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1. 将一副三角板的两个顶点重叠放在一起(两个三角板中的锐角分别为$45°$、$45°$和$30°$、$60°$).
（1）如图1，在此种情形下，当$∠ DAC=4∠ BAD$时，求$∠ CAE$的度数；
（2）如图2，在此种情形下，当$∠ ACE=3∠ BCD$时，求$∠ ACD$的度数.
（1）如图1，在此种情形下，当$∠ DAC=4∠ BAD$时，求$∠ CAE$的度数；
（2）如图2，在此种情形下，当$∠ ACE=3∠ BCD$时，求$∠ ACD$的度数.
答案
1. (1) $\because∠ BAD+∠ DAC=90°$,$∠ DAC=4∠ BAD$,$\therefore5∠ BAD=90°$,即$∠ BAD=18°$,$\therefore∠ DAC=4×18°=72°$,
$\because∠ DAE=90°$,$\therefore∠ CAE=∠ DAE-∠ DAC=18°$.
(2) $\because∠ BCE=∠ DCE-∠ BCD=60°-∠ BCD$,且$∠ ACE=3∠ BCD$,$∠ ACB=90°$,$\therefore3∠ BCD+60°-∠ BCD=90°$,解得$∠ BCD=15°$,$\therefore∠ ACD=∠ ACB+∠ BCD=90°+15°=105°$.
$\because∠ DAE=90°$,$\therefore∠ CAE=∠ DAE-∠ DAC=18°$.
(2) $\because∠ BCE=∠ DCE-∠ BCD=60°-∠ BCD$,且$∠ ACE=3∠ BCD$,$∠ ACB=90°$,$\therefore3∠ BCD+60°-∠ BCD=90°$,解得$∠ BCD=15°$,$\therefore∠ ACD=∠ ACB+∠ BCD=90°+15°=105°$.
解析
【分析】
（1）首先明确三角板的$∠ BAC=90°$，即$∠ BAD + ∠ DAC = 90°$，结合已知$∠ DAC=4∠ BAD$，可先求出$∠ DAC$的度数；再由三角板的$∠ DAE=90°$，利用角的差的关系$∠ CAE=∠ DAE - ∠ DAC$，即可求出$∠ CAE$的度数。
（2）首先明确三角板的$∠ ACB=90°$、$∠ DCE=60°$，可得$∠ BCE = ∠ DCE - ∠ BCD$；再结合$∠ ACE + ∠ BCE = ∠ ACB=90°$，以及已知$∠ ACE=3∠ BCD$，代入列方程求出$∠ BCD$的度数，最后利用$∠ ACD = ∠ ACB + ∠ BCD$即可求出结果。
【解析】
（1）$\because ∠ BAD + ∠ DAC = ∠ BAC = 90°$，且$∠ DAC = 4∠ BAD$，
$\therefore ∠ BAD + 4∠ BAD = 90°$，即$5∠ BAD = 90°$，
解得$∠ BAD = 18°$，
$\therefore ∠ DAC = 4×18° = 72°$，
又$\because ∠ DAE = 90°$，
$\therefore ∠ CAE = ∠ DAE - ∠ DAC = 90° - 72° = 18°$。
（2）$\because ∠ DCE = 60°$，
$\therefore ∠ BCE = ∠ DCE - ∠ BCD = 60° - ∠ BCD$，
$\because ∠ ACB = 90°$，且$∠ ACE + ∠ BCE = ∠ ACB$，
又已知$∠ ACE = 3∠ BCD$，代入得：
$3∠ BCD + (60° - ∠ BCD) = 90°$，
化简得$2∠ BCD = 30°$，解得$∠ BCD = 15°$，
$\therefore ∠ ACD = ∠ ACB + ∠ BCD = 90° + 15° = 105°$。
【答案】
（1）$\boldsymbol{18°}$；（2）$\boldsymbol{105°}$
