10.如果长方形的周长为$4m$，一边长为$m-n$，那么相邻的另一边长为（）

A.$3m+n$
B.$2m+2n$
C.$m+n$
D.$m+3n$

10.C

【分析】
解决这道题首先要回忆长方形的周长计算公式：长方形的周长=2×（相邻两边的长度和）。我们可以先根据周长算出相邻两边的总长度，再减去已知的边长，就能得到另一边长。计算整式减法时要注意去括号法则，括号前是减号时，去括号后括号内的每一项都要变号。
【解析】
解：根据长方形周长公式，相邻两边的和为周长除以2，即：
$4m÷2=2m$
已知其中一边长为$m-n$，则相邻另一边长为：
$2m-(m-n)$
去括号得：$2m - m + n$
合并同类项得：$m+n$
因此答案选C。
【答案】
C
【知识点】
1.长方形周长计算 2.整式加减运算
【点评】
本题是基础运算类题目，结合几何公式考察整式加减的基本技能，解题关键是先利用周长公式求出邻边之和，再正确完成去括号、合并同类项的步骤，注意去括号的符号规则即可避免失误。
【难度系数】
0.9

11.若$ m,n $互为相反数，则$ (8m - 2n) - 2(2m - 3n + 1) $的值为（）

A.−2
B.3
C.1
D.4

11.A

【分析】
解题时首先回忆相反数的性质：互为相反数的两个数之和为0，可得m+n=0。接下来需要先对给出的整式进行化简，步骤为：先去括号，注意括号前是负系数时，括号内每一项都要乘系数且变号，再合并同类项，最后将m+n=0整体代入化简后的式子计算即可，无需单独求解m、n的具体值，简化运算过程。
【解析】
解：
∵m，n互为相反数，
∴$m + n = 0$。
先化简整式：
$\begin{aligned}&(8m - 2n) - 2(2m - 3n + 1)\\=&8m - 2n - 4m + 6n - 2\\=&(8m - 4m) + (-2n + 6n) - 2\\=&4m + 4n - 2\\=&4(m + n) - 2\end{aligned}$
将$m + n = 0$代入上式，得：
原式$=4×0 - 2 = -2$。
【答案】
A
【知识点】
相反数的性质；整式的加减；整体代入求值
【点评】
本题是整式化简求值的基础题型，解题的核心是熟练掌握去括号、合并同类项的运算规则，结合相反数的性质采用整体代入的方法计算，能够有效降低运算量，避免不必要的计算错误。
【难度系数】
0.75

【变式】若$m^2 + mn = -3$，$n^2 - 3mn = 18$，则$m^2 + 4mn - n^2$的值为。

【变式】$-21$

【分析】
解题时先观察待求代数式$m^2 + 4mn - n^2$与已知的两个代数式的结构关系，发现无需单独求出m、n的值，只需将待求式变形为已知两个代数式的差的形式，利用整体代入的思想即可快速计算结果。具体思路：将已知的$m^2 + mn = -3$记为式子①，$n^2 - 3mn = 18$记为式子②，用式子①减去式子②，展开后恰好就是待求的代数式，直接代入数值计算即可。
【解析】
解：记$m^2 + mn = -3$ ①，$n^2 - 3mn = 18$ ②。
用①减去②可得：
$\begin{aligned}(m^2 + mn) - (n^2 - 3mn) &= -3 - 18\\m^2 + mn - n^2 + 3mn &= -21\\m^2 + 4mn - n^2 &= -21\end{aligned}$
【答案】
$-21$
【知识点】
整式的加减；代数式求值；整体代入思想
【点评】
本题考查代数式求值，核心是运用整体代入的思想简化运算，解题的关键是准确找出待求式和已知条件之间的数量关系，无需求出单个字母的取值即可快速得到结果，是整式加减部分的常考题型。
【难度系数】
0.7

12.有一个多项式 $a^{10} - a^{9}b + a^{8}b^{2} - a^{7}b^{3} + ···$，按这样的规律写下去.
(1)这个多项式是按a的幂排列的，且每一项的次数都是，奇数项的符号是，偶数项的符号是；
(2)它的第8项是什么？最后一项是什么？
(3)这个多项式是几次几项式？

12.解:(1)降 10 正 负 (2)它的第8项是$-a^3 b^7$,最后一项是$b^{10}$;(3)这个多项式是十次十一项式.

