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9.已知$a=\dfrac{2023×2023 - 2023}{2022×2022 + 2022}$，$b=-\dfrac{2024×2024 - 2024}{2023×2023 + 2023}$，$c=-\dfrac{2025×2025 - 2025}{2024×2024 + 2024}$，则$abc=$
1
。答案
9.1
解析
【分析】
观察a、b、c的分子和分母的结构，都是相同大数的平方加减这个大数，直接计算数值过大，因此优先考虑用乘法分配律的逆用（提取公因式）对每个分式进行化简，求出a、b、c的最简结果后，再计算三者的乘积即可。
【解析】
先分别化简a、b、c：
1. 计算a的值：
分子：$2023×2023 - 2023 = 2023×(2023 - 1) = 2023×2022$
分母：$2022×2022 + 2022 = 2022×(2022 + 1) = 2022×2023$
因此$a=\dfrac{2023×2022}{2022×2023}=1$
2. 计算b的值：
分子：$2024×2024 - 2024 = 2024×(2024 - 1) = 2024×2023$
分母：$2023×2023 + 2023 = 2023×(2023 + 1) = 2023×2024$
因此$b=-\dfrac{2024×2023}{2023×2024}=-1$
3. 计算c的值：
分子：$2025×2025 - 2025 = 2025×(2025 - 1) = 2025×2024$
分母：$2024×2024 + 2024 = 2024×(2024 + 1) = 2024×2025$
因此$c=-\dfrac{2025×2024}{2024×2025}=-1$
最后计算乘积：$abc=1×(-1)×(-1)=1$
【答案】
1
【知识点】
乘法分配律逆用、有理数乘法运算、分式约分
【点评】
本题核心是灵活运用运算律简化计算，遇到含较大数字的运算题时，不要直接硬算，先观察式子的结构特征，找到公因式提取后约分，能大幅降低计算量，避免出错。
【难度系数】
0.7
观察a、b、c的分子和分母的结构，都是相同大数的平方加减这个大数，直接计算数值过大，因此优先考虑用乘法分配律的逆用（提取公因式）对每个分式进行化简，求出a、b、c的最简结果后，再计算三者的乘积即可。
【解析】
先分别化简a、b、c：
1. 计算a的值：
分子：$2023×2023 - 2023 = 2023×(2023 - 1) = 2023×2022$
分母：$2022×2022 + 2022 = 2022×(2022 + 1) = 2022×2023$
因此$a=\dfrac{2023×2022}{2022×2023}=1$
2. 计算b的值：
分子：$2024×2024 - 2024 = 2024×(2024 - 1) = 2024×2023$
分母：$2023×2023 + 2023 = 2023×(2023 + 1) = 2023×2024$
因此$b=-\dfrac{2024×2023}{2023×2024}=-1$
3. 计算c的值：
分子：$2025×2025 - 2025 = 2025×(2025 - 1) = 2025×2024$
分母：$2024×2024 + 2024 = 2024×(2024 + 1) = 2024×2025$
因此$c=-\dfrac{2025×2024}{2024×2025}=-1$
最后计算乘积：$abc=1×(-1)×(-1)=1$
【答案】
1
【知识点】
乘法分配律逆用、有理数乘法运算、分式约分
【点评】
本题核心是灵活运用运算律简化计算，遇到含较大数字的运算题时，不要直接硬算，先观察式子的结构特征，找到公因式提取后约分，能大幅降低计算量，避免出错。
【难度系数】
0.7
10.请你参考下列的解题过程，用运算律简便计算：
(1)$999×(-15)$；
(2)$999×118\frac{4}{5} + 999×(-\frac{1}{5}) - 999×118\frac{3}{5}$。
(1)$999×(-15)$；
(2)$999×118\frac{4}{5} + 999×(-\frac{1}{5}) - 999×118\frac{3}{5}$。
答案
(1)解:原式$=(1000-1)×(-15)=-15000+15=-14985.$
