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1. 下列条件中，不能确定一个直角三角形的是 （
A.已知两条直角边；
B.已知两个锐角；
C.已知一条斜边和一个锐角；
D.已知一条直角边和斜边。
B
）A.已知两条直角边；
B.已知两个锐角；
C.已知一条斜边和一个锐角；
D.已知一条直角边和斜边。
答案
1. B.
解析
【分析】
要判断给定条件能否确定一个直角三角形，本质是判断该条件下的所有直角三角形是否全等（即唯一存在），我们可结合直角三角形全等的判定定理逐一分析选项：全等的判定需要至少包含一条边的条件，仅角的条件只能确定三角形形状，无法确定大小，不能得到唯一的三角形。
【解析】
我们对每个选项逐一分析：
A. 已知两条直角边，结合隐含的直角条件，满足全等判定的SAS定理，可确定唯一的直角三角形，不符合题意；
B. 已知两个锐角，可推出第三个角（直角）的度数，三个内角均确定但没有任何边长条件，可得到无数个形状相同、大小不同的相似直角三角形，不能确定唯一的直角三角形，符合题意；
C. 已知一条斜边和一个锐角，可推出另一个锐角的度数，结合已知的斜边长度，满足全等判定的AAS定理，可确定唯一的直角三角形，不符合题意；
D. 已知一条直角边和斜边，满足直角三角形特有的HL全等判定定理，可确定唯一的直角三角形，不符合题意。
综上，答案选B。
【答案】
B
【知识点】
直角三角形全等判定；解直角三角形的条件；三角形的确定性
【点评】
本题属于基础概念类考题，重点考查对三角形确定性的理解，解题关键是明确仅给出角的条件只能确定三角形的形状，必须至少有一条边的条件才能确定唯一的三角形。
【难度系数】
0.8
要判断给定条件能否确定一个直角三角形，本质是判断该条件下的所有直角三角形是否全等（即唯一存在），我们可结合直角三角形全等的判定定理逐一分析选项：全等的判定需要至少包含一条边的条件，仅角的条件只能确定三角形形状，无法确定大小，不能得到唯一的三角形。
