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1.下列说法错误的是(
A.直径是圆中最长的弦
B.半圆是弧
C.长度相等的两段弧是等弧
D.圆上各点到圆心的距离相等
C
).A.直径是圆中最长的弦
B.半圆是弧
C.长度相等的两段弧是等弧
D.圆上各点到圆心的距离相等
答案
1.C
解析
【分析】
本题为圆的基础概念辨析题，解题时需逐一结合对应概念判断各选项的正误：首先回忆弦、弧、等弧、圆的定义相关知识点，依次核对每个选项的表述是否符合概念的完整要求，最终找出说法错误的选项即可。
【解析】
我们逐个分析选项：
A. 弦是连接圆上任意两点的线段，直径是过圆心的弦，长度等于2倍半径，是圆中最长的弦，该说法正确，不符合题意；
B. 弧是圆上任意两点间的部分，半圆是直径的两个端点分割圆得到的弧，属于弧的一种，该说法正确，不符合题意；
C. 等弧的定义是：在同圆或等圆中，能够完全重合的两段弧。仅长度相等的两段弧，若所在圆的半径不同，无法完全重合，不属于等弧，该说法错误，符合题意；
D. 根据圆的定义，圆是平面内到定点（圆心）的距离等于定长（半径）的点的集合，因此圆上各点到圆心的距离都等于半径，均相等，该说法正确，不符合题意。
综上，本题选C。
【答案】
C
【知识点】
圆的基本概念，等弧的定义，弦与弧的定义
【点评】
本题属于基础概念类考题，核心考查对圆相关基础定义的准确理解，易错点是容易忽略等弧成立的前提“同圆或等圆”，误将长度相等的弧判定为等弧，学习概念时要注意记忆完整的限定条件。
【难度系数】
0.7
本题为圆的基础概念辨析题，解题时需逐一结合对应概念判断各选项的正误：首先回忆弦、弧、等弧、圆的定义相关知识点，依次核对每个选项的表述是否符合概念的完整要求，最终找出说法错误的选项即可。
【解析】
我们逐个分析选项：
A. 弦是连接圆上任意两点的线段，直径是过圆心的弦，长度等于2倍半径，是圆中最长的弦，该说法正确，不符合题意；
B. 弧是圆上任意两点间的部分，半圆是直径的两个端点分割圆得到的弧，属于弧的一种，该说法正确，不符合题意；
C. 等弧的定义是：在同圆或等圆中，能够完全重合的两段弧。仅长度相等的两段弧，若所在圆的半径不同，无法完全重合，不属于等弧，该说法错误，符合题意；
D. 根据圆的定义，圆是平面内到定点（圆心）的距离等于定长（半径）的点的集合，因此圆上各点到圆心的距离都等于半径，均相等，该说法正确，不符合题意。
综上，本题选C。
【答案】
C
【知识点】
圆的基本概念，等弧的定义，弦与弧的定义
【点评】
本题属于基础概念类考题，核心考查对圆相关基础定义的准确理解，易错点是容易忽略等弧成立的前提“同圆或等圆”，误将长度相等的弧判定为等弧，学习概念时要注意记忆完整的限定条件。
【难度系数】
0.7
2.已知$\odot O$的直径为9 cm，若$OA=10$ cm，则点A与$\odot O$的位置关系是(
A.点A在$\odot O$外
B.点A在$\odot O$上
C.点A在$\odot O$内
D.不能确定
A
).A.点A在$\odot O$外
B.点A在$\odot O$上
C.点A在$\odot O$内
D.不能确定
答案
2.A
解析
【分析】
要判断点与圆的位置关系，需依据点到圆心的距离与圆半径的大小对应规则：当距离大于半径时，点在圆外；距离等于半径时，点在圆上；距离小于半径时，点在圆内。解题时先根据已知的直径求出圆的半径，再将OA的长度与半径比较大小，即可确定点A的位置。
【解析】
解：已知$\odot O$的直径为9 cm，