【知识点】
角的和差计算，三角板角度特征，方程求角度
【点评】
本题结合三角板的固定角度考查角度的运算，解题的核心是准确识别图形中角之间的和差关系，结合已知的角度倍数关系，通过列简易方程即可求解，是角度计算类的典型基础题型。
【难度系数】
0.7
（1）首先明确三角板的$∠ BAC=90°$，即$∠ BAD + ∠ DAC = 90°$，结合已知$∠ DAC=4∠ BAD$，可先求出$∠ DAC$的度数；再由三角板的$∠ DAE=90°$，利用角的差的关系$∠ CAE=∠ DAE - ∠ DAC$，即可求出$∠ CAE$的度数。
（2）首先明确三角板的$∠ ACB=90°$、$∠ DCE=60°$，可得$∠ BCE = ∠ DCE - ∠ BCD$；再结合$∠ ACE + ∠ BCE = ∠ ACB=90°$，以及已知$∠ ACE=3∠ BCD$，代入列方程求出$∠ BCD$的度数，最后利用$∠ ACD = ∠ ACB + ∠ BCD$即可求出结果。
【解析】
（1）$\because ∠ BAD + ∠ DAC = ∠ BAC = 90°$，且$∠ DAC = 4∠ BAD$，
$\therefore ∠ BAD + 4∠ BAD = 90°$，即$5∠ BAD = 90°$，
解得$∠ BAD = 18°$，
$\therefore ∠ DAC = 4×18° = 72°$，
又$\because ∠ DAE = 90°$，
$\therefore ∠ CAE = ∠ DAE - ∠ DAC = 90° - 72° = 18°$。
（2）$\because ∠ DCE = 60°$，
$\therefore ∠ BCE = ∠ DCE - ∠ BCD = 60° - ∠ BCD$，
$\because ∠ ACB = 90°$，且$∠ ACE + ∠ BCE = ∠ ACB$，
又已知$∠ ACE = 3∠ BCD$，代入得：
$3∠ BCD + (60° - ∠ BCD) = 90°$，
化简得$2∠ BCD = 30°$，解得$∠ BCD = 15°$，
$\therefore ∠ ACD = ∠ ACB + ∠ BCD = 90° + 15° = 105°$。
【答案】
（1）$\boldsymbol{18°}$；（2）$\boldsymbol{105°}$
【知识点】
角的和差计算，三角板角度特征，方程求角度
【点评】
本题结合三角板的固定角度考查角度的运算，解题的核心是准确识别图形中角之间的和差关系，结合已知的角度倍数关系，通过列简易方程即可求解，是角度计算类的典型基础题型。
【难度系数】
0.7
2. 已知$∠ AOB=120°$，射线OC在$∠ AOB$的内部，且$∠ AOC=80°$，若存在$∠ COD=3∠ BOC$，求$∠ AOD$的度数。
答案
2. $\because∠ AOB=120°$,$∠ AOC=80°$,$\therefore∠ BOC=40°$,$\therefore∠ COD=3∠ BOC=120°$.
OD在OC的逆时针方向,$\therefore∠ AOD=∠ COD-∠ AOC=40°$; 
OD在OC的顺时针方向,$\therefore∠ AOD=360°-∠ COD-∠ AOC=160°$. 综上所述,$∠ AOD$的度数为$40°$或$160°$.解析
【分析】
首先梳理已知条件，先根据∠AOB和∠AOC的度数求出∠BOC的大小，再结合∠COD与∠BOC的数量关系算出∠COD的度数。由于题目没有明确OD的位置，OD可能在OC的两侧，因此需要分两种情况讨论：第一种是OD在OC的逆时针方向，第二种是OD在OC的顺时针方向，分别结合角的和差规则计算∠AOD的度数即可。
【解析】
先计算∠BOC的度数：
$\because ∠ AOB=120°$，$∠ AOC=80°$，
$\therefore ∠ BOC=∠ AOB-∠ AOC=120°-80°=40°$，
又$\because ∠ COD=3∠ BOC$，