【解析】
我们对每个选项逐一分析：
A. 已知两条直角边，结合隐含的直角条件，满足全等判定的SAS定理，可确定唯一的直角三角形，不符合题意；
B. 已知两个锐角，可推出第三个角（直角）的度数，三个内角均确定但没有任何边长条件，可得到无数个形状相同、大小不同的相似直角三角形，不能确定唯一的直角三角形，符合题意；
C. 已知一条斜边和一个锐角，可推出另一个锐角的度数，结合已知的斜边长度，满足全等判定的AAS定理，可确定唯一的直角三角形，不符合题意；
D. 已知一条直角边和斜边，满足直角三角形特有的HL全等判定定理，可确定唯一的直角三角形，不符合题意。
综上，答案选B。
【答案】
B
【知识点】
直角三角形全等判定；解直角三角形的条件；三角形的确定性
【点评】
本题属于基础概念类考题，重点考查对三角形确定性的理解，解题关键是明确仅给出角的条件只能确定三角形的形状，必须至少有一条边的条件才能确定唯一的三角形。
【难度系数】
0.8
2. 在$\mathrm{Rt}△ ABC$中，$∠ C=90°$，$BC=4$，$\sin A=\dfrac{2}{3}$，那么边$AB$的长为（
A.$2\sqrt{5}$；
B.$6$；
C.$\dfrac{8}{3}$；
D.$2\sqrt{13}$。
B
）A.$2\sqrt{5}$；
B.$6$；
C.$\dfrac{8}{3}$；
D.$2\sqrt{13}$。
答案
2. B.
解析
【分析】
本题是直角三角形中已知锐角正弦值和角的对边求斜边的基础题，解题思路如下：首先回忆锐角正弦的定义：在直角三角形中，一个锐角的正弦等于它的对边长度与斜边长度的比值。先确定∠A的对边是BC，斜边是AB，对应正弦公式列出比例关系，将已知的BC长度和sinA的数值代入公式，变形计算即可求出AB的长。
【解析】
在$\mathrm{Rt}△ ABC$中，$∠ C=90°$，根据锐角正弦的定义可得：
$\sin A = \frac{∠ A的对边}{斜边} = \frac{BC}{AB}$
已知$BC=4$，$\sin A=\dfrac{2}{3}$，代入得：
$\dfrac{2}{3}=\dfrac{4}{AB}$
解得：$AB=4÷ \dfrac{2}{3}=4× \dfrac{3}{2}=6$
【答案】
B
【知识点】
1. 锐角正弦的定义
2. 解直角三角形
【点评】
本题是解直角三角形的常规基础题，主要考查对锐角正弦定义的掌握，只要熟记直角三角形中锐角正弦对应的边的比例关系，就能快速求解。
【难度系数】
0.85
本题是直角三角形中已知锐角正弦值和角的对边求斜边的基础题，解题思路如下：首先回忆锐角正弦的定义：在直角三角形中，一个锐角的正弦等于它的对边长度与斜边长度的比值。先确定∠A的对边是BC，斜边是AB，对应正弦公式列出比例关系，将已知的BC长度和sinA的数值代入公式，变形计算即可求出AB的长。
【解析】
在$\mathrm{Rt}△ ABC$中，$∠ C=90°$，根据锐角正弦的定义可得：
$\sin A = \frac{∠ A的对边}{斜边} = \frac{BC}{AB}$
已知$BC=4$，$\sin A=\dfrac{2}{3}$，代入得：
$\dfrac{2}{3}=\dfrac{4}{AB}$
解得：$AB=4÷ \dfrac{2}{3}=4× \dfrac{3}{2}=6$
【答案】
B
【知识点】
1. 锐角正弦的定义
2. 解直角三角形
【点评】
本题是解直角三角形的常规基础题，主要考查对锐角正弦定义的掌握，只要熟记直角三角形中锐角正弦对应的边的比例关系，就能快速求解。
【难度系数】
0.85
3 如图，将$45°$的$∠ AOB$按下面的方式放置在一把刻度尺上，顶点O与尺下沿的端点重合，OA与尺下沿重合，OB与尺上沿的交点B在尺上的读数为2 cm，如果按相同的方式将$37°$的$∠ AOC$放置在该刻度尺上，那么OC与尺上沿的交点C在尺上的读数是（
A.$\dfrac{2}{\tan 37°}\ \mathrm{cm}$；
B.$2\tan 37°\ \mathrm{cm}$；
C.$\dfrac{2}{\sin 37°}\ \mathrm{cm}$；
D.$2\cos 37°\ \mathrm{cm}$。
A
）A.$\dfrac{2}{\tan 37°}\ \mathrm{cm}$；
B.$2\tan 37°\ \mathrm{cm}$；