(2)解:原式$=999×(118\frac{4}{5}-\frac{1}{5}-118\frac{3}{5})=0.$
(2)解:原式$=999×(118\frac{4}{5}-\frac{1}{5}-118\frac{3}{5})=0.$
解析
【分析】
本题考查有理数乘法运算律的简便应用，核心是运用乘法分配律简化计算：
(1)观察到999接近整千数1000，可将999改写为(1000-1)，再正用乘法分配律展开计算，无需直接计算大数乘积，降低计算量；
(2)观察到三个乘法项中都含有相同的因数999，可逆用乘法分配律，将公因数999提取出来，先计算括号内分数的加减，括号内的数可凑整为0，快速得到结果。
【解析】
(1) 计算$999×(-15)$：
将999转化为$1000-1$，再利用乘法分配律展开：
$\begin{aligned}\mathrm{原式}&=(1000-1)×(-15)\\&=1000×(-15) - 1×(-15)\\&=-15000 + 15\\&=-14985\end{aligned}$
(2) 计算$999×118\frac{4}{5} + 999×(-\frac{1}{5}) - 999×118\frac{3}{5}$：
逆用乘法分配律，提取公因数999：
$\begin{aligned}\mathrm{原式}&=999×[118\frac{4}{5} + (-\frac{1}{5}) - 118\frac{3}{5}]\\&=999×(118\frac{4}{5} - 118\frac{3}{5} - \frac{1}{5})\\&=999×(\frac{1}{5} - \frac{1}{5})\\&=999×0\\&=0\end{aligned}$
【答案】
(1) $\boxed{-14985}$；(2) $\boxed{0}$
【知识点】
乘法分配律；有理数简便运算；逆用运算律
【点评】
本题是有理数简便计算的典型题型，分别考查乘法分配律的正用和逆用，通过凑整、提取公共因数的方法，可有效避免复杂的大数运算，减少计算失误，熟练掌握运算律是提升有理数计算能力的核心。
【难度系数】
0.8
本题考查有理数乘法运算律的简便应用，核心是运用乘法分配律简化计算：
(1)观察到999接近整千数1000，可将999改写为(1000-1)，再正用乘法分配律展开计算，无需直接计算大数乘积，降低计算量；
(2)观察到三个乘法项中都含有相同的因数999，可逆用乘法分配律，将公因数999提取出来，先计算括号内分数的加减，括号内的数可凑整为0，快速得到结果。
【解析】
(1) 计算$999×(-15)$：
将999转化为$1000-1$，再利用乘法分配律展开：
$\begin{aligned}\mathrm{原式}&=(1000-1)×(-15)\\&=1000×(-15) - 1×(-15)\\&=-15000 + 15\\&=-14985\end{aligned}$
(2) 计算$999×118\frac{4}{5} + 999×(-\frac{1}{5}) - 999×118\frac{3}{5}$：
逆用乘法分配律，提取公因数999：
$\begin{aligned}\mathrm{原式}&=999×[118\frac{4}{5} + (-\frac{1}{5}) - 118\frac{3}{5}]\\&=999×(118\frac{4}{5} - 118\frac{3}{5} - \frac{1}{5})\\&=999×(\frac{1}{5} - \frac{1}{5})\\&=999×0\\&=0\end{aligned}$
【答案】
(1) $\boxed{-14985}$；(2) $\boxed{0}$
【知识点】
乘法分配律；有理数简便运算；逆用运算律
【点评】
本题是有理数简便计算的典型题型，分别考查乘法分配律的正用和逆用，通过凑整、提取公共因数的方法，可有效避免复杂的大数运算，减少计算失误，熟练掌握运算律是提升有理数计算能力的核心。
【难度系数】
0.8
11.(核心素养·抽象能力)在学习有理数乘法时,李老师和同学们做了这样的游戏,将2024这个数说给第一位同学,第一位同学将它减去它的$\frac{1}{2}$的结果告诉第二位同学,第二位同学再将听到的结果减去它的$\frac{1}{3}$的结果告诉第三位同学,…照这样的方法直到全班40人全部传完,最后一位同学将听到的结果告诉李老师,你知道最后的结果吗?