$\therefore \odot O$的半径$r=9÷2=4.5$ cm，
$\because$点A到圆心O的距离$OA=10$ cm，$10\ \mathrm{cm}＞4.5\ \mathrm{cm}$，即点到圆心的距离$d＞r$，
$\therefore$点A在$\odot O$外。
故选：A
【答案】
A
【知识点】
点与圆的位置关系判定；圆的直径与半径的关系
【点评】
本题是基础题，主要考查点和圆的位置关系的判定方法，只要掌握判定规则，准确计算半径并比较距离和半径的大小即可正确解答。
【难度系数】
0.9
要判断点与圆的位置关系，需依据点到圆心的距离与圆半径的大小对应规则：当距离大于半径时，点在圆外；距离等于半径时，点在圆上；距离小于半径时，点在圆内。解题时先根据已知的直径求出圆的半径，再将OA的长度与半径比较大小，即可确定点A的位置。
【解析】
解：已知$\odot O$的直径为9 cm，
$\therefore \odot O$的半径$r=9÷2=4.5$ cm，
$\because$点A到圆心O的距离$OA=10$ cm，$10\ \mathrm{cm}＞4.5\ \mathrm{cm}$，即点到圆心的距离$d＞r$，
$\therefore$点A在$\odot O$外。
故选：A
【答案】
A
【知识点】
点与圆的位置关系判定；圆的直径与半径的关系
【点评】
本题是基础题，主要考查点和圆的位置关系的判定方法，只要掌握判定规则，准确计算半径并比较距离和半径的大小即可正确解答。
【难度系数】
0.9
3.到定点O的距离为3 cm的点的集合是
以点O为圆心，3 cm为半径的圆
.答案
3.以点O为圆心，3 cm为半径的圆
解析
【分析】
解答本题需结合圆的定义来思考：首先回忆圆的核心定义，平面内到定点的距离等于定长的所有点组成的图形是圆，其中定点是圆心，定长是半径。题目中已经给出定点为O，定长为3cm，对应圆的两个核心要素，即可直接得出符合条件的点的集合。
【解析】
根据圆的定义：平面内到定点的距离等于定长的点的集合叫做圆，定点称为圆心，定长称为半径。
本题中定点为点O，定长为3cm，因此到点O的距离为3cm的点的集合就是以点O为圆心、3cm为半径的圆。
【答案】
以点O为圆心，3 cm为半径的圆
【知识点】
圆的定义
【点评】
本题是对圆的基本概念的直接考查，属于基础题型，掌握圆的定义及圆心、半径两个核心要素即可快速作答。
【难度系数】
0.9
解答本题需结合圆的定义来思考：首先回忆圆的核心定义，平面内到定点的距离等于定长的所有点组成的图形是圆，其中定点是圆心，定长是半径。题目中已经给出定点为O，定长为3cm，对应圆的两个核心要素，即可直接得出符合条件的点的集合。
【解析】
根据圆的定义：平面内到定点的距离等于定长的点的集合叫做圆，定点称为圆心，定长称为半径。
本题中定点为点O，定长为3cm，因此到点O的距离为3cm的点的集合就是以点O为圆心、3cm为半径的圆。
【答案】
以点O为圆心，3 cm为半径的圆
【知识点】
圆的定义
【点评】
本题是对圆的基本概念的直接考查，属于基础题型，掌握圆的定义及圆心、半径两个核心要素即可快速作答。
【难度系数】
0.9
4.⊙O的圆心是原点O(0,0)，半径为5，点A(3,a)在⊙O上，如果点A在第一象限内，那么a=
4
。答案
4.4
解析
【分析】
解题时首先回忆点与圆的位置关系：若点在圆上，则点到圆心的距离等于圆的半径。本题中圆心是原点，已知点A的坐标和半径长度，可先用两点间距离公式表示出点A到原点的距离，令其等于半径得到方程，再结合点A在第一象限、纵坐标为正的特征，求解得到a的值。
【解析】
∵ 点A(3,a)在⊙O上，⊙O的半径为5，