C.$\dfrac{2}{\sin 37°}\ \mathrm{cm}$；
D.$2\cos 37°\ \mathrm{cm}$。
答案
3. A.
解析
【分析】
解题的关键是抓住刻度尺上下沿平行、垂直距离（尺的宽度）为定值的隐含特征。首先利用45°角和B点的读数求出尺的宽度，再结合37°角，根据正切函数的边角关系求出C点对应的读数。思考时先构造出两个共高的直角三角形，明确每个角对应的对边和邻边，再代入三角函数公式计算即可。
【解析】
设刻度尺上下沿的垂直距离为$h\ \mathrm{cm}$，OC与尺上沿交点C的读数为$x\ \mathrm{cm}$。
1. 求刻度尺的宽度：
在$∠ AOB=45°$对应的直角三角形中，B点读数为$2\ \mathrm{cm}$，即45°角的邻边长为$2\ \mathrm{cm}$，对边长为$h$。
根据正切函数定义：$\tan45°=\frac{\mathrm{对边}}{\mathrm{邻边}}=\frac{h}{2}$，
因为$\tan45°=1$，因此$h=2×\tan45°=2\ \mathrm{cm}$。
2. 求C点的读数：
在$∠ AOC=37°$对应的直角三角形中，37°角的邻边长为$x$，对边长为尺的宽度$h=2\ \mathrm{cm}$。
根据正切函数定义：$\tan37°=\frac{h}{x}=\frac{2}{x}$，
变形可得$x=\frac{2}{\tan37°}\ \mathrm{cm}$。
【答案】
A
【知识点】
正切函数的定义、解直角三角形的应用
【点评】
本题结合刻度尺的生活场景考查解直角三角形的应用，需要学生从实际图形中提取出直角三角形模型，熟练掌握锐角三角函数的边角关系即可求解。
【难度系数】
0.7
解题的关键是抓住刻度尺上下沿平行、垂直距离（尺的宽度）为定值的隐含特征。首先利用45°角和B点的读数求出尺的宽度，再结合37°角，根据正切函数的边角关系求出C点对应的读数。思考时先构造出两个共高的直角三角形，明确每个角对应的对边和邻边，再代入三角函数公式计算即可。
【解析】
设刻度尺上下沿的垂直距离为$h\ \mathrm{cm}$，OC与尺上沿交点C的读数为$x\ \mathrm{cm}$。
1. 求刻度尺的宽度：
在$∠ AOB=45°$对应的直角三角形中，B点读数为$2\ \mathrm{cm}$，即45°角的邻边长为$2\ \mathrm{cm}$，对边长为$h$。
根据正切函数定义：$\tan45°=\frac{\mathrm{对边}}{\mathrm{邻边}}=\frac{h}{2}$，
因为$\tan45°=1$，因此$h=2×\tan45°=2\ \mathrm{cm}$。
2. 求C点的读数：
在$∠ AOC=37°$对应的直角三角形中，37°角的邻边长为$x$，对边长为尺的宽度$h=2\ \mathrm{cm}$。
根据正切函数定义：$\tan37°=\frac{h}{x}=\frac{2}{x}$，
变形可得$x=\frac{2}{\tan37°}\ \mathrm{cm}$。
【答案】
A
【知识点】
正切函数的定义、解直角三角形的应用
【点评】
本题结合刻度尺的生活场景考查解直角三角形的应用，需要学生从实际图形中提取出直角三角形模型，熟练掌握锐角三角函数的边角关系即可求解。
【难度系数】
0.7
二、填空题
4. 在$\mathrm{Rt}△ ABC$中，$∠ C=90°$.
（1）如果$a=4$，$∠ A=60°$，那么$b=$
（2）如果$a=\sqrt{5}$，$b=\sqrt{15}$，那么$∠ B=$
4. 在$\mathrm{Rt}△ ABC$中，$∠ C=90°$.
（1）如果$a=4$，$∠ A=60°$，那么$b=$
$\dfrac{4\sqrt{3}}{3}$
，$c=$$\dfrac{8\sqrt{3}}{3}$
.（2）如果$a=\sqrt{5}$，$b=\sqrt{15}$，那么$∠ B=$
$60°$
，$c=$$2\sqrt{5}$
.答案
4. (1) $\dfrac{4\sqrt{3}}{3}$；$\dfrac{8\sqrt{3}}{3}$. (2) $60°$；$2\sqrt{5}$.
解析
【分析】
本题考查解直角三角形的基础应用，解题思路如下：（1）第一小问已知直角三角形的一个锐角和一条直角边，先利用直角三角形两锐角互余求出另一个锐角，再根据正切函数的定义求出另一条直角边，最后结合30°角的直角三角形性质求出斜边，也可通过勾股定理或正弦、余弦函数求解斜边；（2）第二小问已知两条直角边，先用勾股定理求出斜边，再通过正切函数求出∠B的正切值，结合特殊角的三角函数值得到∠B的度数，计算时注意根式的化简。
