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1. 如果$△ ABC ∽ △ DEF$，相似比为 2，且$△ DEF$的面积为 4，那么$△ ABC$的面积为（
A.1
B.4
C.8
D.16
D
）。A.1
B.4
C.8
D.16
答案
1.D
解析
【分析】
本题考查相似三角形面积与相似比的关系，解题思路如下：第一步，明确相似比的对应关系：题目中△ABC与△DEF的相似比为2，即△ABC的对应边长:△DEF的对应边长=2:1；第二步，回忆相似三角形的性质：相似三角形的面积比等于相似比的平方，据此先算出两个三角形的面积比；第三步，结合已知△DEF的面积，代入计算即可得到△ABC的面积。
【解析】
解：
∵△ABC ∽ △DEF，相似比为2
∴△ABC与△DEF的面积比为$2^2=4:1$
即$\frac{S_{△ ABC}}{S_{△ DEF}}=4$
又
∵$S_{△ DEF}=4$
∴$S_{△ ABC}=4×4=16$
【答案】
D
【知识点】
相似三角形的性质；相似比与面积比的关系
【点评】
本题属于基础题，核心易错点有两个：一是混淆相似三角形周长比和面积比的规律，误将面积比当成等于相似比直接计算；二是搞反两个三角形的相似比对应顺序，代入计算出错，解题时要注意对应关系，牢记面积比是相似比的平方。
【难度系数】
0.7
本题考查相似三角形面积与相似比的关系，解题思路如下：第一步，明确相似比的对应关系：题目中△ABC与△DEF的相似比为2，即△ABC的对应边长:△DEF的对应边长=2:1；第二步，回忆相似三角形的性质：相似三角形的面积比等于相似比的平方，据此先算出两个三角形的面积比；第三步，结合已知△DEF的面积，代入计算即可得到△ABC的面积。
【解析】
解：
∵△ABC ∽ △DEF，相似比为2
∴△ABC与△DEF的面积比为$2^2=4:1$
即$\frac{S_{△ ABC}}{S_{△ DEF}}=4$
又
∵$S_{△ DEF}=4$
∴$S_{△ ABC}=4×4=16$
【答案】
D
【知识点】
相似三角形的性质；相似比与面积比的关系
【点评】
本题属于基础题，核心易错点有两个：一是混淆相似三角形周长比和面积比的规律，误将面积比当成等于相似比直接计算；二是搞反两个三角形的相似比对应顺序，代入计算出错，解题时要注意对应关系，牢记面积比是相似比的平方。
【难度系数】
0.7
2. 如图3-4-9，$△ OAB ∽ △ OCD$，$OA:OC=3:2$，$△ OAB$与$△ OCD$的面积分别是$S_1$与$S_2$，周长分别是$C_1$与$C_2$，则下列说法正确的是(
A.$\dfrac{C_1}{C_2}=\dfrac{3}{2}$
B.$\dfrac{S_1}{S_2}=\dfrac{3}{2}$
C.$\dfrac{OB}{CD}=\dfrac{3}{2}$
D.$\dfrac{OA}{OD}=\dfrac{3}{2}$
A
)。A.$\dfrac{C_1}{C_2}=\dfrac{3}{2}$
B.$\dfrac{S_1}{S_2}=\dfrac{3}{2}$
C.$\dfrac{OB}{CD}=\dfrac{3}{2}$
D.$\dfrac{OA}{OD}=\dfrac{3}{2}$
答案
2.A
解析
【分析】
解题时首先从题目给出的相似三角形条件入手，先确定两个三角形的相似比：已知△OAB∽△OCD，OA:OC=3:2，所以相似比为3:2。接下来回忆相似三角形的核心性质：周长比等于相似比，面积比等于相似比的平方，对应边成比例。再结合相似三角形的对应顶点关系，逐一判断每个选项是否符合性质即可。