∴ 点A到圆心O(0,0)的距离等于半径，即$OA=5$。
根据平面直角坐标系中两点间的距离公式：
$OA=\sqrt{(3-0)^2+(a-0)^2}=5$
两边平方得：$3^2+a^2=25$
即$9+a^2=25$，解得$a^2=16$，$a=\pm4$。
又
∵ 点A在第一象限内，第一象限内点的纵坐标大于0，
∴ $a=4$。
【答案】
4
【知识点】
点与圆的位置关系；两点间距离公式；象限内点的坐标特征
【点评】
本题属于基础题，解题的核心是掌握点在圆上时，点到圆心的距离等于半径这一性质，结合坐标系的相关运算即可快速求解。
【难度系数】
0.8
解题时首先回忆点与圆的位置关系：若点在圆上，则点到圆心的距离等于圆的半径。本题中圆心是原点，已知点A的坐标和半径长度，可先用两点间距离公式表示出点A到原点的距离，令其等于半径得到方程，再结合点A在第一象限、纵坐标为正的特征，求解得到a的值。
【解析】
∵ 点A(3,a)在⊙O上，⊙O的半径为5，
∴ 点A到圆心O(0,0)的距离等于半径，即$OA=5$。
根据平面直角坐标系中两点间的距离公式：
$OA=\sqrt{(3-0)^2+(a-0)^2}=5$
两边平方得：$3^2+a^2=25$
即$9+a^2=25$，解得$a^2=16$，$a=\pm4$。
又
∵ 点A在第一象限内，第一象限内点的纵坐标大于0，
∴ $a=4$。
【答案】
4
【知识点】
点与圆的位置关系；两点间距离公式；象限内点的坐标特征
【点评】
本题属于基础题，解题的核心是掌握点在圆上时，点到圆心的距离等于半径这一性质，结合坐标系的相关运算即可快速求解。
【难度系数】
0.8
5.如图,在△ABC中,∠ACB=90°,AB=10 cm,BC=8 cm,CD⊥AB,垂足为D,O为AB的中点.若以点C为圆心,6 cm为半径作⊙C,则点A在
圆上
,点B在圆外
,点D在圆内
;当⊙C的半径为8 cm
时,点D在⊙C上.答案
5.圆上 圆外 圆内 4.8 cm
6.如图,点A,B,C是$\odot O$上的三点,$∠ A=80°$,$∠ C=60°$,则$∠ B=$
140°
.答案
6.140°
解析
【分析】
解题思路如下：首先观察图形，O是⊙O的圆心，因此OA、OB、OC都是圆的半径，长度相等。我们可以通过作辅助线连接OB，构造出两个等腰三角形△OAB和△OCB。根据等腰三角形“等边对等角”的性质，可直接得到∠OBA等于已知的∠OAB=80°，∠OBC等于已知的∠OCB=60°，所求的∠B就是这两个角的和，相加即可得到结果。也可以结合圆周角定理和四边形内角和公式求解，构造等腰三角形的方法更直观简便。
【解析】
解：连接OB
∵ OA、OB、OC均为⊙O的半径
∴ OA=OB，OB=OC
∴ △OAB、△OCB为等腰三角形
根据等腰三角形等边对等角的性质：
∠OBA=∠OAB=80°，∠OBC=∠OCB=60°
∴ ∠ABC=∠OBA+∠OBC=80°+60°=140°
【答案】
140°
【知识点】
圆的半径性质；等腰三角形的性质；角的和差计算
【点评】
本题是圆的基础性质与等腰三角形性质结合的典型基础题，解题的关键是合理作出辅助线构造等腰三角形，将已知角和所求角建立关联，难度较低，掌握相关基础性质即可快速解答。
【难度系数】
0.85
解题思路如下：首先观察图形，O是⊙O的圆心，因此OA、OB、OC都是圆的半径，长度相等。我们可以通过作辅助线连接OB，构造出两个等腰三角形△OAB和△OCB。根据等腰三角形“等边对等角”的性质，可直接得到∠OBA等于已知的∠OAB=80°，∠OBC等于已知的∠OCB=60°，所求的∠B就是这两个角的和，相加即可得到结果。也可以结合圆周角定理和四边形内角和公式求解，构造等腰三角形的方法更直观简便。