$\therefore ∠ COD=3×40°=120°$。
分两种情况讨论：
当OD在OC的逆时针方向时：
$∠ AOD=∠ COD-∠ AOC=120°-80°=40°$；
当OD在OC的顺时针方向时：
$∠ AOD=360°-∠ COD-∠ AOC=360°-120°-80°=160°$。
综上所述，$∠ AOD$的度数为$40°$或$160°$。
【答案】
$∠ AOD$的度数为$40°$或$160°$
【知识点】
角的和差计算，分类讨论思想，周角的定义
【点评】
本题的易错点是忽略OD位置的不确定性，只计算一种情况导致漏解，在求解无明确位置说明的角度问题时，要全面分析所有可能的位置情况，结合角的和差规则准确计算。
【难度系数】
0.6
首先梳理已知条件，先根据∠AOB和∠AOC的度数求出∠BOC的大小，再结合∠COD与∠BOC的数量关系算出∠COD的度数。由于题目没有明确OD的位置，OD可能在OC的两侧，因此需要分两种情况讨论：第一种是OD在OC的逆时针方向，第二种是OD在OC的顺时针方向，分别结合角的和差规则计算∠AOD的度数即可。
【解析】
先计算∠BOC的度数：
$\because ∠ AOB=120°$，$∠ AOC=80°$，
$\therefore ∠ BOC=∠ AOB-∠ AOC=120°-80°=40°$，
又$\because ∠ COD=3∠ BOC$，
$\therefore ∠ COD=3×40°=120°$。
分两种情况讨论：
当OD在OC的逆时针方向时：$∠ AOD=∠ COD-∠ AOC=120°-80°=40°$；
当OD在OC的顺时针方向时：$∠ AOD=360°-∠ COD-∠ AOC=360°-120°-80°=160°$。
综上所述，$∠ AOD$的度数为$40°$或$160°$。
【答案】
$∠ AOD$的度数为$40°$或$160°$
【知识点】
角的和差计算，分类讨论思想，周角的定义
【点评】
本题的易错点是忽略OD位置的不确定性，只计算一种情况导致漏解，在求解无明确位置说明的角度问题时，要全面分析所有可能的位置情况，结合角的和差规则准确计算。
【难度系数】
0.6
3. 如图
，已知∠AOB＝60°,OM平分∠AOB.
(1) ∠BOM＝
(2) 若在图中画射线OC，使得∠BOC＝20°,ON平分∠BOC，求∠MON的度数；
(3) 如图
，若线段OA与OB分别为同一钟表上某一时刻的时针与分针，∠AOB＝60°,在时针与分针转动过程中，OM始终平分∠AOB.经过多少分钟后，∠BOM的度数第一次等于50°？
，已知∠AOB＝60°,OM平分∠AOB.(1) ∠BOM＝
30°
；(2) 若在图中画射线OC，使得∠BOC＝20°,ON平分∠BOC，求∠MON的度数；
(3) 如图
，若线段OA与OB分别为同一钟表上某一时刻的时针与分针，∠AOB＝60°,在时针与分针转动过程中，OM始终平分∠AOB.经过多少分钟后，∠BOM的度数第一次等于50°？答案
3. (1) $30°$
(2) $∠ MON$的度数为$20°$或$40°$.
(3) 设经过$t$ min,$∠ BOM$的度数第一次等于$50°$.$\because∠ BOM=50°$,$OM$平分$∠ AOB$,$\therefore∠ AOB=100°$,$\therefore6t-0.5t=100-60$,解得$t=\frac{80}{11}$,$\therefore$经过$\frac{80}{11}$ min,$∠ BOM$的度数第一次等于$50°$.
(2) $∠ MON$的度数为$20°$或$40°$.
(3) 设经过$t$ min,$∠ BOM$的度数第一次等于$50°$.$\because∠ BOM=50°$,$OM$平分$∠ AOB$,$\therefore∠ AOB=100°$,$\therefore6t-0.5t=100-60$,解得$t=\frac{80}{11}$,$\therefore$经过$\frac{80}{11}$ min,$∠ BOM$的度数第一次等于$50°$.
