15.如图,在等腰直角三角形ABC中,$AB=BC$,$∠ABC=90°$,点D,E分别在边AB,AC上,且点D,E不重合.
(1)【问题解决】如图①,当点D,E分别与点B,C重合时,将线段DE绕点E顺时针旋转$90°$,得到线段FE,连接AF,AF与BC的位置关系是,数量关系是.
(2)【问题探究】如图②,当点D,E不与点B,C重合时,将线段DE绕点E顺时针旋转$90°$,得到线段FE,连接AF,AF与BC的位置关系是怎样的?请说明理由.
(3)【拓展延伸】如图③,当点E不与点C重合,且D为AB的中点时,将线段DE绕点E顺时针旋转$90°$,得到线段FE,点G是点C关于直线AB的对称点,若点G,D,F在一条直线上,求$\frac{AE}{EC}$的值.

15.(1)平行 相等
(2)$AF// BC$.理由如下:
过点$E$作$EM⊥ AC$,交$AB$的延长线于点$M$.
$\because ∠ ABC=90°,AB=BC,\therefore ∠ BAC=∠ BCA=45°$,
$\because ∠ AEM=90°,\therefore △ AEM$是等腰直角三角形,
$\therefore ME=AE,∠ AME=45°$,
由旋转的性质得$FE=DE,∠ DEF=90°,\therefore ∠ DEF=∠ AEM$,
$\therefore ∠ DEF-∠ AED=∠ AEM-∠ AED$,即$∠ AEF=∠ MED$,
$\therefore △ AEF≌△ MED(\mathrm{SAS}),\therefore ∠ EAF=∠ EMD=45°,\therefore ∠ EAF=∠ BCA$,
$\therefore AF// BC$.
(3)连接$AF,CF$,过点$E$作$EM⊥ AB$于点$M$,延长$ME$交$CF$于点$H$.
由(2)可知$AF// BC,\therefore ∠ DAF=∠ DBG,∠ AFD=∠ G$,
$\because$点$D$为$AB$的中点,$\therefore AD=BD,\therefore △ ADF≌△ BDG(\mathrm{AAS}),\therefore AF=BG$.
$\because$点$G$是点$C$关于直线$AB$的对称点,$\therefore BG=BC,\therefore AF=BC$,
$\therefore$四边形$ABCF$是平行四边形.
又$\because AB=BC,∠ ABC=90°,\therefore$平行四边形$ABCF$是正方形,
$\therefore AB// CF,∠ BCF=90°,∠ ACF=45°$,
$\because MH⊥ AB,\therefore MH⊥ CF,\therefore BM=CH,∠ CHE=∠ FHE=90°$,
$\therefore ∠ EFH+∠ FEH=90°$.
由旋转的性质得$FE=DE,∠ DEF=90°$,
$\therefore ∠ DEM+∠ FEH=90°,\therefore ∠ EFH=∠ DEM$,
$\because ∠ EMD=∠ FHE=90°,\therefore △ EFH≌△ DEM(\mathrm{AAS}),\therefore EH=DM$.
$\because ∠ ACF=45°,MH⊥ CF,\therefore △ ECH$是等腰直角三角形,
$\therefore EH=CH,\therefore DM=BM=\frac{1}{2}BD=\frac{1}{2}AD,\therefore AM=3BM$.
$\because$在等腰直角三角形$AME$中$AE=\sqrt{2}AM$,在等腰直角三角形$ABC$中$AC=\sqrt{2}AB$,
$\therefore \frac{AE}{EC}=\frac{AE}{AC-AE}=\frac{\sqrt{2}AM}{\sqrt{2}AB-\sqrt{2}AM}=\frac{AM}{AB-AM}=\frac{AM}{BM}=3$.

