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14.(12分)[济南历城区期中]已知$△ ABC$的周长为$4+2\sqrt{5}$，其中$AB=4$，$BC=\sqrt{5}-\sqrt{3}$。
(1)求$AC$的长度；
(2)判断$△ ABC$是否为直角三角形，并说明理由。
(1)求$AC$的长度；
(2)判断$△ ABC$是否为直角三角形，并说明理由。
答案
14.【解】(1)$\because △ ABC$的周长为$4+2\sqrt{5},AB=4,BC=\sqrt{5}-\sqrt{3},\therefore AC=4+2\sqrt{5}-4-(\sqrt{5}-\sqrt{3})=\sqrt{5}+\sqrt{3}.$
(2)$△ ABC$是直角三角形.理由如下：
$\because AB=4,BC=\sqrt{5}-\sqrt{3},AC=\sqrt{5}+\sqrt{3},\therefore AB^2=16,BC^2+AC^2=5-2\sqrt{15}+3+5+2\sqrt{15}+3=16,$
$\therefore AB^2=BC^2+AC^2.$
$\therefore △ ABC$是直角三角形.
(2)$△ ABC$是直角三角形.理由如下：
$\because AB=4,BC=\sqrt{5}-\sqrt{3},AC=\sqrt{5}+\sqrt{3},\therefore AB^2=16,BC^2+AC^2=5-2\sqrt{15}+3+5+2\sqrt{15}+3=16,$
$\therefore AB^2=BC^2+AC^2.$
$\therefore △ ABC$是直角三角形.
15. (12分)新趋势跨学科 小明同学每次回家进入电梯间时,总能看见提示“高空抛物害人害己”.为进一步研究高空抛物的危害,小明请教了物理老师,得知高空抛物下落的时间$t$(单位:s)和下落高度$h$(单位:m)近似满足公式$t=\sqrt{\frac{2h}{g}}$.(不考虑风速的影响,$g≈10\ m/s^2,\sqrt{5}≈2.236$)
(1)已知小明家住21层,每层的高度近似为3 m,假如从小明家坠落一个物品,求该物品落地的时间;(物品离小明家地面的高度忽略不计,结果保留根号)
(2)小明查阅资料得知,伤害无防护人体只需要64 J的动能,高空抛物动能(J)=$10×$物体质量(kg)$×$下落高度(m),某质量为0.1 kg的玩具在高空被抛出后,最少经过几秒落地就可能会伤害到楼下的行人?
(1)已知小明家住21层,每层的高度近似为3 m,假如从小明家坠落一个物品,求该物品落地的时间;(物品离小明家地面的高度忽略不计,结果保留根号)
(2)小明查阅资料得知,伤害无防护人体只需要64 J的动能,高空抛物动能(J)=$10×$物体质量(kg)$×$下落高度(m),某质量为0.1 kg的玩具在高空被抛出后,最少经过几秒落地就可能会伤害到楼下的行人?
答案
15.【解】(1)由题意可知$h≈20×3=60(\mathrm{m}).$
$\therefore t=\sqrt{\frac{2h}{g}}≈\sqrt{\frac{2×60}{10}}=2\sqrt{3}\ (\mathrm{s}).$
$\therefore$该物品落地的时间约为$2\sqrt{3}\ \mathrm{s}.$
(2)当高空抛物动能为64 J时,下落高度$h=\frac{64}{10×0.1}=64(\mathrm{m}),$
$\therefore t=\sqrt{\frac{2h}{g}}≈\sqrt{\frac{2×64}{10}}=\frac{8\sqrt{5}}{5}≈\frac{8×2.236}{5}=3.577\ 6(\mathrm{s}).$
$\therefore$最少经过约3.577 6 s落地就可能会伤害到楼下的行人.
$\therefore t=\sqrt{\frac{2h}{g}}≈\sqrt{\frac{2×60}{10}}=2\sqrt{3}\ (\mathrm{s}).$
$\therefore$该物品落地的时间约为$2\sqrt{3}\ \mathrm{s}.$
(2)当高空抛物动能为64 J时,下落高度$h=\frac{64}{10×0.1}=64(\mathrm{m}),$
$\therefore t=\sqrt{\frac{2h}{g}}≈\sqrt{\frac{2×64}{10}}=\frac{8\sqrt{5}}{5}≈\frac{8×2.236}{5}=3.577\ 6(\mathrm{s}).$
$\therefore$最少经过约3.577 6 s落地就可能会伤害到楼下的行人.