【解析】
解：
∵△OAB∽△OCD，且OA:OC=3:2，
∴△OAB与△OCD的相似比为3:2。
1. 根据相似三角形的周长比等于相似比，可得$\dfrac{C_1}{C_2}=\dfrac{3}{2}$，故A选项正确；
2. 根据相似三角形的面积比等于相似比的平方，可得$\dfrac{S_1}{S_2}=(\dfrac{3}{2})^2=\dfrac{9}{4}$，故B选项错误；
3. 根据相似三角形对应边成比例，对应顶点为O对应O、A对应C、B对应D，因此$\dfrac{OB}{OD}=\dfrac{OA}{OC}=\dfrac{AB}{CD}=\dfrac{3}{2}$，OB与CD不是对应边、OA与OD不是对应边，故C、D选项错误。
综上，正确选项为A。
【答案】
A
【知识点】
相似三角形周长比性质、相似三角形面积比性质、相似三角形对应边成比例
【点评】
本题属于相似三角形性质的基础应用题，解题核心是理清相似比和周长比、面积比的数量关系，同时要准确识别相似三角形的对应边，避免因对应关系混淆出错。
【难度系数】
0.8
解题时首先从题目给出的相似三角形条件入手，先确定两个三角形的相似比：已知△OAB∽△OCD，OA:OC=3:2，所以相似比为3:2。接下来回忆相似三角形的核心性质：周长比等于相似比，面积比等于相似比的平方，对应边成比例。再结合相似三角形的对应顶点关系，逐一判断每个选项是否符合性质即可。
【解析】
解：
∵△OAB∽△OCD，且OA:OC=3:2，
∴△OAB与△OCD的相似比为3:2。
1. 根据相似三角形的周长比等于相似比，可得$\dfrac{C_1}{C_2}=\dfrac{3}{2}$，故A选项正确；
2. 根据相似三角形的面积比等于相似比的平方，可得$\dfrac{S_1}{S_2}=(\dfrac{3}{2})^2=\dfrac{9}{4}$，故B选项错误；
3. 根据相似三角形对应边成比例，对应顶点为O对应O、A对应C、B对应D，因此$\dfrac{OB}{OD}=\dfrac{OA}{OC}=\dfrac{AB}{CD}=\dfrac{3}{2}$，OB与CD不是对应边、OA与OD不是对应边，故C、D选项错误。
综上，正确选项为A。
【答案】
A
【知识点】
相似三角形周长比性质、相似三角形面积比性质、相似三角形对应边成比例
【点评】
本题属于相似三角形性质的基础应用题，解题核心是理清相似比和周长比、面积比的数量关系，同时要准确识别相似三角形的对应边，避免因对应关系混淆出错。
【难度系数】
0.8
3. 下列说法不正确的是(
A.相似多边形对应边的比等于相似比
B.相似多边形对应角平分线的比等于相似比
C.相似多边形的周长比等于相似比
D.相似多边形的面积比等于相似比
D
)。A.相似多边形对应边的比等于相似比
B.相似多边形对应角平分线的比等于相似比
C.相似多边形的周长比等于相似比
D.相似多边形的面积比等于相似比
答案
3.D
解析
【分析】
本题考查相似多边形的相关性质，解题思路为：首先回忆相似多边形中相似比与对应边、对应线段、周长、面积的比例关系，再逐一核对四个选项的表述，找出表述错误的选项即可。
【解析】
我们逐一分析各选项：
A. 相似多边形对应边的比就是相似比的定义，该表述正确；
B. 相似多边形的所有对应线段（包括对应角平分线、对应高、对应中线等）的比都等于相似比，该表述正确；
C. 相似多边形的周长是各对应边的和，周长比等于相似比，该表述正确；
D. 相似多边形的面积比等于相似比的平方，而非等于相似比，该表述错误。
本题要求选择不正确的说法，因此选D。
【答案】
D
【知识点】
相似多边形的性质、相似比的概念、相似图形的比例关系
