15.「2026江苏南京玄武期末，★★☆」如图，在平面直角坐标系中，直线$y=-\dfrac{4}{3}x+8$与x轴、y轴分别相交于A，B，∠BAO的平分线与y轴相交于点M，则线段AM的长为。

15.答案 $3\sqrt{5}$
解析 如图,过点 $M$ 作 $MH⊥ AB$ 于 $H$,易得 $A(6,0),B(0,8)$,$\therefore AO=6,BO=8$,$\therefore AB=\sqrt{6^2+8^2}=10$,$\because AM$ 平分 $∠ BAO$,$\therefore ∠ OAM=∠ BAM$, 在 $△ AMO$ 和 $△ AMH$ 中, $\begin{cases} ∠ AOM=∠ AHM, \\ ∠ OAM=∠ HAM, \\ AM=AM, \end{cases}$ $\therefore △ AMO≌△ AMH(\mathrm{AAS})$,$\therefore OM=HM$,$AH=AO=6$,$\therefore BH=AB-AH=10-6=4$, 设 $OM=HM=x$, 则 $BM=8-x$, 在 $\mathrm{Rt}△ BHM$ 中, 由勾股定理得 $BM^2=HM^2+BH^2$, 即 $(8-x)^2=x^2+4^2$, 解得 $x=3$,$\therefore OM=3$, 在 $\mathrm{Rt}△ AOM$ 中, 由勾股定理得 $AM=\sqrt{AO^2+OM^2}=\sqrt{6^2+3^2}=3\sqrt{5}$.

16.「2025江苏南京鼓楼期末，★★」如图，直线$AB// CD$，直线$l$分别与直线$AB$，$CD$相交于点$E$，$F$，$P$是射线$EA$上的一个动点（不与$E$重合），将$△ EPF$沿$PF$翻折，使顶点$E$落在点$Q$处，若$∠ PEF = 75°$，$∠ CFQ = \frac{1}{2}∠ PFC$，则$∠ PFE$的度数为。

16.答案 $35°$或$63°$
解析 $\because AB// CD$,$∠ PEF=75°$,$\therefore ∠ EFC=180°-75°=105°$,由翻折的性质得$∠ PFE=∠ PFQ$.当点 $Q$ 在 $CD$ 的上方时,如图1, $\because ∠ CFQ=\frac{1}{2}∠ PFC$,$\therefore ∠ CFQ=∠ PFQ=∠ PFE=\frac{1}{3}∠ EFC$,$\therefore ∠ PFE=\frac{1}{3}×105°=35°$.当点 $Q$ 在 $CD$ 下方时,如图2, 设 $∠ CFQ=x°$,$\because ∠ CFQ=\frac{1}{2}∠ PFC$,$\therefore ∠ PFC=2x°$,$\therefore ∠ PFE=∠ PFQ=3x°$,$\therefore 3x+2x=105$,$\therefore x=21$,$\therefore ∠ PFE=3×21°=63°$.综上,$∠ PFE$ 的度数为 $35°$ 或 $63°$.

三、解答题(共72分)(答案含评分细则)
17. 核心素养 运算能力「2026广东揭阳揭东期末，★☆」(6分)按要求完成下列各题：
(1)解方程组：$\begin{cases} x+y=7, \\ 3x-2y=1. \end{cases}$
(2)计算：$(2\sqrt{3}+1)(2\sqrt{3}-1)-\sqrt{2}×\sqrt{8}.$

17.解析 (1)$\begin{cases} x+y=7①, \\ 3x-2y=1②, \end{cases}$
①×2+②得,5x=15,解得x=3, 把x=3代入①得,y=4, $\therefore$ 原方程组的解为$\begin{cases} x=3, \\ y=4. \end{cases}$
(2)原式=$(2\sqrt{3})^2 -1^2 -\sqrt{16}$
= 12-1-4
=7.