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原题3:已知一次函数$y=\frac{1}{2}x+m$的图象过点A(4,1)，与y轴相交于点B。
(1)求m的值及点B的坐标，并在直角坐标系中画出$y=\frac{1}{2}x+m$的图象。
(2)如果一次函数$y=-x+n$的图象与线段AB有交点，求n的取值范围。
(1)求m的值及点B的坐标，并在直角坐标系中画出$y=\frac{1}{2}x+m$的图象。
(2)如果一次函数$y=-x+n$的图象与线段AB有交点，求n的取值范围。
答案
(1)因为一次函数$y=\frac{1}{2}x+m$的图象过点$A(4,1)$，所以$1=2+m$，所以$m=-1$，所以在$y=\frac{1}{2}x-1$中，令$x=0$，则$y=-1$，所以$B(0,-1)$，函数图象如图所示
。(2)令$-x+n=\frac{1}{2}x-1$，则$x=\frac{2}{3}(n+1)$，因为一次函数$y=-x+n$的图象与线段$AB$有交点，所以$0≤\frac{2}{3}(n+1)≤4$，解得$-1≤ n≤5$。
解析
【分析】
(1) 已知点在一次函数图象上时，点的坐标满足函数解析式，因此将点A(4,1)代入$y=\frac{1}{2}x+m$即可得到关于m的方程，解出m后得到完整的函数解析式；求y轴交点B的坐标时，利用y轴上点的横坐标为0的性质，将x=0代入解析式计算y值即可得到B点坐标；画一次函数图象只需连接两个已知点A、B即可。
(2) 两个一次函数图象的交点坐标满足两个函数的解析式，因此联立两个函数解析式可求出交点的横坐标（用n表示）；由于交点在线段AB上，线段AB上所有点的横坐标的取值范围是$0≤x≤4$，将用n表示的x代入这个范围，解不等式即可得到n的取值范围。
【解析】
(1) 把点$A(4,1)$代入一次函数$y=\frac{1}{2}x+m$得：
$1=\frac{1}{2}×4 + m$，
计算得$1=2+m$，解得$m=-1$。
则一次函数解析式为$y=\frac{1}{2}x -1$，
求与y轴交点B时，令$x=0$，代入解析式得$y=\frac{1}{2}×0 -1 = -1$，
因此点B的坐标为$(0,-1)$，连接点A、B即可得到该函数的图象。
(2) 联立两个一次函数的解析式：
$\begin{cases}y=-x+n \\ y=\frac{1}{2}x -1 \end{cases}$
令两个式子的y相等，得$-x+n=\frac{1}{2}x -1$，
移项整理得：$\frac{3}{2}x = n+1$，解得$x=\frac{2(n+1)}{3}$。
因为交点在线段AB上，线段AB上点的横坐标范围为$0≤x≤4$，因此：
$0≤\frac{2(n+1)}{3}≤4$，
不等式三边同时乘3得：$0≤2(n+1)≤12$，
三边同时除以2得：$0≤n+1≤6$，
解得：$-1≤n≤5$。
【答案】
(1) $m=-1$，$B(0,-1)$，函数图象如图所示。
(2) $-1≤n≤5$
【知识点】
待定系数法求一次函数解析式；一次函数交点问题；解一元一次不等式
【点评】
本题是一次函数的基础应用题型，既考查了一次函数解析式求解、图象绘制的基础能力，也考查了结合线段范围求参数取值的分析能力，解题的核心是掌握点与函数解析式的关系，以及交点的坐标特征。
【难度系数】
0.7
(1) 已知点在一次函数图象上时，点的坐标满足函数解析式，因此将点A(4,1)代入$y=\frac{1}{2}x+m$即可得到关于m的方程，解出m后得到完整的函数解析式；求y轴交点B的坐标时，利用y轴上点的横坐标为0的性质，将x=0代入解析式计算y值即可得到B点坐标；画一次函数图象只需连接两个已知点A、B即可。
(2) 两个一次函数图象的交点坐标满足两个函数的解析式，因此联立两个函数解析式可求出交点的横坐标（用n表示）；由于交点在线段AB上，线段AB上所有点的横坐标的取值范围是$0≤x≤4$，将用n表示的x代入这个范围，解不等式即可得到n的取值范围。
【解析】