【解析】
（1）在$\mathrm{Rt}△ ABC$中，$∠ C=90°$，$∠ A=60°$，
∴ $∠B=90°-∠A=30°$，
由$\tan A=\frac{a}{b}$，且$\tan60°=\sqrt{3}$，代入$a=4$得：
$\sqrt{3}=\frac{4}{b}$，解得$b=\frac{4}{\sqrt{3}}=\frac{4\sqrt{3}}{3}$，
∵ 30°角所对的直角边等于斜边的一半，$∠B$对的直角边为$b$，
∴ $c=2b=2×\frac{4\sqrt{3}}{3}=\frac{8\sqrt{3}}{3}$。
（2）在$\mathrm{Rt}△ ABC$中，$∠ C=90°$，$a=\sqrt{5}$，$b=\sqrt{15}$，
由勾股定理得：$c=\sqrt{a^2+b^2}=\sqrt{(\sqrt{5})^2+(\sqrt{15})^2}=\sqrt{5+15}=\sqrt{20}=2\sqrt{5}$，
由$\tan B=\frac{b}{a}$，代入数值得$\tan B=\frac{\sqrt{15}}{\sqrt{5}}=\sqrt{3}$，
∵ $∠B$为锐角，且$\tan60°=\sqrt{3}$，
∴ $∠B=60°$。
【答案】
(1) $\dfrac{4\sqrt{3}}{3}$；$\dfrac{8\sqrt{3}}{3}$
(2) $60°$；$2\sqrt{5}$
【知识点】
解直角三角形；勾股定理；特殊角的三角函数值
【点评】
本题是解直角三角形的基础题型，核心考查锐角三角函数的定义、特殊角的三角函数值及勾股定理的应用，计算过程中要注意根式的化简，避免出现计算错误。
【难度系数】
0.7
本题考查解直角三角形的基础应用，解题思路如下：（1）第一小问已知直角三角形的一个锐角和一条直角边，先利用直角三角形两锐角互余求出另一个锐角，再根据正切函数的定义求出另一条直角边，最后结合30°角的直角三角形性质求出斜边，也可通过勾股定理或正弦、余弦函数求解斜边；（2）第二小问已知两条直角边，先用勾股定理求出斜边，再通过正切函数求出∠B的正切值，结合特殊角的三角函数值得到∠B的度数，计算时注意根式的化简。
【解析】
（1）在$\mathrm{Rt}△ ABC$中，$∠ C=90°$，$∠ A=60°$，
∴ $∠B=90°-∠A=30°$，
由$\tan A=\frac{a}{b}$，且$\tan60°=\sqrt{3}$，代入$a=4$得：
$\sqrt{3}=\frac{4}{b}$，解得$b=\frac{4}{\sqrt{3}}=\frac{4\sqrt{3}}{3}$，
∵ 30°角所对的直角边等于斜边的一半，$∠B$对的直角边为$b$，
∴ $c=2b=2×\frac{4\sqrt{3}}{3}=\frac{8\sqrt{3}}{3}$。
（2）在$\mathrm{Rt}△ ABC$中，$∠ C=90°$，$a=\sqrt{5}$，$b=\sqrt{15}$，
由勾股定理得：$c=\sqrt{a^2+b^2}=\sqrt{(\sqrt{5})^2+(\sqrt{15})^2}=\sqrt{5+15}=\sqrt{20}=2\sqrt{5}$，
由$\tan B=\frac{b}{a}$，代入数值得$\tan B=\frac{\sqrt{15}}{\sqrt{5}}=\sqrt{3}$，
∵ $∠B$为锐角，且$\tan60°=\sqrt{3}$，
∴ $∠B=60°$。
【答案】
(1) $\dfrac{4\sqrt{3}}{3}$；$\dfrac{8\sqrt{3}}{3}$
(2) $60°$；$2\sqrt{5}$
【知识点】
解直角三角形；勾股定理；特殊角的三角函数值
【点评】
本题是解直角三角形的基础题型，核心考查锐角三角函数的定义、特殊角的三角函数值及勾股定理的应用，计算过程中要注意根式的化简，避免出现计算错误。
【难度系数】
0.7
5. 在 $\mathrm{Rt}△ ABC$ 中，$∠ C=90°$，如果 $BC=10$，$∠ A=36°$，那么 $AC=\_\_\_\_\_\_$.（可使用计算器，结果精确到0.01）
答案
5. 13.76.