【点评】
本题属于基础概念考查题，重点区分相似多边形的周长比、面积比与相似比的关系，只要熟记相关性质就能快速解题，需注意不要混淆面积比和周长比的规律。
【难度系数】
0.9
本题考查相似多边形的相关性质，解题思路为：首先回忆相似多边形中相似比与对应边、对应线段、周长、面积的比例关系，再逐一核对四个选项的表述，找出表述错误的选项即可。
【解析】
我们逐一分析各选项：
A. 相似多边形对应边的比就是相似比的定义，该表述正确；
B. 相似多边形的所有对应线段（包括对应角平分线、对应高、对应中线等）的比都等于相似比，该表述正确；
C. 相似多边形的周长是各对应边的和，周长比等于相似比，该表述正确；
D. 相似多边形的面积比等于相似比的平方，而非等于相似比，该表述错误。
本题要求选择不正确的说法，因此选D。
【答案】
D
【知识点】
相似多边形的性质、相似比的概念、相似图形的比例关系
【点评】
本题属于基础概念考查题，重点区分相似多边形的周长比、面积比与相似比的关系，只要熟记相关性质就能快速解题，需注意不要混淆面积比和周长比的规律。
【难度系数】
0.9
4. 给一块$3\ \mathrm{m} × 2\ \mathrm{m}$矩形花圃四周围一圈栅栏，成本是120元/m，在每米制作成本相同的情况下，若将此花圃的四边都扩大为原来的3倍，那么扩大后围栅栏的成本是
3 600
元。答案
4. 3 600
解析
【分析】
要计算扩大后围栅栏的成本，需先求出扩大后矩形花圃的周长，再乘以每米的成本即可。解题有两种常用思路：一是先算出原矩形的周长，根据“相似图形的周长比等于相似比”，已知边长扩大为原来的3倍即相似比为3，直接求出扩大后的周长；二是先计算扩大后的长和宽，再用矩形周长公式算出扩大后的周长，进而计算总成本。
【解析】
方法一：利用相似图形性质求解
1. 计算原矩形花圃的周长：
矩形周长公式为$C=2×(长+宽)$，原长为3m，宽为2m，因此原周长$C_{原}=2×(3+2)=10\ \mathrm{m}$。
2. 求扩大后的周长：
四边都扩大为原来的3倍，说明扩大后的矩形与原矩形相似，相似比为3，根据相似多边形周长比等于相似比，可得扩大后的周长$C_{扩}=3× C_{原}=3×10=30\ \mathrm{m}$。
3. 计算总成本：
每米成本120元，因此总成本为$30×120=3600$元。
方法二：直接计算扩大后的边长求解
1. 计算扩大后的长和宽：
扩大后的长为$3×3=9\ \mathrm{m}$，扩大后的宽为$2×3=6\ \mathrm{m}$。
2. 计算扩大后的周长：
$C_{扩}=2×(9+6)=30\ \mathrm{m}$。
3. 计算总成本：
$30×120=3600$元。
【答案】
3600
【知识点】
矩形周长计算；相似图形的周长性质
【点评】
本题结合生活实际场景考查基础几何计算，解题核心是明确边长扩大倍数与周长扩大倍数的关系，解题方法灵活多样，既可以用相似性质快速求解，也可以直接计算扩大后的边长得到结果，侧重对基础公式和性质的应用考查。
【难度系数】
0.8
要计算扩大后围栅栏的成本，需先求出扩大后矩形花圃的周长，再乘以每米的成本即可。解题有两种常用思路：一是先算出原矩形的周长，根据“相似图形的周长比等于相似比”，已知边长扩大为原来的3倍即相似比为3，直接求出扩大后的周长；二是先计算扩大后的长和宽，再用矩形周长公式算出扩大后的周长，进而计算总成本。
【解析】
方法一：利用相似图形性质求解
1. 计算原矩形花圃的周长：
矩形周长公式为$C=2×(长+宽)$，原长为3m，宽为2m，因此原周长$C_{原}=2×(3+2)=10\ \mathrm{m}$。