(1) 把点$A(4,1)$代入一次函数$y=\frac{1}{2}x+m$得：
$1=\frac{1}{2}×4 + m$，
计算得$1=2+m$，解得$m=-1$。
则一次函数解析式为$y=\frac{1}{2}x -1$，
求与y轴交点B时，令$x=0$，代入解析式得$y=\frac{1}{2}×0 -1 = -1$，
因此点B的坐标为$(0,-1)$，连接点A、B即可得到该函数的图象。
(2) 联立两个一次函数的解析式：
$\begin{cases}y=-x+n \\ y=\frac{1}{2}x -1 \end{cases}$
令两个式子的y相等，得$-x+n=\frac{1}{2}x -1$，
移项整理得：$\frac{3}{2}x = n+1$，解得$x=\frac{2(n+1)}{3}$。
因为交点在线段AB上，线段AB上点的横坐标范围为$0≤x≤4$，因此：
$0≤\frac{2(n+1)}{3}≤4$，
不等式三边同时乘3得：$0≤2(n+1)≤12$，
三边同时除以2得：$0≤n+1≤6$，
解得：$-1≤n≤5$。
【答案】
(1) $m=-1$，$B(0,-1)$，函数图象如图所示
。(2) $-1≤n≤5$
【知识点】
待定系数法求一次函数解析式；一次函数交点问题；解一元一次不等式
【点评】
本题是一次函数的基础应用题型，既考查了一次函数解析式求解、图象绘制的基础能力，也考查了结合线段范围求参数取值的分析能力，解题的核心是掌握点与函数解析式的关系，以及交点的坐标特征。
【难度系数】
0.7
变式3:请根据"原题3"的条件和结论进行解答:如果一次函数$y=kx-4$的图象与线段AB有交点,求k的取值范围。
答案
$k≥\frac{5}{4}$
解析
【分析】
解题思路如下：首先观察一次函数解析式$y=kx-4$，当$x=0$时，$y=-4$，这个结果与$k$的取值无关，因此该一次函数的图象始终经过定点$(0,-4)$。接下来要让直线和线段AB有交点，只需先找到直线刚好经过线段AB端点的临界情况，代入端点坐标算出对应的临界$k$值，再结合一次函数的增减性判断$k$的取值范围即可。
【解析】
解：$\because$在一次函数$y=kx-4$中，当$x=0$时，$y=-4$，
$\therefore$该一次函数的图象恒过定点$P(0,-4)$。
当直线$y=kx-4$经过线段AB的端点$(4,1)$时，为直线与线段AB有交点的临界情况，
将点$(4,1)$代入$y=kx-4$得：
$4k-4=1$
解得：$k=\frac{5}{4}$
$\because$当$k＞0$时，一次函数$y=kx-4$中$y$随$x$的增大而增大，$k$越大，直线上升越快，
$\therefore$当$k≥\frac{5}{4}$时，直线$y=kx-4$与线段AB有交点。
【答案】
$k≥\frac{5}{4}$
【知识点】
一次函数的图象性质；待定系数法；解一元一次不等式
【点评】
本题是一次函数参数取值范围的典型题型，解题突破口是先找到一次函数恒过的定点，再结合临界交点求出参数的临界值，最后结合函数增减性确定取值范围，能有效考察学生对一次函数性质的灵活运用能力。
【难度系数】
0.6
解题思路如下：首先观察一次函数解析式$y=kx-4$，当$x=0$时，$y=-4$，这个结果与$k$的取值无关，因此该一次函数的图象始终经过定点$(0,-4)$。接下来要让直线和线段AB有交点，只需先找到直线刚好经过线段AB端点的临界情况，代入端点坐标算出对应的临界$k$值，再结合一次函数的增减性判断$k$的取值范围即可。
【解析】
解：$\because$在一次函数$y=kx-4$中，当$x=0$时，$y=-4$，
$\therefore$该一次函数的图象恒过定点$P(0,-4)$。
当直线$y=kx-4$经过线段AB的端点$(4,1)$时，为直线与线段AB有交点的临界情况，
将点$(4,1)$代入$y=kx-4$得：
$4k-4=1$
解得：$k=\frac{5}{4}$
$\because$当$k＞0$时，一次函数$y=kx-4$中$y$随$x$的增大而增大，$k$越大，直线上升越快，