解析
【分析】
解题时首先明确直角三角形中已知边、角和未知边的位置关系：∠A=36°是已知锐角，BC是∠A的对边，AC是∠A的邻边，∠C为直角，因此选择正切函数建立边角关系最直接。根据正切的定义写出关系式后，变形得到AC的表达式，再代入已知数值，用计算器算出tan36°的值，最后计算结果并按要求取近似值即可。
【解析】
在$\mathrm{Rt}△ABC$中，$∠ C=90°$，根据锐角正切函数的定义可得：
$\tan A = \frac{∠ A的对边}{∠ A的邻边} = \frac{BC}{AC}$
对公式变形得：
$AC = \frac{BC}{\tan A}$
将$BC=10$，$∠ A=36°$代入，用计算器计算得$\tan36°\approx0.7265$，因此：
$AC\approx\frac{10}{0.7265}\approx13.76$
【答案】
13.76
【知识点】
正切函数的定义，解直角三角形，近似计算
【点评】
本题是解直角三角形的基础应用题型，核心是根据已知边角的位置匹配对应的三角函数关系式，只要熟练掌握锐角三角函数的定义，就能快速选对公式解题，计算时注意近似值的精度要求即可。
【难度系数】
0.85
解题时首先明确直角三角形中已知边、角和未知边的位置关系：∠A=36°是已知锐角，BC是∠A的对边，AC是∠A的邻边，∠C为直角，因此选择正切函数建立边角关系最直接。根据正切的定义写出关系式后，变形得到AC的表达式，再代入已知数值，用计算器算出tan36°的值，最后计算结果并按要求取近似值即可。
【解析】
在$\mathrm{Rt}△ABC$中，$∠ C=90°$，根据锐角正切函数的定义可得：
$\tan A = \frac{∠ A的对边}{∠ A的邻边} = \frac{BC}{AC}$
对公式变形得：
$AC = \frac{BC}{\tan A}$
将$BC=10$，$∠ A=36°$代入，用计算器计算得$\tan36°\approx0.7265$，因此：
$AC\approx\frac{10}{0.7265}\approx13.76$
【答案】
13.76
【知识点】
正切函数的定义，解直角三角形，近似计算
【点评】
本题是解直角三角形的基础应用题型，核心是根据已知边角的位置匹配对应的三角函数关系式，只要熟练掌握锐角三角函数的定义，就能快速选对公式解题，计算时注意近似值的精度要求即可。
【难度系数】
0.85
6. 在$\mathrm{Rt}△ ABC$中，$∠ C=90°$，$∠ A=α$，$AB=c$，那么$AC=\_\_\_\_\_\_$，$BC=\_\_\_\_\_\_$，$S_{△ ABC}=\_\_\_\_\_\_$。(用含字母$c$、$α$的式子表示)
答案
6. $c\cosα$；$c\sinα$；$\dfrac{1}{2}c^2\cosα\sinα$.
解析
【分析】
本题是直角三角形边角关系的基础计算问题，解题思路如下：第一步先明确各边与已知锐角α的位置关系：∠C=90°，因此AB是斜边，AC是∠A的邻边，BC是∠A的对边；第二步回忆锐角三角函数的定义，余弦为邻边比斜边、正弦为对边比斜边，据此用斜边c和角α分别表示两条直角边AC、BC的长度；第三步利用直角三角形面积等于两直角边乘积的一半，将已求出的直角边代入计算即可得到三角形面积。
【解析】
在$\mathrm{Rt}△ ABC$中，$∠ C=90°$，斜边$AB=c$，$∠A=α$：
1. 求$AC$：根据余弦的定义，$\cosα=\frac{∠A的邻边}{斜边}=\frac{AC}{AB}$，代入$AB=c$，变形可得$AC=AB·\cosα=c\cosα$；
2. 求$BC$：根据正弦的定义，$\sinα=\frac{∠A的对边}{斜边}=\frac{BC}{AB}$，代入$AB=c$，变形可得$BC=AB·\sinα=c\sinα$；
3. 求$S_{△ABC}$：直角三角形面积公式为$S=\frac{1}{2}× 直角边\_\_\_\_\_\_1× 直角边\_\_\_\_\_\_2$，将AC、BC代入得：
$S_{△ABC}=\frac{1}{2}· AC· BC=\frac{1}{2}· c\cosα· c\sinα=\frac{1}{2}c^2\cosα\sinα$。
【答案】
$c\cosα$；$c\sinα$；$\dfrac{1}{2}c^2\cosα\sinα$
【知识点】
锐角三角函数定义，解直角三角形，三角形面积计算
【点评】
本题属于基础题型，核心是熟练掌握正弦、余弦的定义，结合直角三角形面积公式即可快速求解，计算时注意不要漏写面积公式的系数$\frac{1}{2}$。
【难度系数】
0.8