【分析】
(1) 本问为特殊情形，当D、E分别与B、C重合时，DE即BC，旋转90°后EF与BC相等且垂直，结合等腰直角△ABC的特征，可判定四边形ABCF为正方形，直接得出AF与BC的位置和数量关系。
(2) 要证明AF//BC，可通过证明内错角∠EAF=∠ACB=45°实现。过点E作EM⊥AC交AB延长线于点M，构造等腰直角△AEM，结合旋转的性质得到对应边相等、对应角相等，证明△AEF≌△MED，得到∠EAF=∠EMD=45°，即可证得平行。
(3) 首先利用G、D、F共线，D为AB中点的条件，证明△ADF≌△BDG，得到AF=BG；结合点G是点C关于AB的对称点，得BG=BC，结合(2)的结论AF//BC，可证四边形ABCF为正方形；再作辅助线构造全等△EFH≌△DEM，结合等腰直角三角形的性质推导出AM与BM的数量关系，最后利用等腰直角三角形边的比例关系计算$\frac{AE}{EC}$的比值。
【解析】
(1) 当点D,E分别与点B,C重合时，DE=BC，旋转后EF=DE=BC，且∠FCE=90°，又∠ABC=90°，AB=BC，因此四边形ABCF是正方形，故AF//BC，AF=BC。
(2)$AF// BC$.理由如下:
过点$E$作$EM⊥ AC$,交$AB$的延长线于点$M$.
$\because ∠ ABC=90°,AB=BC,\therefore ∠ BAC=∠ BCA=45°$,
$\because ∠ AEM=90°,\therefore △ AEM$是等腰直角三角形,
$\therefore ME=AE,∠ AME=45°$,
由旋转的性质得$FE=DE,∠ DEF=90°,\therefore ∠ DEF=∠ AEM$,
$\therefore ∠ DEF-∠ AED=∠ AEM-∠ AED$,即$∠ AEF=∠ MED$,
$\therefore △ AEF≌△ MED(\mathrm{SAS}),\therefore ∠ EAF=∠ EMD=45°,\therefore ∠ EAF=∠ BCA$,
$\therefore AF// BC$.
(3)连接$AF,CF$,过点$E$作$EM⊥ AB$于点$M$,延长$ME$交$CF$于点$H$.
由(2)可知$AF// BC,\therefore ∠ DAF=∠ DBG,∠ AFD=∠ G$,
$\because$点$D$为$AB$的中点,$\therefore AD=BD,\therefore △ ADF≌△ BDG(\mathrm{AAS}),\therefore AF=BG$.
$\because$点$G$是点$C$关于直线$AB$的对称点,$\therefore BG=BC,\therefore AF=BC$,
$\therefore$四边形$ABCF$是平行四边形.
又$\because AB=BC,∠ ABC=90°,\therefore$平行四边形$ABCF$是正方形,
$\therefore AB// CF,∠ BCF=90°,∠ ACF=45°$,
$\because MH⊥ AB,\therefore MH⊥ CF,\therefore BM=CH,∠ CHE=∠ FHE=90°$,
$\therefore ∠ EFH+∠ FEH=90°$.
由旋转的性质得$FE=DE,∠ DEF=90°$,
$\therefore ∠ DEM+∠ FEH=90°,\therefore ∠ EFH=∠ DEM$,
$\because ∠ EMD=∠ FHE=90°,\therefore △ EFH≌△ DEM(\mathrm{AAS}),\therefore EH=DM$.
$\because ∠ ACF=45°,MH⊥ CF,\therefore △ ECH$是等腰直角三角形,
$\therefore EH=CH,\therefore DM=BM=\frac{1}{2}BD=\frac{1}{2}AD,\therefore AM=3BM$.
$\because$在等腰直角三角形$AME$中$AE=\sqrt{2}AM$,在等腰直角三角形$ABC$中$AC=\sqrt{2}AB$,
$\therefore \frac{AE}{EC}=\frac{AE}{AC-AE}=\frac{\sqrt{2}AM}{\sqrt{2}AB-\sqrt{2}AM}=\frac{AM}{AB-AM}=\frac{AM}{BM}=3$.
【答案】
(1) 平行；相等
(2)$AF// BC$，理由见解析
(3)$\frac{AE}{EC}=3$
【知识点】
旋转的性质；全等三角形的判定与性质；特殊四边形的判定与性质
【点评】
本题是几何探究综合题，按照从特殊到一般的逻辑设置问题，对几何综合分析能力要求较高。解题关键是结合旋转、对称的性质，合理构造辅助线证明三角形全等，再利用特殊三角形、特殊四边形的边角关系推导求解。
【难度系数】
0.4