$\therefore$当$k≥\frac{5}{4}$时，直线$y=kx-4$与线段AB有交点。
【答案】
$k≥\frac{5}{4}$
【知识点】
一次函数的图象性质；待定系数法；解一元一次不等式
【点评】
本题是一次函数参数取值范围的典型题型，解题突破口是先找到一次函数恒过的定点，再结合临界交点求出参数的临界值，最后结合函数增减性确定取值范围，能有效考察学生对一次函数性质的灵活运用能力。
【难度系数】
0.6
原题 4: 如图, $Rt △ ABC$ 中, $AB = 6$, $AC=8$, 动点 $M,N$ 分别以每秒 3 个单位长度、4 个单位长度的速度同时从点 $A$ 出发, 点 $M$ 沿折线 $A \to B \to C$ 方向运动, 点 $N$ 沿折线 $A \to C \to B$ 方向运动, 点 $M$ 到达点 $B$ 后, 点 $M,N$ 的运动速度均变为每秒 1 个单位长度运动, 当两点相遇时停止运动, 设运动时间为 $t$ 秒, 点 $M,N$ 的距离为 $y$。
(1)请直接写出 $y$ 关于 $t$ 的函数表达式并直接写出自变量 $t$ 的取值范围。
(2)在给定的平面直角坐标系中画出函数的图象,并写出函数的一条性质。
【解析】(1)由勾股定理可求 $BC$ 的长,分两种情况讨论,由勾股定理和线段和差关系可求解。(2)根据函数关系式画出函数图象即可。
变式 4: 在“原题 4”的基础上,当 $M,N$ 两点相距 6 个单位长度时,直接写出 $t$ 的值。
(1)请直接写出 $y$ 关于 $t$ 的函数表达式并直接写出自变量 $t$ 的取值范围。
(2)在给定的平面直角坐标系中画出函数的图象,并写出函数的一条性质。
【解析】(1)由勾股定理可求 $BC$ 的长,分两种情况讨论,由勾股定理和线段和差关系可求解。(2)根据函数关系式画出函数图象即可。
变式 4: 在“原题 4”的基础上,当 $M,N$ 两点相距 6 个单位长度时,直接写出 $t$ 的值。
答案
(1)由勾股定理得 $BC=\sqrt{AB^2+AC^2}=10$；当 $M,N$ 分别运动到点 $B,C$ 时，运动时间为 $6÷3=2$(秒)；当点 $M,N$ 在边 $BC$ 上相遇时，$2(t-2)=10$，解得 $t=7$；①当 $0≤ t≤2$ 时，点 $M,N$ 分别在边 $AB,AC$ 上，此时 $AM=3t,AN=4t$，由勾股定理得 $y=MN=\sqrt{AM^2+AN^2}=5t$。②当 $2＜t≤7$ 时，$M,N$ 两点在边 $BC$ 上，此时 $BM=t-2$，$CN=t-2$，由于 $BM+CN+MN=BC$，则 $y=MN=10-(t-2)-(t-2)=14-2t$；综上，所得函数关系式为 $y=\begin{cases}5t(0≤ t≤2),\\14-2t(2＜t≤7)\end{cases}$。
(2)函数图象如下
。当 $0≤ t≤2$ 时，函数值随自变量的增大而增大(答案不唯一)。变式4：当 $0≤ t≤2$ 时，$5t=6$，得 $t=\frac{6}{5}$；当 $2＜t≤7$ 时，$14-2t=6$，得 $t=4$；故当 $M,N$ 两点相距 6 个单位长度时，$t$ 的值为 $\frac{6}{5}$ 或 $4$。
解析
【分析】
解决本题首先要先确定Rt△ABC的边长，再根据动点M、N的运动过程划分运动阶段：①0到2秒时，M在AB上、N在AC上，此时△AMN是直角三角形，可利用勾股定理表示MN的长度；②2秒到7秒时，M、N都在BC上运动直到相遇，可根据线段和差关系表示MN的长度，分两段求出y关于t的函数解析式。画函数图象时，根据两段函数的端点坐标描点连线即可，函数性质可从增减性、最值等角度描述。变式题只需在两个分段区间内分别令y=6，解方程即可得到对应的t值。
【解析】
(1) 在$Rt△ ABC$中，由勾股定理得：
$BC=\sqrt{AB^2+AC^2}=\sqrt{6^2+8^2}=10$
点M运动到B的时间为$6÷3=2$秒，点N运动到C的时间为$8÷4=2$秒，即2秒时M、N分别到达B、C点。
设两点在BC上相遇的时间为t秒，此时两点在BC上运动的路程和为BC的长10，速度均为1单位/秒，因此$2(t-2)=10$，解得$t=7$，即运动到7秒时停止。