本题是直角三角形边角关系的基础计算问题，解题思路如下：第一步先明确各边与已知锐角α的位置关系：∠C=90°，因此AB是斜边，AC是∠A的邻边，BC是∠A的对边；第二步回忆锐角三角函数的定义，余弦为邻边比斜边、正弦为对边比斜边，据此用斜边c和角α分别表示两条直角边AC、BC的长度；第三步利用直角三角形面积等于两直角边乘积的一半，将已求出的直角边代入计算即可得到三角形面积。
【解析】
在$\mathrm{Rt}△ ABC$中，$∠ C=90°$，斜边$AB=c$，$∠A=α$：
1. 求$AC$：根据余弦的定义，$\cosα=\frac{∠A的邻边}{斜边}=\frac{AC}{AB}$，代入$AB=c$，变形可得$AC=AB·\cosα=c\cosα$；
2. 求$BC$：根据正弦的定义，$\sinα=\frac{∠A的对边}{斜边}=\frac{BC}{AB}$，代入$AB=c$，变形可得$BC=AB·\sinα=c\sinα$；
3. 求$S_{△ABC}$：直角三角形面积公式为$S=\frac{1}{2}× 直角边\_\_\_\_\_\_1× 直角边\_\_\_\_\_\_2$，将AC、BC代入得：
$S_{△ABC}=\frac{1}{2}· AC· BC=\frac{1}{2}· c\cosα· c\sinα=\frac{1}{2}c^2\cosα\sinα$。
【答案】
$c\cosα$；$c\sinα$；$\dfrac{1}{2}c^2\cosα\sinα$
【知识点】
锐角三角函数定义，解直角三角形，三角形面积计算
【点评】
本题属于基础题型，核心是熟练掌握正弦、余弦的定义，结合直角三角形面积公式即可快速求解，计算时注意不要漏写面积公式的系数$\frac{1}{2}$。
【难度系数】
0.8
7. 在$\mathrm{Rt}△ ABC$中，$∠ C=90°$，$∠ A=60°$，$a+b=2$，那么$c=\_\_\_\_\_\_$.
答案
7. $2\sqrt{3}-2$.
解析
【分析】
首先根据直角三角形两锐角互余求出∠B的度数，再利用60°角的正切值得到两条直角边a与b的数量关系，结合已知条件a+b=2列方程求出b的长度，最后根据30°角所对的直角边等于斜边的一半，即可求出斜边c的长度。
【解析】
在$\mathrm{Rt}△ ABC$中，$∠ C=90°$，$∠ A=60°$，
∴ $∠ B=90°-∠ A=30°$，
由三角函数定义得：$\tan A=\frac{a}{b}=\tan60°=\sqrt{3}$，即$a=\sqrt{3}b$，
将$a=\sqrt{3}b$代入$a+b=2$，得：
$\sqrt{3}b + b = 2$
$b(\sqrt{3}+1)=2$
$b=\frac{2}{\sqrt{3}+1}=\frac{2(\sqrt{3}-1)}{(\sqrt{3}+1)(\sqrt{3}-1)}=\sqrt{3}-1$
∵ 在直角三角形中，30°角所对的直角边等于斜边的一半，$∠ B=30°$，对边为$b$，
∴ $c=2b=2(\sqrt{3}-1)=2\sqrt{3}-2$。
【答案】
$2\sqrt{3}-2$
【知识点】
直角三角形的性质、特殊角的三角函数值、解直角三角形
【点评】
本题属于解直角三角形的基础题型，解题的核心是熟练掌握直角三角形中特殊角度的边角关系，计算过程中要注意二次根式的分母有理化运算，避免计算失误。
【难度系数】
0.7
首先根据直角三角形两锐角互余求出∠B的度数，再利用60°角的正切值得到两条直角边a与b的数量关系，结合已知条件a+b=2列方程求出b的长度，最后根据30°角所对的直角边等于斜边的一半，即可求出斜边c的长度。
【解析】
在$\mathrm{Rt}△ ABC$中，$∠ C=90°$，$∠ A=60°$，
∴ $∠ B=90°-∠ A=30°$，
由三角函数定义得：$\tan A=\frac{a}{b}=\tan60°=\sqrt{3}$，即$a=\sqrt{3}b$，
将$a=\sqrt{3}b$代入$a+b=2$，得：
$\sqrt{3}b + b = 2$
$b(\sqrt{3}+1)=2$
$b=\frac{2}{\sqrt{3}+1}=\frac{2(\sqrt{3}-1)}{(\sqrt{3}+1)(\sqrt{3}-1)}=\sqrt{3}-1$
∵ 在直角三角形中，30°角所对的直角边等于斜边的一半，$∠ B=30°$，对边为$b$，
∴ $c=2b=2(\sqrt{3}-1)=2\sqrt{3}-2$。
【答案】
$2\sqrt{3}-2$
【知识点】
直角三角形的性质、特殊角的三角函数值、解直角三角形
【点评】
本题属于解直角三角形的基础题型，解题的核心是熟练掌握直角三角形中特殊角度的边角关系，计算过程中要注意二次根式的分母有理化运算，避免计算失误。
【难度系数】
0.7
8. 在$\mathrm{Rt}△ ABC$中，$∠ C=90°$，如果$a:b=1:\sqrt{3}$，周长为$6+2\sqrt{3}$，那么
答案
8. 4.