2. 求扩大后的周长：
四边都扩大为原来的3倍，说明扩大后的矩形与原矩形相似，相似比为3，根据相似多边形周长比等于相似比，可得扩大后的周长$C_{扩}=3× C_{原}=3×10=30\ \mathrm{m}$。
3. 计算总成本：
每米成本120元，因此总成本为$30×120=3600$元。
方法二：直接计算扩大后的边长求解
1. 计算扩大后的长和宽：
扩大后的长为$3×3=9\ \mathrm{m}$，扩大后的宽为$2×3=6\ \mathrm{m}$。
2. 计算扩大后的周长：
$C_{扩}=2×(9+6)=30\ \mathrm{m}$。
3. 计算总成本：
$30×120=3600$元。
【答案】
3600
【知识点】
矩形周长计算；相似图形的周长性质
【点评】
本题结合生活实际场景考查基础几何计算，解题核心是明确边长扩大倍数与周长扩大倍数的关系，解题方法灵活多样，既可以用相似性质快速求解，也可以直接计算扩大后的边长得到结果，侧重对基础公式和性质的应用考查。
【难度系数】
0.8
5. 如图3-4-10，已知点D，E分别在△ABC的边AC，AB上，△ADE∽△ABC，且$\frac{AE}{AC}=\frac{2}{5}$。若$S_{△ ADE}=1$，则$S_{四边形BCDE}=$
$\dfrac{21}{4}$
。答案
5. $\dfrac{21}{4}$
解析
【分析】
解题时首先回忆相似三角形的性质：相似三角形的面积比等于相似比的平方。首先根据已知的相似关系和对应边的比值确定相似比，再利用面积比与相似比的关系求出△ABC的面积，最后用△ABC的面积减去△ADE的面积，即可得到四边形BCDE的面积。
【解析】
∵ △ADE∽△ABC，相似比$\frac{AE}{AC}=\frac{2}{5}$
∴ 相似三角形的面积比等于相似比的平方，即$\frac{S_{△ ADE}}{S_{△ ABC}}=(\frac{AE}{AC})^2=(\frac{2}{5})^2=\frac{4}{25}$
将$S_{△ ADE}=1$代入上式，得$\frac{1}{S_{△ ABC}}=\frac{4}{25}$，解得$S_{△ ABC}=\frac{25}{4}$
∴ $S_{四边形BCDE}=S_{△ ABC}-S_{△ ADE}=\frac{25}{4}-1=\frac{21}{4}$
【答案】
$\dfrac{21}{4}$
【知识点】
相似三角形性质，相似三角形面积比，面积和差计算
【点评】
本题是相似三角形性质的基础应用类题目，解题的核心是准确把握相似三角形面积比和相似比的关系，求不规则图形面积时可转化为规则图形面积的和差计算，是同类知识点考查中的常见题型。
【难度系数】
0.7
解题时首先回忆相似三角形的性质：相似三角形的面积比等于相似比的平方。首先根据已知的相似关系和对应边的比值确定相似比，再利用面积比与相似比的关系求出△ABC的面积，最后用△ABC的面积减去△ADE的面积，即可得到四边形BCDE的面积。
【解析】
∵ △ADE∽△ABC，相似比$\frac{AE}{AC}=\frac{2}{5}$
∴ 相似三角形的面积比等于相似比的平方，即$\frac{S_{△ ADE}}{S_{△ ABC}}=(\frac{AE}{AC})^2=(\frac{2}{5})^2=\frac{4}{25}$
将$S_{△ ADE}=1$代入上式，得$\frac{1}{S_{△ ABC}}=\frac{4}{25}$，解得$S_{△ ABC}=\frac{25}{4}$
∴ $S_{四边形BCDE}=S_{△ ABC}-S_{△ ADE}=\frac{25}{4}-1=\frac{21}{4}$