答案
解:$2024×(1-\frac{1}{2})×(1-\frac{1}{3})×(1-\frac{1}{4})×…×(1-\frac{1}{40})=2024×\frac{1}{2}×\frac{2}{3}×\frac{3}{4}×…×\frac{39}{40}=2024×\frac{1}{40}=\frac{253}{5}.$
解析
【分析】
我们可以先梳理每一位同学收到的数的变化规律：第1位同学拿到的初始数是2024；第2位同学收到的数是第1位同学的数减去它的$\frac{1}{2}$，也就是初始数×$(1-\frac{1}{2})$；第3位同学收到的数是第2位的数减去它的$\frac{1}{3}$，也就是初始数×$(1-\frac{1}{2})×(1-\frac{1}{3})$；以此类推，第40位同学收到的数就是2024依次乘$(1-\frac{1}{2})$、$(1-\frac{1}{3})$……直到$(1-\frac{1}{40})$的乘积。计算时观察乘积里的分数，能发现相邻分数的分子、分母可以交叉约分，不用逐个计算就能快速得出结果。
【解析】
根据传递规则，第40位同学得到的结果可列式为：
$2024×(1-\frac{1}{2})×(1-\frac{1}{3})×(1-\frac{1}{4})×…×(1-\frac{1}{40})$
先计算每个括号内的减法：
$=2024×\frac{1}{2}×\frac{2}{3}×\frac{3}{4}×…×\frac{39}{40}$
观察算式可发现，相邻分数的分子和分母可以依次约分，约分后仅剩第一个分数的分子1和最后一个分数的分母40：
$=2024×\frac{1}{40}$
计算得：
$=\frac{2024}{40}=\frac{253}{5}$
【答案】
$\frac{253}{5}$
【知识点】
有理数乘法，分数约分，规律探究
【点评】
本题结合趣味游戏场景考查有理数乘法的应用，解题的核心是准确提炼数字变化的规律，利用连锁约分的技巧简化计算，避免复杂的分步运算。
【难度系数】
0.7
我们可以先梳理每一位同学收到的数的变化规律：第1位同学拿到的初始数是2024；第2位同学收到的数是第1位同学的数减去它的$\frac{1}{2}$，也就是初始数×$(1-\frac{1}{2})$；第3位同学收到的数是第2位的数减去它的$\frac{1}{3}$，也就是初始数×$(1-\frac{1}{2})×(1-\frac{1}{3})$；以此类推，第40位同学收到的数就是2024依次乘$(1-\frac{1}{2})$、$(1-\frac{1}{3})$……直到$(1-\frac{1}{40})$的乘积。计算时观察乘积里的分数，能发现相邻分数的分子、分母可以交叉约分，不用逐个计算就能快速得出结果。
【解析】
根据传递规则，第40位同学得到的结果可列式为：
$2024×(1-\frac{1}{2})×(1-\frac{1}{3})×(1-\frac{1}{4})×…×(1-\frac{1}{40})$
先计算每个括号内的减法：
$=2024×\frac{1}{2}×\frac{2}{3}×\frac{3}{4}×…×\frac{39}{40}$
观察算式可发现，相邻分数的分子和分母可以依次约分，约分后仅剩第一个分数的分子1和最后一个分数的分母40：
$=2024×\frac{1}{40}$
计算得：
$=\frac{2024}{40}=\frac{253}{5}$
【答案】
$\frac{253}{5}$
【知识点】
有理数乘法，分数约分，规律探究
【点评】
本题结合趣味游戏场景考查有理数乘法的应用，解题的核心是准确提炼数字变化的规律，利用连锁约分的技巧简化计算，避免复杂的分步运算。
【难度系数】
0.7
【例】 计算：
(1) $3\frac{1}{7}×\frac{21}{22}×(3\frac{1}{7}-7\frac{1}{3})×(-\frac{7}{22})$；
(2) $(-3.61)×0.75+0.61×\frac{3}{4}+(-0.2)×75\%$。
(1) $3\frac{1}{7}×\frac{21}{22}×(3\frac{1}{7}-7\frac{1}{3})×(-\frac{7}{22})$；
(2) $(-3.61)×0.75+0.61×\frac{3}{4}+(-0.2)×75\%$。
答案
(1)解:原式$=\frac{22}{7}×\frac{21}{22}×(\frac{22}{7}-\frac{22}{3})×(-\frac{7}{22})=[\frac{22}{7}×(-\frac{7}{22})]×(\frac{22}{7}×\frac{21}{22}-\frac{22}{3}×\frac{21}{22})=-1×(3-7)=4.$
