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11. 试用三角形三边的关系说明$AB+AC＞PC+BP$，完成下面填空.
如图13.2-5，由三角形两边的和大于第三边得，
$AB+AD＞\_\_\_\_\_\_$，
$PD+CD＞\_\_\_\_\_\_$.
将不等式左右两边分别相加，
得$AB+AD+PD+CD＞\_\_\_\_\_\_$，
得$AB+AC+PD＞\_\_\_\_\_\_$，
得$AB+AC＞PC+BP$.
如图13.2-5，由三角形两边的和大于第三边得，
$AB+AD＞\_\_\_\_\_\_$，
$PD+CD＞\_\_\_\_\_\_$.
将不等式左右两边分别相加，
得$AB+AD+PD+CD＞\_\_\_\_\_\_$，
得$AB+AC+PD＞\_\_\_\_\_\_$，
得$AB+AC＞PC+BP$.
答案
11. BD PC BD+PC BP+PD+PC
解析
【分析】
要证明$AB+AC＞PC+BP$，我们可以利用三角形三边关系“两边之和大于第三边”，先拆分出两个包含对应线段的小三角形：首先观察$△ ABD$，可得到三边的不等关系；再观察$△ PDC$，得到另一组三边不等关系。将两个不等式左右分别相加后，结合线段的和差关系（$AD+CD=AC$、$BD=BP+PD$）对不等式进行化简，消去公共线段$PD$后即可得到要证明的结论。
【解析】
根据三角形两边之和大于第三边：
1. 在$△ ABD$中，$AB+AD＞BD$，故第一个空填$BD$；
2. 在$△ PDC$中，$PD+CD＞PC$，故第二个空填$PC$；
3. 将上述两个不等式左右两边分别相加，可得$AB+AD+PD+CD＞BD+PC$，故第三个空填$BD+PC$；
4. 由于$AD+CD=AC$，$BD=BP+PD$，代入上式可得$AB+AC+PD＞BP+PD+PC$，故第四个空填$BP+PD+PC$；
最后两边同时减去$PD$，即可得到$AB+AC＞PC+BP$。
【答案】
$BD$；$PC$；$BD+PC$；$BP+PD+PC$
【知识点】
三角形三边关系；不等式的性质；线段和差计算
【点评】
本题是基础的几何推导填空题，核心考查三角形三边关系的应用，解题的关键是找准对应三角形列不等关系，再通过线段和差转换与不等式变形推导结论，能有效锻炼几何逻辑推导能力。
【难度系数】
0.8
要证明$AB+AC＞PC+BP$，我们可以利用三角形三边关系“两边之和大于第三边”，先拆分出两个包含对应线段的小三角形：首先观察$△ ABD$，可得到三边的不等关系；再观察$△ PDC$，得到另一组三边不等关系。将两个不等式左右分别相加后，结合线段的和差关系（$AD+CD=AC$、$BD=BP+PD$）对不等式进行化简，消去公共线段$PD$后即可得到要证明的结论。
【解析】
根据三角形两边之和大于第三边：
1. 在$△ ABD$中，$AB+AD＞BD$，故第一个空填$BD$；
2. 在$△ PDC$中，$PD+CD＞PC$，故第二个空填$PC$；
3. 将上述两个不等式左右两边分别相加，可得$AB+AD+PD+CD＞BD+PC$，故第三个空填$BD+PC$；
4. 由于$AD+CD=AC$，$BD=BP+PD$，代入上式可得$AB+AC+PD＞BP+PD+PC$，故第四个空填$BP+PD+PC$；
最后两边同时减去$PD$，即可得到$AB+AC＞PC+BP$。
【答案】
$BD$；$PC$；$BD+PC$；$BP+PD+PC$
【知识点】
三角形三边关系；不等式的性质；线段和差计算
【点评】
本题是基础的几何推导填空题，核心考查三角形三边关系的应用，解题的关键是找准对应三角形列不等关系，再通过线段和差转换与不等式变形推导结论，能有效锻炼几何逻辑推导能力。
【难度系数】
0.8
12. 某工厂要制作两边长分别为2 m和4 m，第三边长为奇数的三角形框架.
（1）设计小组可以设计几种不同规格的三角形框架，为什么？
（2）设计小组成员到建材市场收集数据如下：
根据市场能购买到的铁条规格制作满足上述条件的三角形框架各一个（铁条可以切割，但不能拼接），求最少费用.
（1）设计小组可以设计几种不同规格的三角形框架，为什么？
（2）设计小组成员到建材市场收集数据如下：
根据市场能购买到的铁条规格制作满足上述条件的三角形框架各一个（铁条可以切割，但不能拼接），求最少费用.
答案
12. 解：(1) 可以设计2种不同规格的三角形框架. 理由如下：
设第三边长为x m，
则4−2＜x＜2+4，即2＜x＜6.
又第三边长为奇数，
所以第三边长为3 m或5 m.
