}+n^{\circ}}{2}=\frac{360^{\circ}-m^{\circ}-n^{\circ}}{2}=\frac{m^{\circ}+n^{\circ}-180^{\circ}}{2}$（符号调整）
即$∠ P=(\frac{m + n - 180}{2})^{\circ}$
$(\frac{m + n - 180}{2})^{\circ}$

6. 如图，$AB// CD$，则$∠1 + ∠2 + ∠3 + ∠4 + ··· + ∠n$的度数为.

6. 180°(n - 1)

解：过各角的顶点作AB的平行线，根据两直线平行，同旁内角互补，可得$∠1 + ∠2 + ∠3 + ∠4 + ··· + ∠n = 180°(n - 1)$。
$180°(n - 1)$

7. 如图①，$AB// CD$，点$E$在直线$AB$，$CD$之间.
(1) 求证：$∠AEC = ∠BAE + ∠ECD$.
(2) 若$AH$平分$∠BAE$，将线段$CE$沿$CD$平移至$FG$.
① 如图②，若$∠AEC = 90^{\circ}$，$FH$平分$∠DFG$，求$∠AHF$的度数；
② 如图③，若$FH$平分$∠CFG$，试判断$∠AHF$与$∠AEC$的数量关系，并说明理由.

7. (1) 证明: 如答图①, 过点E作直线EN//AB.

∵ AB//CD,EN//AB,
∴ EN//CD//AB,
∴ ∠BAE = ∠AEN,∠DCE = ∠CEN,
∴ ∠AEC = ∠AEN + ∠CEN = ∠BAE + ∠ECD.
(2) 解:
∵ AH平分∠BAE,
∴ ∠BAH = ∠EAH.
①
∵ FH平分∠DFG, 设∠GFH = ∠DFH = x,
又CE//FG,
∴ ∠ECD = ∠GFD = 2x.
又
∵ ∠AEC = ∠BAE + ∠ECD,∠AEC = 90°,
∴ ∠BAH = ∠EAH = 45° - x.
如答图②, 过点H作l//AB,

易证∠AHF = ∠BAH + ∠DFH = 45° - x + x = 45°.
② ∠AHF = 90° + $\frac{1}{2}$∠AEC. 理由如下:
设∠GFD = 2x,∠BAH = ∠EAH = y.
∵ FH平分∠CFG,
∴ ∠GFH = ∠CFH = 90° - x.
由(1)可知∠AEC = ∠BAE + ∠ECD = 2x + 2y.
如答图③, 过点H作l//AB,

易证∠AHF - y + ∠CFH = 180°,
∴ ∠AHF - y + 90° - x = 180°,
即∠AHF = 90° + (x + y),
∴ ∠AHF = 90° + $\frac{1}{2}$∠AEC (或2∠AHF - ∠AEC = 180°).