(2)解:原式$=(-3.61)×\frac{3}{4}+0.61×\frac{3}{4}+(-0.2)×\frac{3}{4}=\frac{3}{4}×(-3.61+0.61-0.2)=\frac{3}{4}×(-3.2)=\frac{3}{4}×(-\frac{16}{5})=-\frac{12}{5}.$
(2)解:原式$=(-3.61)×\frac{3}{4}+0.61×\frac{3}{4}+(-0.2)×\frac{3}{4}=\frac{3}{4}×(-3.61+0.61-0.2)=\frac{3}{4}×(-3.2)=\frac{3}{4}×(-\frac{16}{5})=-\frac{12}{5}.$
解析
【分析】
(1) 解题时先将式子中的带分数全部转化为假分数，观察式子特征可发现存在互为倒数的因数，先利用乘法交换律、结合律调整运算顺序，优先计算互为倒数的因数的乘积，再利用乘法分配律计算括号内的部分，既能简化计算，也能减少负号处理的出错率。
(2) 先统一式子中相同因数的书写形式，可发现所有乘法项都含有公因数$\frac{3}{4}$，逆用乘法分配律提取公因数后，先计算括号内的加减法，再计算最终的乘法，可大幅降低计算量。
【解析】
(1) 原式$=\frac{22}{7}×\frac{21}{22}×(\frac{22}{7}-\frac{22}{3})×(-\frac{7}{22})$
$=[\frac{22}{7}×(-\frac{7}{22})]×(\frac{22}{7}×\frac{21}{22}-\frac{22}{3}×\frac{21}{22})$
$=-1×(3-7)$
$=4$
(2) 原式$=(-3.61)×\frac{3}{4}+0.61×\frac{3}{4}+(-0.2)×\frac{3}{4}$
$=\frac{3}{4}×(-3.61+0.61-0.2)$
$=\frac{3}{4}×(-3.2)$
$=\frac{3}{4}×(-\frac{16}{5})$
$=-\frac{12}{5}$
【答案】
(1) $\boxed{4}$；(2) $\boxed{-\dfrac{12}{5}}$
【知识点】
1. 有理数乘法运算律
2. 带分数假分数互化
3. 乘法分配律逆用
【点评】
这两道题是有理数简便运算的典型题型，解题核心是先观察式子的结构特征，灵活选用乘法交换律、结合律、分配律调整运算顺序，可避免繁琐的分步计算，有效降低运算出错率。
【难度系数】
0.7
(1) 解题时先将式子中的带分数全部转化为假分数，观察式子特征可发现存在互为倒数的因数，先利用乘法交换律、结合律调整运算顺序，优先计算互为倒数的因数的乘积，再利用乘法分配律计算括号内的部分，既能简化计算，也能减少负号处理的出错率。
(2) 先统一式子中相同因数的书写形式，可发现所有乘法项都含有公因数$\frac{3}{4}$，逆用乘法分配律提取公因数后，先计算括号内的加减法，再计算最终的乘法，可大幅降低计算量。
【解析】
(1) 原式$=\frac{22}{7}×\frac{21}{22}×(\frac{22}{7}-\frac{22}{3})×(-\frac{7}{22})$
$=[\frac{22}{7}×(-\frac{7}{22})]×(\frac{22}{7}×\frac{21}{22}-\frac{22}{3}×\frac{21}{22})$
$=-1×(3-7)$
$=4$
(2) 原式$=(-3.61)×\frac{3}{4}+0.61×\frac{3}{4}+(-0.2)×\frac{3}{4}$
$=\frac{3}{4}×(-3.61+0.61-0.2)$
$=\frac{3}{4}×(-3.2)$
$=\frac{3}{4}×(-\frac{16}{5})$
$=-\frac{12}{5}$
【答案】
(1) $\boxed{4}$；(2) $\boxed{-\dfrac{12}{5}}$
【知识点】
1. 有理数乘法运算律
2. 带分数假分数互化
3. 乘法分配律逆用
【点评】
这两道题是有理数简便运算的典型题型，解题核心是先观察式子的结构特征，灵活选用乘法交换律、结合律、分配律调整运算顺序，可避免繁琐的分步计算，有效降低运算出错率。
【难度系数】
0.7
【变式】 计算：
(1)$-19\frac{17}{18}×(-6)=$
(2)$-13×\frac{2}{3}-0.34×\frac{2}{7}+\frac{1}{3}×(-13)-\frac{5}{7}×0.34=$