16.(14分) 太原晋源区竞赛 新视角·规律探究题 如图,将边长分别为$1,1+\sqrt{2},1+2\sqrt{2},1+3\sqrt{2}$的正方形的面积记为$S_1,S_2,S_3,S_4$.
(1)计算:$S_2 - S_1,S_3 - S_2,S_4 - S_3$.
(2)把边长为$1+(n-1)\sqrt{2}$的正方形的面积记作$S_n$,其中$n$是正整数,从(1)中的计算结果,你能猜出$S_{n+1}-S_n$等于多少吗?你的猜想是否正确?请说明理由.
(3)若将正方形的边长变为$a,a+\sqrt{b},a+2\sqrt{b},a+3\sqrt{b},···$时,$S_{n+1}-S_n$的值是多少?
(1)计算:$S_2 - S_1,S_3 - S_2,S_4 - S_3$.
(2)把边长为$1+(n-1)\sqrt{2}$的正方形的面积记作$S_n$,其中$n$是正整数,从(1)中的计算结果,你能猜出$S_{n+1}-S_n$等于多少吗?你的猜想是否正确?请说明理由.
(3)若将正方形的边长变为$a,a+\sqrt{b},a+2\sqrt{b},a+3\sqrt{b},···$时,$S_{n+1}-S_n$的值是多少?
答案
16.【解】(1)$S_2-S_1=(1+\sqrt{2})^2-1^2=1+2\sqrt{2}+2-1=2+2\sqrt{2}.S_3-S_2=(1+2\sqrt{2})^2-(1+\sqrt{2})^2=1+4\sqrt{2}+8-1-2\sqrt{2}-2=6+2\sqrt{2}.S_4-S_3=(1+3\sqrt{2})^2-(1+2\sqrt{2})^2=1+6\sqrt{2}+18-1-4\sqrt{2}-8=10+2\sqrt{2}.$
(2)猜想:$S_{n+1}-S_n=4n-2+2\sqrt{2}.$猜想正确.理由如下：
$S_{n+1}-S_n=(1+n\sqrt{2})^2-[1+(n-1)\sqrt{2}]^2$
$=1+2\sqrt{2}n+2n^2-[1+2\sqrt{2}(n-1)+2(n-1)^2]$
$=1+2\sqrt{2}n+2n^2-[1+2\sqrt{2}n-2\sqrt{2}+2n^2-4n+2]$
$=1+2\sqrt{2}n+2n^2-1-2\sqrt{2}n+2\sqrt{2}-2n^2+4n-2$
$=4n-2+2\sqrt{2}.$
(3)$S_{n+1}-S_n=(a+n\sqrt{b})^2-[a+(n-1)\sqrt{b}]^2$
$=a^2+2an\sqrt{b}+n^2b-[a^2+2a(n-1)\sqrt{b}+(n-1)^2b]$
$=a^2+2an\sqrt{b}+n^2b-[a^2+2an\sqrt{b}-2a\sqrt{b}+n^2b-2nb+b]$
$=a^2+2an\sqrt{b}+n^2b-a^2-2an\sqrt{b}+2a\sqrt{b}-n^2b+2nb-b$
$=2nb-b+2a\sqrt{b}.$
(2)猜想:$S_{n+1}-S_n=4n-2+2\sqrt{2}.$猜想正确.理由如下：
$S_{n+1}-S_n=(1+n\sqrt{2})^2-[1+(n-1)\sqrt{2}]^2$
$=1+2\sqrt{2}n+2n^2-[1+2\sqrt{2}(n-1)+2(n-1)^2]$
$=1+2\sqrt{2}n+2n^2-[1+2\sqrt{2}n-2\sqrt{2}+2n^2-4n+2]$
$=1+2\sqrt{2}n+2n^2-1-2\sqrt{2}n+2\sqrt{2}-2n^2+4n-2$
$=4n-2+2\sqrt{2}.$
(3)$S_{n+1}-S_n=(a+n\sqrt{b})^2-[a+(n-1)\sqrt{b}]^2$
$=a^2+2an\sqrt{b}+n^2b-[a^2+2a(n-1)\sqrt{b}+(n-1)^2b]$
$=a^2+2an\sqrt{b}+n^2b-[a^2+2an\sqrt{b}-2a\sqrt{b}+n^2b-2nb+b]$
$=a^2+2an\sqrt{b}+n^2b-a^2-2an\sqrt{b}+2a\sqrt{b}-n^2b+2nb-b$
$=2nb-b+2a\sqrt{b}.$
