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1. 下列运算中，正确的是 （
A.$\sqrt{3}+\sqrt{13}=4$
B.$\sqrt{7}-\sqrt{2}=\sqrt{5}$
C.$\sqrt{5} × \sqrt{15}=5\sqrt{3}$
D.$(\sqrt{12}+\sqrt{27}) ÷ \sqrt{3}=7$
C
）A.$\sqrt{3}+\sqrt{13}=4$
B.$\sqrt{7}-\sqrt{2}=\sqrt{5}$
C.$\sqrt{5} × \sqrt{15}=5\sqrt{3}$
D.$(\sqrt{12}+\sqrt{27}) ÷ \sqrt{3}=7$
答案
1.C
2.[重庆渝北区模拟]设$m=\sqrt{45}-5\sqrt{\frac{1}{5}}$，则实数$m$所在的范围是（
A.$4＜m＜5$
B.$3＜m＜4$
C.$m＜3$
D.$m＞5$
A
）A.$4＜m＜5$
B.$3＜m＜4$
C.$m＜3$
D.$m＞5$
答案
2.A 【点拨】$m=\sqrt{45}-5\sqrt{\frac{1}{5}}=\sqrt{45}-\sqrt{\frac{25}{5}}=3\sqrt{5}-\sqrt{5}=2\sqrt{5}.\because 2\sqrt{5}=\sqrt{20},\sqrt{16}＜\sqrt{20}＜\sqrt{25},\therefore 4＜2\sqrt{5}＜5,即4＜m＜5.$ 故选A.
3. 如果实数 $ x,y $ 满足 $ \sqrt{x^2 y^3} = -xy\sqrt{y} $，那么点$ (x,y) $在 （
A.第一象限
B.第二象限
C.第一象限或坐标轴上
D.第二象限或坐标轴上
D
）A.第一象限
B.第二象限
C.第一象限或坐标轴上
D.第二象限或坐标轴上
答案
3.D 【点拨】$\because \sqrt{x^2 y^3}=-xy\sqrt{y},\therefore y≥0,-xy≥0,\therefore x≤0,\therefore 点(x,y)在第二象限或坐标轴上.$
4. 新趋势学科内综合 在$△ ABC$中，已知$AB=\sqrt{3}+\sqrt{2}$，$BC=\sqrt{3}-\sqrt{2}$，则AC可以是 （
A.1
B.2
C.3
D.4
C
）A.1
B.2
C.3
D.4
答案
4.C 【点拨】$\because AB=\sqrt{3}+\sqrt{2},BC=\sqrt{3}-\sqrt{2},\therefore AB-BC＜AC＜AB+BC,即\sqrt{3}+\sqrt{2}-(\sqrt{3}-\sqrt{2})＜AC＜\sqrt{3}+\sqrt{2}+\sqrt{3}-\sqrt{2},\therefore 2\sqrt{2}＜AC＜2\sqrt{3}.\because 4＜8＜9＜12＜16,\therefore 2＜2\sqrt{2}＜3＜2\sqrt{3}＜4,\therefore 四个选项中,只有C选项符合题意.$
5. 新考法分类讨论法 一个直角三角形的两条边分别为$a=\sqrt{2}$，$b=\sqrt{6}$，那么这个直角三角形的面积是（
A.$\sqrt{3}$
B.$2\sqrt{3}$
C.$\sqrt{3}$或$\sqrt{2}$
D.$2\sqrt{3}$或$2\sqrt{2}$
C
）A.$\sqrt{3}$
B.$2\sqrt{3}$
C.$\sqrt{3}$或$\sqrt{2}$
D.$2\sqrt{3}$或$2\sqrt{2}$
答案