解析
【分析】
(1) 已知OM是∠AOB的角平分线，结合∠AOB的度数，根据角平分线将原角分成两个相等的小角的性质，直接计算∠BOM即可。
(2) 题目未明确射线OC的位置，需分两种情况讨论：①OC在∠AOB内部；②OC在∠AOB外部。先根据角平分线定义求出∠BON的度数，再结合角的和差关系分别计算两种情况下∠MON的度数。
(3) 首先明确钟表中分针每分钟转6°，时针每分钟转0.5°。由OM平分∠AOB、∠BOM=50°可推出此时∠AOB=100°，初始∠AOB为60°，说明分针比时针多转动了(100-60)°，根据速度差列方程求解即可。
【解析】
(1)
∵OM平分∠AOB，∠AOB=60°，
∴$∠ BOM=\frac{1}{2}∠ AOB=\frac{1}{2}×60°=30°$。
(2)
∵ON平分∠BOC，∠BOC=20°，
∴$∠ BON=\frac{1}{2}∠ BOC=\frac{1}{2}×20°=10°$，
分两种情况讨论：
①当射线OC在∠AOB内部时，
$∠ MON=∠ BOM-∠ BON=30°-10°=20°$；
②当射线OC在∠AOB外部时，
$∠ MON=∠ BOM+∠ BON=30°+10°=40°$。
综上，∠MON的度数为20°或40°。
(3) 设经过$t$ min后，∠BOM的度数第一次等于50°。
钟表中，分针每分钟转动角度：$360°÷60=6°$，时针每分钟转动角度：$360°÷(12×60)=0.5°$。
∵OM平分∠AOB，∠BOM=50°，
∴此时$∠ AOB=2∠ BOM=100°$，
初始∠AOB=60°，说明分针比时针多转动了$100°-60°=40°$，
列方程得：$6t-0.5t=40$，
解得$t=\frac{80}{11}$。
【答案】
(1) $30°$；(2) $20°$或$40°$；(3) $\frac{80}{11}$ min
【知识点】
角平分线的定义，角的和差运算，钟表角度计算
【点评】
本题围绕角的运算展开，既考查了基础的角平分线性质和角的和差计算，也设置了分类讨论场景和实际应用题型，解题时注意不要漏解，同时要熟练掌握钟表中时针、分针的转动速度规律。
【难度系数】
0.65
(1) 已知OM是∠AOB的角平分线，结合∠AOB的度数，根据角平分线将原角分成两个相等的小角的性质，直接计算∠BOM即可。
(2) 题目未明确射线OC的位置，需分两种情况讨论：①OC在∠AOB内部；②OC在∠AOB外部。先根据角平分线定义求出∠BON的度数，再结合角的和差关系分别计算两种情况下∠MON的度数。
(3) 首先明确钟表中分针每分钟转6°，时针每分钟转0.5°。由OM平分∠AOB、∠BOM=50°可推出此时∠AOB=100°，初始∠AOB为60°，说明分针比时针多转动了(100-60)°，根据速度差列方程求解即可。
【解析】
(1)
∵OM平分∠AOB，∠AOB=60°，
∴$∠ BOM=\frac{1}{2}∠ AOB=\frac{1}{2}×60°=30°$。
(2)
∵ON平分∠BOC，∠BOC=20°，
∴$∠ BON=\frac{1}{2}∠ BOC=\frac{1}{2}×20°=10°$，
分两种情况讨论：
①当射线OC在∠AOB内部时，
$∠ MON=∠ BOM-∠ BON=30°-10°=20°$；
②当射线OC在∠AOB外部时，
$∠ MON=∠ BOM+∠ BON=30°+10°=40°$。
综上，∠MON的度数为20°或40°。
(3) 设经过$t$ min后，∠BOM的度数第一次等于50°。
钟表中，分针每分钟转动角度：$360°÷60=6°$，时针每分钟转动角度：$360°÷(12×60)=0.5°$。
∵OM平分∠AOB，∠BOM=50°，
∴此时$∠ AOB=2∠ BOM=100°$，
初始∠AOB=60°，说明分针比时针多转动了$100°-60°=40°$，
列方程得：$6t-0.5t=40$，
解得$t=\frac{80}{11}$。
【答案】
(1) $30°$；(2) $20°$或$40°$；(3) $\frac{80}{11}$ min
【知识点】
角平分线的定义，角的和差运算，钟表角度计算
【点评】
本题围绕角的运算展开，既考查了基础的角平分线性质和角的和差计算，也设置了分类讨论场景和实际应用题型，解题时注意不要漏解，同时要熟练掌握钟表中时针、分针的转动速度规律。
【难度系数】
0.65