故可以设计2种不同规格的三角形框架，三角形框架的边长分别为2 m，3 m，4 m或2 m，5 m，4 m.
(2) 由表格可得，1根4 m长的铁条比2根2 m长的铁条的价格低.
∵铁条可以切割，但不能拼接，
∴应尽可能多的使用4 m长的铁条，才能使费用最少，
由(1)知2种三角形框架的边长分别为2 m，3 m，4 m和2 m，5 m，4 m，各做一个，
∴可以购买4 m长的铁条3根，3 m和5 m长的铁条各一根，费用最少，
最少费用为10×3+8+15=53（元）.
答：购买铁条最少需要53元.
设第三边长为x m，
则4−2＜x＜2+4，即2＜x＜6.
又第三边长为奇数，
所以第三边长为3 m或5 m.
故可以设计2种不同规格的三角形框架，三角形框架的边长分别为2 m，3 m，4 m或2 m，5 m，4 m.
(2) 由表格可得，1根4 m长的铁条比2根2 m长的铁条的价格低.
∵铁条可以切割，但不能拼接，
∴应尽可能多的使用4 m长的铁条，才能使费用最少，
由(1)知2种三角形框架的边长分别为2 m，3 m，4 m和2 m，5 m，4 m，各做一个，
∴可以购买4 m长的铁条3根，3 m和5 m长的铁条各一根，费用最少，
最少费用为10×3+8+15=53（元）.
答：购买铁条最少需要53元.
解析
【分析】
（1）要确定三角形框架的规格，首先利用三角形三边关系求出第三边的取值范围，再结合第三边为奇数的条件筛选出符合要求的边长，即可得到不同规格的数量。
（2）先明确制作两个三角形需要的所有边长，再对比不同规格铁条的单价，发现4m铁条的单位长度成本更低，结合铁条可切割不可拼接的规则，优先选择性价比高的铁条设计购买方案，最终计算出最少费用。
【解析】
(1) 设第三边长为$x$ m，
根据三角形三边关系：两边之差$＜$第三边$＜$两边之和，可得：
$4-2 ＜ x ＜ 2+4$，即$2 ＜ x ＜ 6$，
因为第三边长为奇数，所以$x$可取3或5，
因此可以设计2种不同规格的三角形框架，对应三边长分别为2m、3m、4m和2m、4m、5m。
(2) 对比单价可知：1根4m长的铁条售价10元，比2根2m长的铁条总价$6×2=12$元更便宜，因此优先选择4m长的铁条降低成本。
要制作两种框架各一个，所需边长为2m、3m、4m和2m、4m、5m，最优购买方案为：购买3根4m长的铁条（2根直接用作4m边，1根切割为2根2m边），再购买3m、5m长的铁条各1根，
总费用为：$10×3 + 8 + 15 = 53$（元）。
【答案】
(1) 2种，三边长分别为2m、3m、4m和2m、4m、5m，理由见解析；
(2) 最少费用为53元。
【知识点】
三角形三边关系，最优方案设计，有理数混合运算
【点评】
本题结合几何基础知识点和生活中的费用优化场景，既考查了基础概念的掌握情况，也锻炼了结合实际规则分析问题、解决问题的能力。
【难度系数】
0.7
（1）要确定三角形框架的规格，首先利用三角形三边关系求出第三边的取值范围，再结合第三边为奇数的条件筛选出符合要求的边长，即可得到不同规格的数量。
（2）先明确制作两个三角形需要的所有边长，再对比不同规格铁条的单价，发现4m铁条的单位长度成本更低，结合铁条可切割不可拼接的规则，优先选择性价比高的铁条设计购买方案，最终计算出最少费用。
【解析】
(1) 设第三边长为$x$ m，
根据三角形三边关系：两边之差$＜$第三边$＜$两边之和，可得：
$4-2 ＜ x ＜ 2+4$，即$2 ＜ x ＜ 6$，
因为第三边长为奇数，所以$x$可取3或5，
因此可以设计2种不同规格的三角形框架，对应三边长分别为2m、3m、4m和2m、4m、5m。
(2) 对比单价可知：1根4m长的铁条售价10元，比2根2m长的铁条总价$6×2=12$元更便宜，因此优先选择4m长的铁条降低成本。
要制作两种框架各一个，所需边长为2m、3m、4m和2m、4m、5m，最优购买方案为：购买3根4m长的铁条（2根直接用作4m边，1根切割为2根2m边），再购买3m、5m长的铁条各1根，
总费用为：$10×3 + 8 + 15 = 53$（元）。
【答案】
(1) 2种，三边长分别为2m、3m、4m和2m、4m、5m，理由见解析；
(2) 最少费用为53元。
【知识点】
三角形三边关系，最优方案设计，有理数混合运算
【点评】
本题结合几何基础知识点和生活中的费用优化场景，既考查了基础概念的掌握情况，也锻炼了结合实际规则分析问题、解决问题的能力。
【难度系数】
0.7