5.C 【点拨】当b是直角边时,这个直角三角形的面积是$\frac{1}{2}×\sqrt{2}×\sqrt{6}=\sqrt{3}$;当b是斜边时,另一条直角边为$\sqrt{6-2}=2$,这个直角三角形的面积是$\frac{1}{2}×2×\sqrt{2}=\sqrt{2}.$ 综上,这个直角三角形的面积是$\sqrt{3}$或$\sqrt{2}.$
6. 如图，矩形内有两个相邻的正方形，其面积分别为2和8，则图中阴影部分的面积为（
A.$\sqrt{2}$
B.$2$
C.$2\sqrt{2}$
D.$6$
B
）A.$\sqrt{2}$
B.$2$
C.$2\sqrt{2}$
D.$6$
答案
6.B
7. 情境题 生活应用 如图，已知钓鱼竿AC的长为6 m，露出水面的线BC长为$3\sqrt{2}$ m，某钓者想看看鱼钩上的情况，把鱼竿AC转动到$AC'$的位置，此时露出水面的线$B'C'$长为$\sqrt{34}$ m，则$BB'$的长为（A，$B'$，B在同一条直线上，$AB' ⊥ B'C'$，$AB ⊥ BC$）（
A.$\sqrt{2}$ m
B.$2\sqrt{2}$ m
C.$\sqrt{5}$ m
D.$2\sqrt{3}$ m
B
）A.$\sqrt{2}$ m
B.$2\sqrt{2}$ m
C.$\sqrt{5}$ m
D.$2\sqrt{3}$ m
答案
7.B 【点拨】$\because AC=6\ \mathrm{m},BC=3\sqrt{2}\ \mathrm{m},\therefore AB=\sqrt{AC^2-BC^2}=\sqrt{6^2-(3\sqrt{2})^2}=3\sqrt{2}\ (\mathrm{m}).\because AC'=6\ \mathrm{m},B'C'=\sqrt{34}\ \mathrm{m},\therefore AB'=\sqrt{6^2-(\sqrt{34})^2}=\sqrt{2}\ (\mathrm{m}),\therefore BB'=AB-AB'=3\sqrt{2}-\sqrt{2}=2\sqrt{2}\ (\mathrm{m}).$
8. 如图，方格纸中小正方形的边长为1，$△ ABC$的三个顶点都在小正方形的格点上，某同学在观察探究时发现：①$△ ABC$的形状是等腰三角形；②$△ ABC$的周长是$2\sqrt{10}+\sqrt{2}$；③点C到AB边的距离是$\frac{4}{5}\sqrt{10}$.你认为该同学观察的结论正确的序号是（
A.①②
B.①③
C.②③
D.①②③
B
）A.①②
B.①③
C.②③
D.①②③
答案
8.B 【点拨】$\because$方格纸中小正方形的边长为1,$△ ABC$的三个顶点都在小正方形的格点上,$\therefore AB=\sqrt{1^2+3^2}=\sqrt{10},BC=\sqrt{1^2+3^2}=\sqrt{10}.\therefore AB=BC.\therefore △ ABC$是等腰三角形,故①的结论正确;$\because AC=\sqrt{2^2+2^2}=2\sqrt{2}$,$\therefore △ ABC$的周长为$AB+BC+AC=\sqrt{10}+\sqrt{10}+2\sqrt{2}=2\sqrt{10}+2\sqrt{2}$,故②的结论错误;$\because S_{△ ABC}=3^2-\frac{1}{2}×1×3-\frac{1}{2}×2×2-\frac{1}{2}×1×3=9-\frac{3}{2}-2-\frac{3}{2}=4$,$\therefore$点C到AB边的距离为$2×4÷\sqrt{10}=\frac{4}{5}\sqrt{10}$,故③的结论正确.