(1)$-19\frac{17}{18}×(-6)=$
$119\dfrac{2}{3}$
.(2)$-13×\frac{2}{3}-0.34×\frac{2}{7}+\frac{1}{3}×(-13)-\frac{5}{7}×0.34=$
$-13.34$
.答案
(1)$119\frac{2}{3}$ (2)$-13.34$
解析
【分析】
(1) 观察算式发现带分数$-19\frac{17}{18}$接近整数$-20$，直接计算带分数乘法步骤繁琐，因此可先将带分数拆成“整数+分数”的形式（即$-19\frac{17}{18}=-20+\frac{1}{18}$），再利用乘法分配律展开计算，同时注意负负得正的符号规则。
(2) 观察算式发现有两组相同因数：一组是$-13$，分别与$\frac{2}{3}$、$\frac{1}{3}$相乘；另一组是$-0.34$，分别与$\frac{2}{7}$、$\frac{5}{7}$相乘，因此可先通过加法交换律、结合律将同因数的项分组，再提取公因数，用乘法分配律的逆运算简化计算。
【解析】
(1) $\begin{aligned}-19\frac{17}{18}×(-6)&=(-20+\frac{1}{18})×(-6)\\&=(-20)×(-6)+\frac{1}{18}×(-6)\\&=120-\frac{1}{3}\\&=119\frac{2}{3}\end{aligned}$
(2) $\begin{aligned}&-13×\frac{2}{3}-0.34×\frac{2}{7}+\frac{1}{3}×(-13)-\frac{5}{7}×0.34\\=&[-13×\frac{2}{3}+\frac{1}{3}×(-13)]+(-0.34×\frac{2}{7}-\frac{5}{7}×0.34)\\=&-13×(\frac{2}{3}+\frac{1}{3})+(-0.34)×(\frac{2}{7}+\frac{5}{7})\\=&-13×1+(-0.34)×1\\=&-13-0.34\\=&-13.34\end{aligned}$
【答案】
(1)$119\frac{2}{3}$ (2)$-13.34$
【知识点】
有理数乘法运算律、乘法分配律、简便运算
【点评】
这两道题是有理数乘法简便运算的典型题型，核心是灵活运用乘法分配律，通过拆带分数、分组提取公因数的方法，可避免复杂的通分或多步乘法计算，有效提升计算效率和准确率。
【难度系数】
0.7
(1) 观察算式发现带分数$-19\frac{17}{18}$接近整数$-20$，直接计算带分数乘法步骤繁琐，因此可先将带分数拆成“整数+分数”的形式（即$-19\frac{17}{18}=-20+\frac{1}{18}$），再利用乘法分配律展开计算，同时注意负负得正的符号规则。
(2) 观察算式发现有两组相同因数：一组是$-13$，分别与$\frac{2}{3}$、$\frac{1}{3}$相乘；另一组是$-0.34$，分别与$\frac{2}{7}$、$\frac{5}{7}$相乘，因此可先通过加法交换律、结合律将同因数的项分组，再提取公因数，用乘法分配律的逆运算简化计算。
【解析】
(1) $\begin{aligned}-19\frac{17}{18}×(-6)&=(-20+\frac{1}{18})×(-6)\\&=(-20)×(-6)+\frac{1}{18}×(-6)\\&=120-\frac{1}{3}\\&=119\frac{2}{3}\end{aligned}$
(2) $\begin{aligned}&-13×\frac{2}{3}-0.34×\frac{2}{7}+\frac{1}{3}×(-13)-\frac{5}{7}×0.34\\=&[-13×\frac{2}{3}+\frac{1}{3}×(-13)]+(-0.34×\frac{2}{7}-\frac{5}{7}×0.34)\\=&-13×(\frac{2}{3}+\frac{1}{3})+(-0.34)×(\frac{2}{7}+\frac{5}{7})\\=&-13×1+(-0.34)×1\\=&-13-0.34\\=&-13.34\end{aligned}$
【答案】
(1)$119\frac{2}{3}$ (2)$-13.34$
【知识点】
有理数乘法运算律、乘法分配律、简便运算
【点评】
这两道题是有理数乘法简便运算的典型题型，核心是灵活运用乘法分配律，通过拆带分数、分组提取公因数的方法，可避免复杂的通分或多步乘法计算，有效提升计算效率和准确率。
【难度系数】
0.7