【分析】
首先观察多项式各项的a的指数变化、每项的次数构成、符号变化规律，解决第一问的相关问题；再通过已知项总结出第n项的通用表达式，代入对应项数即可求出第8项和最后一项；最后结合多项式次数、项数的定义判断多项式的类型。
【解析】
(1) 观察各项a的指数：依次为10、9、8、7……逐渐减小，因此是按a的降幂排列；计算每一项的次数：$10+0=10$、$9+1=10$、$8+2=10$……可知每一项的次数都是10；观察符号：第1、3等奇数项符号为正，第2、4等偶数项符号为负。
(2) 总结第n项的规律：符号为$(-1)^{n+1}$，a的指数为$11-n$，b的指数为$n-1$，即第n项为$(-1)^{n+1}a^{11-n}b^{n-1}$。
当n=8时，代入得第8项为$(-1)^{9}a^{3}b^{7}=-a^3b^7$；
当a的指数为0时为最后一项，即$11-n=0$，$n=11$，代入得最后一项为$(-1)^{12}a^0b^{10}=b^{10}$。
(3) 该多项式最高次项的次数为10，总共有11项，因此是十次十一项式。
【答案】
(1)降 10 正 负 (2)第8项是$-a^3 b^7$，最后一项是$b^{10}$；(3)十次十一项式
【知识点】
多项式的相关概念，规律探究，整式的排列
【点评】
本题主要考查整式相关基础概念的应用和规律归纳能力，需要通过观察已知项总结通用规律，再结合概念求解，是整式章节的典型基础题。
【难度系数】
0.7

13.用如图所示的三个曲尺形框(有三个方向),可以框住下表中的三个数,设被框住的三个数中,第一个框框住的最小的数为a,第二个框框住的最小的数为b,第三个框框住的最小的数为c.

(1)第一个框中三个数的和是;第二个框中三个数的和是;第三个框中三个数的和是;
(2)这三个框中三个数的和分别能是48吗?若能,请求出最小的数a,b,c的值.

13.解:(1)$3a+8$ $3b+15$ $3c+9$ (2)当$3a+8=48$时,$a=\frac{40}{3}$,不是整数,故舍去.当$3b+15=48$时,$b=11$.当$3c+9=48$时,$c=13$.所以第一个框框住的数的和不能是48,第二个和第三个框框住的数的和能是48,此时$b$的值为11,$c$的值为13.

【分析】
首先观察数表规律：数表中每行有7个连续正整数，同一列上下相邻两个数相差7。解决问题（1）时，先根据三个曲尺框的形状，分别用最小数a、b、c表示出每个框内的另外两个数，再相加即可得到三个数的和的代数式；解决问题（2）时，分别令三个和的代数式等于48，解一元一次方程，判断解是否为正整数、符合数表的数字特征，即可得到结论。
【解析】
(1) 对于第一个框：已知最小数为a，同一行a右侧相邻的数为$a+1$，a下方同一列的数为$a+7$，三个数的和为$a+(a+1)+(a+7)=3a+8$；
对于第二个框：已知最小数为b，b下方同一列的数为$b+7$，$b+7$右侧相邻的数为$b+8$，三个数的和为$b+(b+7)+(b+8)=3b+15$；
对于第三个框：已知最小数为c，同一行c右侧相邻的数为$c+1$，$c+1$下方同一列的数为$c+8$，三个数的和为$c+(c+1)+(c+8)=3c+9$。
(2) 分别令三个和等于48，解方程：
① 对第一个框：$3a+8=48$，解得$a=\frac{40}{3}$，a不是正整数，不符合数表中数的特征，因此第一个框的和不能是48；
② 对第二个框：$3b+15=48$，移项得$3b=33$，解得$b=11$，是正整数，符合要求，因此第二个框的和能是48，此时最小数$b=11$；
③ 对第三个框：$3c+9=48$，移项得$3c=39$，解得$c=13$，是正整数，符合要求，因此第三个框的和能是48，此时最小数$c=13$。
【答案】
(1) $3a+8$；$3b+15$；$3c+9$
(2) 第一个框框住的数的和不能是48，第二个和第三个框框住的数的和能是48，此时$b$的值为11，$c$的值为13。
【知识点】
列代数式；一元一次方程的应用；数字规律探究
【点评】
本题重点考查整式加减与一元一次方程在规律探究问题中的应用，解题的核心是准确把握数表中数字的排列规律，正确表示框内各数，同时要注意方程的解需要符合实际数字的特征。
【难度系数】
0.7