【解析】
解：连接OB
∵ OA、OB、OC均为⊙O的半径
∴ OA=OB，OB=OC
∴ △OAB、△OCB为等腰三角形
根据等腰三角形等边对等角的性质：
∠OBA=∠OAB=80°，∠OBC=∠OCB=60°
∴ ∠ABC=∠OBA+∠OBC=80°+60°=140°
【答案】
140°
【知识点】
圆的半径性质；等腰三角形的性质；角的和差计算
【点评】
本题是圆的基础性质与等腰三角形性质结合的典型基础题，解题的关键是合理作出辅助线构造等腰三角形，将已知角和所求角建立关联，难度较低，掌握相关基础性质即可快速解答。
【难度系数】
0.85
7.如图,点A,B,C是$\odot O$上的三点,$∠ AOB=40°$,$∠ OBC=50°$,则$∠ OAC=$
30°
.答案
7.30°
解析
【分析】
已知圆的所有半径长度相等，因此OA=OB=OC，可得到△OBC、△OAC均为等腰三角形。解题时先利用等腰△OBC的已知底角∠OBC求出顶角∠BOC的度数，再求和得到∠AOC的度数，最后在等腰△OAC中结合三角形内角和定理计算底角∠OAC的度数即可。
【解析】
解：
∵ OB、OC都是$\odot O$的半径
∴ OB=OC，$△ OBC$为等腰三角形
∴ $∠ OCB=∠ OBC=50°$
根据三角形内角和为$180°$，可得：
$∠ BOC=180°-∠ OBC-∠ OCB=180°-50°-50°=80°$
∴ $∠ AOC=∠ AOB+∠ BOC=40°+80°=120°$
又
∵ OA、OC都是$\odot O$的半径
∴ OA=OC，$△ OAC$为等腰三角形，$∠ OAC=∠ OCA$
∴ $∠ OAC=\frac{180°-∠ AOC}{2}=\frac{180°-120°}{2}=30°$
【答案】
$30°$
【知识点】
圆的半径性质；等腰三角形的性质；三角形内角和定理
【点评】
本题属于基础角度计算题，将圆的性质和等腰三角形的性质结合考查，解题的核心是通过半径相等得到等腰三角形，再逐步推导角度关系，计算过程简单，思路清晰。
【难度系数】
0.7
已知圆的所有半径长度相等，因此OA=OB=OC，可得到△OBC、△OAC均为等腰三角形。解题时先利用等腰△OBC的已知底角∠OBC求出顶角∠BOC的度数，再求和得到∠AOC的度数，最后在等腰△OAC中结合三角形内角和定理计算底角∠OAC的度数即可。
【解析】
解：
∵ OB、OC都是$\odot O$的半径
∴ OB=OC，$△ OBC$为等腰三角形
∴ $∠ OCB=∠ OBC=50°$
根据三角形内角和为$180°$，可得：
$∠ BOC=180°-∠ OBC-∠ OCB=180°-50°-50°=80°$
∴ $∠ AOC=∠ AOB+∠ BOC=40°+80°=120°$
又
∵ OA、OC都是$\odot O$的半径
∴ OA=OC，$△ OAC$为等腰三角形，$∠ OAC=∠ OCA$
∴ $∠ OAC=\frac{180°-∠ AOC}{2}=\frac{180°-120°}{2}=30°$
【答案】
$30°$
【知识点】
圆的半径性质；等腰三角形的性质；三角形内角和定理
【点评】
本题属于基础角度计算题，将圆的性质和等腰三角形的性质结合考查，解题的核心是通过半径相等得到等腰三角形，再逐步推导角度关系，计算过程简单，思路清晰。
【难度系数】
0.7
8.如图，点A，B，C是$\odot O$上的三点，BO平分$∠ ABC$.求证：$BA＝BC$.