二、填空题(每题5分,共20分)
9. 实数$a,b,c$在数轴上的对应点如图所示，化简$\sqrt{(a-c)^2} - |b-a|$的结果是
9. 实数$a,b,c$在数轴上的对应点如图所示，化简$\sqrt{(a-c)^2} - |b-a|$的结果是
$b-c$
。答案
9.$b-c$
10. 如果$\frac{1}{3-\sqrt{7}}$的整数部分是$a$，小数部分是$b$，则$\frac{a}{a-b}=$
$\frac{10+2\sqrt{7}}{9}$
答案
10.$\frac{10+2\sqrt{7}}{9}$ 【点拨】$\because \frac{1}{3-\sqrt{7}}=\frac{3+\sqrt{7}}{2},且2＜\sqrt{7}＜3$,$\therefore \frac{5}{2}＜\frac{3+\sqrt{7}}{2}＜3,\therefore a=2,b=\frac{3+\sqrt{7}}{2}-2=\frac{\sqrt{7}-1}{2}.$$\therefore \frac{a}{a-b}=\frac{2}{2-\frac{\sqrt{7}-1}{2}}=\frac{2}{\frac{5-\sqrt{7}}{2}}=\frac{4}{5-\sqrt{7}}=\frac{10+2\sqrt{7}}{9}.$
11. 新考法 平方法 化简：$\sqrt{5-\sqrt{21}} - \sqrt{5+\sqrt{21}} =$
$-\sqrt{6}$
答案
11.$-\sqrt{6}$ 【点拨】设$\sqrt{5-\sqrt{21}}-\sqrt{5+\sqrt{21}}=x$,则$x^2=5-\sqrt{21}-2\sqrt{5-\sqrt{21}}×\sqrt{5+\sqrt{21}}+5+\sqrt{21}=10-2\sqrt{4}=6.\therefore x=\pm\sqrt{6}.\because 5-\sqrt{21}-(5+\sqrt{21})=-2\sqrt{21}＜0,\therefore \sqrt{5-\sqrt{21}}-\sqrt{5+\sqrt{21}}=-\sqrt{6}.$
12. 新视角新定义题 对于任意两个正数$a,b$,定义运算※为:$a※b=\begin{cases}\sqrt{a}+\sqrt{b}&(a≥ b), \\ \sqrt{a}-\sqrt{b}&(a＜ b),\end{cases}$计算$(8※3)×(18※27)$的结果为 ______ 。
答案
12.$3-3\sqrt{6}$ 【点拨】$\because a※b=\begin{cases}\sqrt{a}+\sqrt{b}(a≥ b), \\ \sqrt{a}-\sqrt{b}(a＜b),\end{cases}\therefore 8※3=\sqrt{8}+\sqrt{3}=2\sqrt{2}+\sqrt{3},18※27=\sqrt{18}-\sqrt{27}=3\sqrt{2}-3\sqrt{3}.$$\therefore (8※3)×(18※27)=(2\sqrt{2}+\sqrt{3})(3\sqrt{2}-3\sqrt{3})=2\sqrt{2}×3\sqrt{2}-2\sqrt{2}×3\sqrt{3}+3\sqrt{2}×\sqrt{3}-3\sqrt{3}×\sqrt{3}=12-6\sqrt{6}+3\sqrt{6}-9=3-3\sqrt{6}.$
三、解答题(共48分)
13.(10分)[郑州期中]计算：
(1) $\sqrt{48} ÷ \sqrt{3} - \sqrt{\dfrac{1}{2}} × \sqrt{12} + \sqrt{24}$；
(2) $(\sqrt{5} - \sqrt{3})(\sqrt{5} + \sqrt{3}) - (\sqrt{2} - \sqrt{10})^2$。
13.(10分)[郑州期中]计算：
(1) $\sqrt{48} ÷ \sqrt{3} - \sqrt{\dfrac{1}{2}} × \sqrt{12} + \sqrt{24}$；
(2) $(\sqrt{5} - \sqrt{3})(\sqrt{5} + \sqrt{3}) - (\sqrt{2} - \sqrt{10})^2$。
答案
13.【解】(1)原式$=4\sqrt{3}÷\sqrt{3}-\sqrt{6}+2\sqrt{6}=4+\sqrt{6}.$
(2)原式$=5-3-(2+10-4\sqrt{5})=2-12+4\sqrt{5}=-10+4\sqrt{5}.$
(2)原式$=5-3-(2+10-4\sqrt{5})=2-12+4\sqrt{5}=-10+4\sqrt{5}.$