1.计算:$3(x-y)-2(x+y)-5(x-y)+4(x+y)=\_\_\_\_\_\_(x-y)+\_\_\_\_\_\_(x+y)=\_\_\_\_\_\_.$

1. -2 2 4y

【分析】
本题可运用整体思想求解，先将$(x-y)$和$(x+y)$分别看作一个整体，合并同类项得到前两个空的结果，再对合并后的式子去括号、合并同类项，即可求出最终化简结果。第一步先识别同类项：含$(x-y)$的项是$3(x-y)$和$-5(x-y)$，含$(x+y)$的项是$-2(x+y)$和$4(x+y)$，分别合并两类项的系数，再展开计算即可。
【解析】
1. 合并含$(x-y)$的同类项：系数相加得$3 - 5 = -2$，故第一个空填$-2$；
2. 合并含$(x+y)$的同类项：系数相加得$-2 + 4 = 2$，故第二个空填$2$；
3. 化简$-2(x-y)+2(x+y)$：
去括号得：$-2x + 2y + 2x + 2y$
合并同类项：$(-2x + 2x) + (2y + 2y) = 4y$，故第三个空填$4y$。
【答案】
$-2$；$2$；$4y$
【知识点】
合并同类项；整式的加减；整体思想
【点评】
本题通过将多项式看作整体合并同类项，可简化运算步骤，是整式加减运算中常用的技巧，能有效提升计算效率和准确率。
【难度系数】
0.8

2. 多项式 $3(2m + n) + 2(m - n) - 5(m - n) - (2m + n)$ 化简后的结果为。

2. m+5n

【分析】
观察多项式可以发现，式子中含有相同的整体$(2m+n)$和$(m-n)$，我们可以先把这两个整体看作同类项进行合并，之后再去括号、合并同类项得到化简结果，这样处理比直接去括号计算更简便，也不容易出错。如果不习惯用整体思想，也可以先直接去括号，再合并同类项，两种方法都能得到正确结果。
【解析】
解法一（运用整体思想）：
将$(2m+n)$和$(m-n)$看作整体，合并同类项：
原式$=(3-1)(2m+n)+(2-5)(m-n)$
$=2(2m+n)-3(m-n)$
去括号，得：
$=4m+2n-3m+3n$
合并同类项：
$=(4m-3m)+(2n+3n)$
$=m+5n$
解法二（直接去括号计算）：
先去括号：
原式$=6m+3n+2m-2n-5m+5n-2m-n$
合并同类项：
$=(6m+2m-5m-2m)+(3n-2n+5n-n)$
$=m+5n$
【答案】
$m+5n$
【知识点】
整式的加减；合并同类项；整体思想运算
【点评】
本题考查整式加减的化简运算，既可以按照常规的去括号、合并同类项步骤求解，也可以运用整体思想简化计算过程，熟练掌握去括号法则和合并同类项法则是解决这类问题的基础。
【难度系数】
0.8

3.(1)若$a-b=2$,则$5-a+b$的值为;
(2)如果代数式$a^2-3a+7$的值为8,那么代数式$7-2a^2+6a$的值为.

3.(1)3 (2)5

【分析】
这两道题均考查整体代入法求代数式的值，无需单独求出未知数的具体值：
(1) 观察待求式5-a+b，可通过添括号将其变形为5-(a-b)，直接将已知的a-b=2整体代入即可计算；
(2) 先根据已知条件a²-3a+7=8求出a²-3a的值，再对待求式7-2a²+6a提取公因式变形为7-2(a²-3a)，将a²-3a的值整体代入计算即可。
【解析】
(1) 已知$a - b = 2$，对$5 - a + b$变形可得：
$5 - a + b = 5 - (a - b)$
将$a - b = 2$代入得：
原式$= 5 - 2 = 3$
(2) 由题意得$a^2 - 3a + 7 = 8$，移项计算得：
$a^2 - 3a = 8 - 7 = 1$
对$7 - 2a^2 + 6a$变形可得：
$7 - 2a^2 + 6a = 7 - 2(a^2 - 3a)$
将$a^2 - 3a = 1$代入得：
原式$= 7 - 2×1 = 5$
【答案】
(1)3；(2)5
【知识点】
整体代入法，代数式求值，整式加减变形
【点评】
本题是整式加减中整体思想的典型应用，解题核心是通过合理变形将待求式转化为包含已知代数式的形式，无需逐个求解未知数，能简化计算过程，降低运算量。
【难度系数】
0.8