答案
8.证明:连接OA,OC，
∵OA=OB,OB=OC,
∴∠ABO=∠BAO,∠CBO=∠BCO，
∵BO平分∠ABC,
∴∠ABO=∠CBO,
∴∠BAO=∠BCO,
∴△OAB≌△OCB(AAS)，
∴BA=BC.
∵OA=OB,OB=OC,
∴∠ABO=∠BAO,∠CBO=∠BCO，
∵BO平分∠ABC,
∴∠ABO=∠CBO,
∴∠BAO=∠BCO,
∴△OAB≌△OCB(AAS)，
∴BA=BC.
解析
【分析】
要证明BA=BC，可通过证明两条线段所在的三角形全等来推导。首先结合圆的基本性质，连接OA、OC可得圆的半径都相等，即OA=OB=OC，进而可得到等腰三角形等边对等角的关系；再结合BO平分∠ABC的条件，推导得到△OAB和△OCB全等的判定条件，最后根据全等三角形对应边相等即可得证。
【解析】
证明：连接OA,OC，
∵OA=OB,OB=OC，
∴∠ABO=∠BAO,∠CBO=∠BCO，
∵BO平分∠ABC，
∴∠ABO=∠CBO，
∴∠BAO=∠BCO，
∴△OAB≌△OCB(AAS)，
∴BA=BC。
【答案】
证明:连接OA,OC，
∵OA=OB,OB=OC,
∴∠ABO=∠BAO,∠CBO=∠BCO，
∵BO平分∠ABC,
∴∠ABO=∠CBO,
∴∠BAO=∠BCO,
∴△OAB≌△OCB(AAS)，
∴BA＝BC.
【知识点】
圆的半径相等；角平分线的定义；全等三角形的判定与性质
【点评】
本题属于基础证明题，考查圆的性质和三角形全等的综合应用，解题的突破口是合理连接半径构造全等三角形，用到的都是基础知识点，熟练掌握相关性质即可轻松解答。
【难度系数】
0.8
要证明BA=BC，可通过证明两条线段所在的三角形全等来推导。首先结合圆的基本性质，连接OA、OC可得圆的半径都相等，即OA=OB=OC，进而可得到等腰三角形等边对等角的关系；再结合BO平分∠ABC的条件，推导得到△OAB和△OCB全等的判定条件，最后根据全等三角形对应边相等即可得证。
【解析】
证明：连接OA,OC，
∵OA=OB,OB=OC，
∴∠ABO=∠BAO,∠CBO=∠BCO，
∵BO平分∠ABC，
∴∠ABO=∠CBO，
∴∠BAO=∠BCO，
∴△OAB≌△OCB(AAS)，
∴BA=BC。
【答案】
证明:连接OA,OC，
∵OA=OB,OB=OC,
∴∠ABO=∠BAO,∠CBO=∠BCO，
∵BO平分∠ABC,
∴∠ABO=∠CBO,
∴∠BAO=∠BCO,
∴△OAB≌△OCB(AAS)，
∴BA＝BC.
【知识点】
圆的半径相等；角平分线的定义；全等三角形的判定与性质
【点评】
本题属于基础证明题，考查圆的性质和三角形全等的综合应用，解题的突破口是合理连接半径构造全等三角形，用到的都是基础知识点，熟练掌握相关性质即可轻松解答。
【难度系数】
0.8