【答案】
$\dfrac{21}{4}$
【知识点】
相似三角形性质，相似三角形面积比，面积和差计算
【点评】
本题是相似三角形性质的基础应用类题目，解题的核心是准确把握相似三角形面积比和相似比的关系，求不规则图形面积时可转化为规则图形面积的和差计算，是同类知识点考查中的常见题型。
【难度系数】
0.7
6. 已知$△ ABC$的三边长分别为6，8，10，和$△ ABC$相似的$△ A'B'C'$的最长边长为30，求$△ A'B'C'$的周长。
答案
6. 解:
∵和△ABC相似的△A'B'C'的最长边长为30，
∴△ABC与△A'B'C'的相似比为$\frac{10}{30}=\frac{1}{3}$。
∵△ABC的周长为6+8+10=24，
∴△A'B'C'的周长为24×3=72。
∵和△ABC相似的△A'B'C'的最长边长为30，
∴△ABC与△A'B'C'的相似比为$\frac{10}{30}=\frac{1}{3}$。
∵△ABC的周长为6+8+10=24，
∴△A'B'C'的周长为24×3=72。
解析
【分析】
要计算△A'B'C'的周长，我们可以利用相似三角形的性质求解：首先，相似三角形的对应边成比例，最长边与最长边是对应边，因此可以通过两个三角形的最长边求出相似比；其次，相似三角形的周长比等于相似比，我们先算出原△ABC的周长，再结合相似比就能求出△A'B'C'的周长。
【解析】
解：
∵△ABC与△A'B'C'相似，△ABC的最长边长为10，△A'B'C'的最长边长为30
∴△ABC与△A'B'C'的相似比为$\frac{10}{30}=\frac{1}{3}$
∵△ABC的周长为$6+8+10=24$
又
∵相似三角形的周长比等于相似比
∴△A'B'C'的周长为$24×3=72$
【答案】
72
【知识点】
相似三角形的性质，相似比的计算，三角形周长计算
【点评】
本题属于相似三角形的基础应用题，解题核心是找准对应边确定相似比，再结合相似三角形周长比等于相似比的性质即可求解，解题逻辑清晰，计算量小。
【难度系数】
0.85
要计算△A'B'C'的周长，我们可以利用相似三角形的性质求解：首先，相似三角形的对应边成比例，最长边与最长边是对应边，因此可以通过两个三角形的最长边求出相似比；其次，相似三角形的周长比等于相似比，我们先算出原△ABC的周长，再结合相似比就能求出△A'B'C'的周长。
【解析】
解：
∵△ABC与△A'B'C'相似，△ABC的最长边长为10，△A'B'C'的最长边长为30
∴△ABC与△A'B'C'的相似比为$\frac{10}{30}=\frac{1}{3}$
∵△ABC的周长为$6+8+10=24$
又
∵相似三角形的周长比等于相似比
∴△A'B'C'的周长为$24×3=72$
【答案】
72
【知识点】
相似三角形的性质，相似比的计算，三角形周长计算
【点评】
本题属于相似三角形的基础应用题，解题核心是找准对应边确定相似比，再结合相似三角形周长比等于相似比的性质即可求解，解题逻辑清晰，计算量小。
【难度系数】
0.85
7. 如图 3-4-11，$△ ABC ∽ △ DEF$，AM 和 DN 分别是边 BC 和 EF 上的高，若 $S_{△ ABC}: S_{△ DEF}=1: 4$，$AM=3$，求 DN 的长。
图 3-4-11
图 3-4-11
答案
7. 解:
∵△ABC∽△DEF,$S_{△ABC}: S_{△DEF}=1: 4$，
∴$(\frac{AB}{DE})^2=\frac{1}{4},\therefore \frac{AB}{DE}=\frac{1}{2}$。
又
∵AM 和 DN 分别是边 BC 和 EF 上的高，