①当$0≤ t≤2$时，点M在AB上，点N在AC上，$AM=3t$，$AN=4t$，$∠ A=90°$，由勾股定理得：
$y=MN=\sqrt{AM^2+AN^2}=\sqrt{(3t)^2+(4t)^2}=5t$
②当$2＜t≤7$时，M、N均在BC上运动，$BM=t-2$，$CN=t-2$，由$BM+MN+CN=BC$得：
$y=MN=10-(t-2)-(t-2)=14-2t$
综上可得y关于t的函数表达式。
(2) 画图象：第一段$y=5t$取端点$(0,0)$、$(2,10)$连线，第二段$y=14-2t$取端点$(2,10)$、$(7,0)$连线，即可得到函数图象。函数性质可从增减性等角度描述。
变式4求解：分两种情况讨论：
①当$0≤ t≤2$时，令$5t=6$，解得$t=\frac{6}{5}$；
②当$2＜t≤7$时，令$14-2t=6$，解得$t=4$。
【答案】
(1) $y=\begin{cases}5t(0≤ t≤2)\\14-2t(2＜t≤7)\end{cases}$
(2) 函数图象如下；性质：当$0≤ t≤2$时，函数值随自变量的增大而增大（答案不唯一）。
变式4：$t$的值为$\frac{6}{5}$或$4$。
【知识点】
勾股定理，分段函数，一次函数的性质
【点评】
本题是动点问题与一次函数结合的典型题型，解题核心是根据动点的运动状态合理划分阶段，分类讨论建立函数关系，同时考察了数形结合和分类讨论的数学思想，有助于提升对动态问题的分析能力。
【难度系数】
0.7
解决本题首先要先确定Rt△ABC的边长，再根据动点M、N的运动过程划分运动阶段：①0到2秒时，M在AB上、N在AC上，此时△AMN是直角三角形，可利用勾股定理表示MN的长度；②2秒到7秒时，M、N都在BC上运动直到相遇，可根据线段和差关系表示MN的长度，分两段求出y关于t的函数解析式。画函数图象时，根据两段函数的端点坐标描点连线即可，函数性质可从增减性、最值等角度描述。变式题只需在两个分段区间内分别令y=6，解方程即可得到对应的t值。
【解析】
(1) 在$Rt△ ABC$中，由勾股定理得：
$BC=\sqrt{AB^2+AC^2}=\sqrt{6^2+8^2}=10$
点M运动到B的时间为$6÷3=2$秒，点N运动到C的时间为$8÷4=2$秒，即2秒时M、N分别到达B、C点。
设两点在BC上相遇的时间为t秒，此时两点在BC上运动的路程和为BC的长10，速度均为1单位/秒，因此$2(t-2)=10$，解得$t=7$，即运动到7秒时停止。
①当$0≤ t≤2$时，点M在AB上，点N在AC上，$AM=3t$，$AN=4t$，$∠ A=90°$，由勾股定理得：
$y=MN=\sqrt{AM^2+AN^2}=\sqrt{(3t)^2+(4t)^2}=5t$
②当$2＜t≤7$时，M、N均在BC上运动，$BM=t-2$，$CN=t-2$，由$BM+MN+CN=BC$得：
$y=MN=10-(t-2)-(t-2)=14-2t$
综上可得y关于t的函数表达式。
(2) 画图象：第一段$y=5t$取端点$(0,0)$、$(2,10)$连线，第二段$y=14-2t$取端点$(2,10)$、$(7,0)$连线，即可得到函数图象。函数性质可从增减性等角度描述。
变式4求解：分两种情况讨论：
①当$0≤ t≤2$时，令$5t=6$，解得$t=\frac{6}{5}$；
②当$2＜t≤7$时，令$14-2t=6$，解得$t=4$。
【答案】
(1) $y=\begin{cases}5t(0≤ t≤2)\\14-2t(2＜t≤7)\end{cases}$
(2) 函数图象如下
；性质：当$0≤ t≤2$时，函数值随自变量的增大而增大（答案不唯一）。变式4：$t$的值为$\frac{6}{5}$或$4$。
【知识点】
勾股定理，分段函数，一次函数的性质
【点评】
本题是动点问题与一次函数结合的典型题型，解题核心是根据动点的运动状态合理划分阶段，分类讨论建立函数关系，同时考察了数形结合和分类讨论的数学思想，有助于提升对动态问题的分析能力。
【难度系数】
0.7