解析
【分析】
本题属于解直角三角形的基础题型，解题思路可分为三步：第一步，根据两条直角边的比例关系设参数，简化边长的表示；第二步，利用勾股定理用参数表示出斜边的长度；第三步，结合三角形周长的已知条件列方程，求出参数值，进而计算出待求的边长。遇到比值类条件优先设参数、直角三角形中用勾股定理求边长是这类题的常用解题技巧。
【解析】
解：
∵在$\mathrm{Rt}△ ABC$中，$∠ C=90°$，$a:b=1:\sqrt{3}$，
∴设$a=x$，$b=\sqrt{3}x$（$x＞0$），
由勾股定理得，斜边$c=\sqrt{a^2+b^2}=\sqrt{x^2+(\sqrt{3}x)^2}=\sqrt{4x^2}=2x$，
∵三角形周长为$6+2\sqrt{3}$，
∴$a+b+c=x+\sqrt{3}x+2x=(3+\sqrt{3})x=6+2\sqrt{3}$，
将等式右边变形得$6+2\sqrt{3}=2(3+\sqrt{3})$，
∴$(3+\sqrt{3})x=2(3+\sqrt{3})$，
∵$3+\sqrt{3}≠0$，
∴$x=2$，
∴$c=2x=2×2=4$。
【答案】
4
【知识点】
勾股定理，解直角三角形，二次根式化简
【点评】
本题综合考查了解直角三角形和二次根式的相关运算，通过设参数的方法将比例关系转化为可运算的边长形式，降低了解题难度，是基础的几何运算类题目。
【难度系数】
0.7
本题属于解直角三角形的基础题型，解题思路可分为三步：第一步，根据两条直角边的比例关系设参数，简化边长的表示；第二步，利用勾股定理用参数表示出斜边的长度；第三步，结合三角形周长的已知条件列方程，求出参数值，进而计算出待求的边长。遇到比值类条件优先设参数、直角三角形中用勾股定理求边长是这类题的常用解题技巧。
【解析】
解：
∵在$\mathrm{Rt}△ ABC$中，$∠ C=90°$，$a:b=1:\sqrt{3}$，
∴设$a=x$，$b=\sqrt{3}x$（$x＞0$），
由勾股定理得，斜边$c=\sqrt{a^2+b^2}=\sqrt{x^2+(\sqrt{3}x)^2}=\sqrt{4x^2}=2x$，
∵三角形周长为$6+2\sqrt{3}$，
∴$a+b+c=x+\sqrt{3}x+2x=(3+\sqrt{3})x=6+2\sqrt{3}$，
将等式右边变形得$6+2\sqrt{3}=2(3+\sqrt{3})$，
∴$(3+\sqrt{3})x=2(3+\sqrt{3})$，
∵$3+\sqrt{3}≠0$，
∴$x=2$，
∴$c=2x=2×2=4$。
【答案】
4
【知识点】
勾股定理，解直角三角形，二次根式化简
【点评】
本题综合考查了解直角三角形和二次根式的相关运算，通过设参数的方法将比例关系转化为可运算的边长形式，降低了解题难度，是基础的几何运算类题目。
【难度系数】
0.7