∴$\frac{AM}{DN}=\frac{AB}{DE}=\frac{1}{2}$。
∵AM=3,
∴DN=6。
∵△ABC∽△DEF,$S_{△ABC}: S_{△DEF}=1: 4$，
∴$(\frac{AB}{DE})^2=\frac{1}{4},\therefore \frac{AB}{DE}=\frac{1}{2}$。
又
∵AM 和 DN 分别是边 BC 和 EF 上的高，
∴$\frac{AM}{DN}=\frac{AB}{DE}=\frac{1}{2}$。
∵AM=3,
∴DN=6。
解析
【分析】
解题时先从已知条件△ABC∽△DEF和面积比1:4入手，首先回忆相似三角形的面积比等于相似比的平方，先求出两个三角形的相似比；再结合AM、DN是两个三角形的对应高，根据相似三角形对应高的比等于相似比，得到AM与DN的比例关系，最后代入AM=3即可求解DN的长度。
【解析】
解：
∵△ABC∽△DEF，$S_{△ABC}: S_{△DEF}=1: 4$，
∴$(\frac{AB}{DE})^2=\frac{1}{4}$，解得$\frac{AB}{DE}=\frac{1}{2}$（相似比为正值，舍去负解）。
又
∵AM和DN分别是边BC和EF上的高，即AM、DN是两个相似三角形的对应高，
∴$\frac{AM}{DN}=\frac{AB}{DE}=\frac{1}{2}$。
∵AM=3，代入比例式得$\frac{3}{DN}=\frac{1}{2}$，
∴DN=6。
【答案】
DN的长为6
【知识点】
1.相似三角形面积比性质
2.相似三角形对应高性质
3.比例运算
【点评】
本题是相似三角形性质的基础应用题，解题核心是熟练掌握相似三角形的面积比、对应高的比与相似比的关系，理清量与量之间的对应关系即可快速求解。
【难度系数】
0.8
解题时先从已知条件△ABC∽△DEF和面积比1:4入手，首先回忆相似三角形的面积比等于相似比的平方，先求出两个三角形的相似比；再结合AM、DN是两个三角形的对应高，根据相似三角形对应高的比等于相似比，得到AM与DN的比例关系，最后代入AM=3即可求解DN的长度。
【解析】
解：
∵△ABC∽△DEF，$S_{△ABC}: S_{△DEF}=1: 4$，
∴$(\frac{AB}{DE})^2=\frac{1}{4}$，解得$\frac{AB}{DE}=\frac{1}{2}$（相似比为正值，舍去负解）。
又
∵AM和DN分别是边BC和EF上的高，即AM、DN是两个相似三角形的对应高，
∴$\frac{AM}{DN}=\frac{AB}{DE}=\frac{1}{2}$。
∵AM=3，代入比例式得$\frac{3}{DN}=\frac{1}{2}$，
∴DN=6。
【答案】
DN的长为6
【知识点】
1.相似三角形面积比性质
2.相似三角形对应高性质
3.比例运算
【点评】
本题是相似三角形性质的基础应用题，解题核心是熟练掌握相似三角形的面积比、对应高的比与相似比的关系，理清量与量之间的对应关系即可快速求解。
【难度系数】
0.8
8. 如图3-4-12，在$\mathrm{Rt}△ ABC$中，$∠ ACB=90°$，$CD⊥ AB$，垂足为点$D$，$AF$平分$∠ CAB$，交$CD$于点$E$，交$CB$于点$F$。$AC=3$，$AB=5$。
(1)求证：$△ CEF$是等腰三角形；
(2)求$\frac{S_{△ AED}}{S_{△ CEF}}$的值。
图3-4-12
(1)求证：$△ CEF$是等腰三角形；
(2)求$\frac{S_{△ AED}}{S_{△ CEF}}$的值。
图3-4-12
答案
8.(1)证明:
∵AF 平分∠CAB，
∴∠CAF=∠BAF。
∵∠ACB=90°,CD⊥AB,垂足为点D，
∴∠CFA=90°−∠CAF,∠CEF=∠AED=90°−∠BAF，
∴∠CFA=∠CEF，
∴CF=CE,
∴△CEF 是等腰三角形。
(2)解:
∵∠DAC=∠CAB,∠ADC=∠ACB，
∴△ACD∽△ABC，
∴$\frac{AD}{AC}=\frac{AC}{AB}=\frac{3}{5}$。
∵∠CAF=∠BAF,∠ACF=∠ADC，
∴△ACF∽△ADE，
∴$\frac{AE}{AF}=\frac{AD}{AC}=\frac{3}{5},\therefore \frac{S_{△ ADE}}{S_{△ ACF}}=(\frac{AD}{AC})^2=\frac{9}{25}$。
若记 $S_{△ ADE}=9S$,则 $S_{△ ACF}=25S$。
∵$\frac{AE}{AF}=\frac{3}{5},\therefore \frac{AE}{EF}=\frac{3}{2}$，
∴$S_{△ CEF}=\frac{2}{5}S_{△ ACF}=10S,\therefore \frac{S_{△ AED}}{S_{△ CEF}}=\frac{9}{10}$。
∵AF 平分∠CAB，
∴∠CAF=∠BAF。
∵∠ACB=90°,CD⊥AB,垂足为点D，
∴∠CFA=90°−∠CAF,∠CEF=∠AED=90°−∠BAF，
∴∠CFA=∠CEF，
∴CF=CE,
∴△CEF 是等腰三角形。
(2)解:
∵∠DAC=∠CAB,∠ADC=∠ACB，
∴△ACD∽△ABC，
∴$\frac{AD}{AC}=\frac{AC}{AB}=\frac{3}{5}$。
∵∠CAF=∠BAF,∠ACF=∠ADC，
∴△ACF∽△ADE，
∴$\frac{AE}{AF}=\frac{AD}{AC}=\frac{3}{5},\therefore \frac{S_{△ ADE}}{S_{△ ACF}}=(\frac{AD}{AC})^2=\frac{9}{25}$。
若记 $S_{△ ADE}=9S$,则 $S_{△ ACF}=25S$。
∵$\frac{AE}{AF}=\frac{3}{5},\therefore \frac{AE}{EF}=\frac{3}{2}$，
∴$S_{△ CEF}=\frac{2}{5}S_{△ ACF}=10S,\therefore \frac{S_{△ AED}}{S_{△ CEF}}=\frac{9}{10}$。
解析
【分析】
(1) 要证明△CEF是等腰三角形，只需证明其有两个内角相等，即∠CEF=∠CFE。首先利用角平分线的性质得到∠CAF=∠BAF，再结合直角三角形两锐角互余、对顶角相等的性质，即可推导两个角相等，进而完成证明。
(2) 要求两个三角形的面积比，首先证明△ACD∽△ABC，求出AD与AC的比值；再证明△ACF∽△ADE，得到两个三角形的相似比，进而推出△ADE和△ACF的面积比；最后根据线段AE和EF的比例关系，推导△CEF和△ACF的面积关系，即可计算出所求的面积比值。
【解析】
(1) 证明：
∵AF平分∠CAB，
∴∠CAF=∠BAF。
∵∠ACB=90°，CD⊥AB，垂足为点D，
∴∠CFA=90°−∠CAF，∠CEF=∠AED=90°−∠BAF，
∴∠CFA=∠CEF，
∴CF=CE，
∴△CEF是等腰三角形。
(2) 解：
∵∠DAC=∠CAB，∠ADC=∠ACB=90°，
∴△ACD∽△ABC，
∴$\frac{AD}{AC}=\frac{AC}{AB}=\frac{3}{5}$。
∵∠CAF=∠BAF，∠ACF=∠ADE=90°，
∴△ACF∽△ADE，
∴$\frac{AE}{AF}=\frac{AD}{AC}=\frac{3}{5}$，
∴$\frac{S_{△ ADE}}{S_{△ ACF}}=(\frac{AD}{AC})^2=\frac{9}{25}$。
设$S_{△ ADE}=9S$，则$S_{△ ACF}=25S$。
∵$\frac{AE}{AF}=\frac{3}{5}$，
∴$\frac{AE}{EF}=\frac{3}{2}$，
△ACE和△CEF同高，底的比等于面积比，因此$S_{△ CEF}=\frac{2}{5}S_{△ ACF}=\frac{2}{5}×25S=10S$，
∴$\frac{S_{△ AED}}{S_{△ CEF}}=\frac{9S}{10S}=\frac{9}{10}$。
【答案】
(1) △CEF是等腰三角形，证明成立；(2) $\frac{9}{10}$
【知识点】
等腰三角形的判定，相似三角形的判定与性质，角平分线的定义
【点评】
本题是几何综合基础题，既考查了等腰三角形的判定方法，也涉及相似三角形的性质应用，解题核心是准确推导角的等量关系，找到相似三角形，结合面积比与相似比、线段比的关系求解，有助于提升逻辑推理和图形分析能力。
【难度系数】
0.6
(1) 要证明△CEF是等腰三角形，只需证明其有两个内角相等，即∠CEF=∠CFE。首先利用角平分线的性质得到∠CAF=∠BAF，再结合直角三角形两锐角互余、对顶角相等的性质，即可推导两个角相等，进而完成证明。
(2) 要求两个三角形的面积比，首先证明△ACD∽△ABC，求出AD与AC的比值；再证明△ACF∽△ADE，得到两个三角形的相似比，进而推出△ADE和△ACF的面积比；最后根据线段AE和EF的比例关系，推导△CEF和△ACF的面积关系，即可计算出所求的面积比值。
【解析】
(1) 证明：
∵AF平分∠CAB，
∴∠CAF=∠BAF。
∵∠ACB=90°，CD⊥AB，垂足为点D，
∴∠CFA=90°−∠CAF，∠CEF=∠AED=90°−∠BAF，
∴∠CFA=∠CEF，
∴CF=CE，
∴△CEF是等腰三角形。
(2) 解：
∵∠DAC=∠CAB，∠ADC=∠ACB=90°，
∴△ACD∽△ABC，
∴$\frac{AD}{AC}=\frac{AC}{AB}=\frac{3}{5}$。
∵∠CAF=∠BAF，∠ACF=∠ADE=90°，
∴△ACF∽△ADE，
∴$\frac{AE}{AF}=\frac{AD}{AC}=\frac{3}{5}$，
∴$\frac{S_{△ ADE}}{S_{△ ACF}}=(\frac{AD}{AC})^2=\frac{9}{25}$。
设$S_{△ ADE}=9S$，则$S_{△ ACF}=25S$。
∵$\frac{AE}{AF}=\frac{3}{5}$，
∴$\frac{AE}{EF}=\frac{3}{2}$，
△ACE和△CEF同高，底的比等于面积比，因此$S_{△ CEF}=\frac{2}{5}S_{△ ACF}=\frac{2}{5}×25S=10S$，
∴$\frac{S_{△ AED}}{S_{△ CEF}}=\frac{9S}{10S}=\frac{9}{10}$。
【答案】
(1) △CEF是等腰三角形，证明成立；(2) $\frac{9}{10}$
【知识点】
等腰三角形的判定，相似三角形的判定与性质，角平分线的定义
【点评】
本题是几何综合基础题，既考查了等腰三角形的判定方法，也涉及相似三角形的性质应用，解题核心是准确推导角的等量关系，找到相似三角形，结合面积比与相似比、线段比的关系求解，有助于提升逻辑推理和图形分析能力。
【难度系数】
0.6
