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7. 如图,若∠DAE=∠BAC,则∠
DAB
=∠CAE
.答案
7. DAB CAE
解析
【分析】
解题时先观察已知相等的两个角∠DAE和∠BAC的组成，发现两个角都包含公共部分∠BAE，根据等式的基本性质，相等的两个角同时减去同一个角，所得的差仍然相等，因此将两个等角同时减去公共角∠BAE，即可得到一组相等的角。
【解析】
已知$∠ DAE = ∠ BAC$，
根据等式的性质，等式两边同时减去同一个角$∠ BAE$，等式仍然成立，
即$∠ DAE - ∠ BAE = ∠ BAC - ∠ BAE$，
所以$∠ DAB = ∠ CAE$。
【答案】
DAB；CAE
【知识点】
角的和差运算；等式的基本性质
【点评】
本题是角的运算的基础题，解题关键是找到两个等角的公共部分，结合等式性质推导角的相等关系，掌握角的和差关系是解决这类问题的基础。
【难度系数】
0.8
解题时先观察已知相等的两个角∠DAE和∠BAC的组成，发现两个角都包含公共部分∠BAE，根据等式的基本性质，相等的两个角同时减去同一个角，所得的差仍然相等，因此将两个等角同时减去公共角∠BAE，即可得到一组相等的角。
【解析】
已知$∠ DAE = ∠ BAC$，
根据等式的性质，等式两边同时减去同一个角$∠ BAE$，等式仍然成立，
即$∠ DAE - ∠ BAE = ∠ BAC - ∠ BAE$，
所以$∠ DAB = ∠ CAE$。
【答案】
DAB；CAE
【知识点】
角的和差运算；等式的基本性质
【点评】
本题是角的运算的基础题，解题关键是找到两个等角的公共部分，结合等式性质推导角的相等关系，掌握角的和差关系是解决这类问题的基础。
【难度系数】
0.8
8. 如图，O是直线AB上的一点，OD，OE分别是∠AOC，∠COB的平分线，若∠AOC=46°32′，则∠COB=
133°28′
，∠COE=66°44′
，∠DOE=90°
。答案
8. $133°28'$ $66°44'$ $90°$
解析
【分析】
首先观察图形，AB是直线，因此∠AOB是平角，大小为180°，用平角减去已知的∠AOC即可得到∠COB的度数；再根据角平分线的定义，角平分线会将一个角分成两个相等的小角，所以∠COE是∠COB的一半，可直接计算得出；最后求∠DOE时，既可以先算出∠DOC的度数，再加上∠COE的度数，也可以直接推导得出∠DOE是∠AOB的一半，快速得到结果。
【解析】
1. 计算∠COB的度数：
因为O是直线AB上的点，根据平角的定义，$∠ AOB=180°$。
已知$∠ AOC=46°32'$，所以：
$∠ COB=∠ AOB-∠ AOC=180°-46°32'=179°60'-46°32'=133°28'$
2. 计算∠COE的度数：
因为OE是$∠ COB$的平分线，根据角平分线的定义，$∠ COE=\frac{1}{2}∠ COB$，代入数据得：
$∠ COE=\frac{1}{2}×133°28'=66°44'$
3. 计算∠DOE的度数：
因为OD是$∠ AOC$的平分线，所以$∠ DOC=\frac{1}{2}∠ AOC=\frac{1}{2}×46°32'=23°16'$，因此：
$∠ DOE=∠ DOC+∠ COE=23°16'+66°44'=90°$
也可直接推导：$∠ DOE=\frac{1}{2}(∠ AOC+∠ COB)=\frac{1}{2}∠ AOB=\frac{1}{2}×180°=90°$
【答案】
$133°28'$；$66°44'$；$90°$
【知识点】
平角的定义；角平分线的定义；角的和差运算
【点评】
本题是角的运算基础题，解题关键是掌握平角性质和角平分线的定义，通过本题还可总结规律：互为邻补角的两个角的角平分线互相垂直，该结论可直接用于同类题的快速求解。
【难度系数】
0.8
首先观察图形，AB是直线，因此∠AOB是平角，大小为180°，用平角减去已知的∠AOC即可得到∠COB的度数；再根据角平分线的定义，角平分线会将一个角分成两个相等的小角，所以∠COE是∠COB的一半，可直接计算得出；最后求∠DOE时，既可以先算出∠DOC的度数，再加上∠COE的度数，也可以直接推导得出∠DOE是∠AOB的一半，快速得到结果。
【解析】
1. 计算∠COB的度数：
因为O是直线AB上的点，根据平角的定义，$∠ AOB=180°$。
已知$∠ AOC=46°32'$，所以：
$∠ COB=∠ AOB-∠ AOC=180°-46°32'=179°60'-46°32'=133°28'$
2. 计算∠COE的度数：
因为OE是$∠ COB$的平分线，根据角平分线的定义，$∠ COE=\frac{1}{2}∠ COB$，代入数据得：
$∠ COE=\frac{1}{2}×133°28'=66°44'$
3. 计算∠DOE的度数：
因为OD是$∠ AOC$的平分线，所以$∠ DOC=\frac{1}{2}∠ AOC=\frac{1}{2}×46°32'=23°16'$，因此：
$∠ DOE=∠ DOC+∠ COE=23°16'+66°44'=90°$
也可直接推导：$∠ DOE=\frac{1}{2}(∠ AOC+∠ COB)=\frac{1}{2}∠ AOB=\frac{1}{2}×180°=90°$
【答案】
$133°28'$；$66°44'$；$90°$
【知识点】
平角的定义；角平分线的定义；角的和差运算
【点评】
本题是角的运算基础题，解题关键是掌握平角性质和角平分线的定义，通过本题还可总结规律：互为邻补角的两个角的角平分线互相垂直，该结论可直接用于同类题的快速求解。
【难度系数】
0.8
9. 如图，射线OC在∠AOB的内部，图中共有3个角：∠AOB，∠AOC和∠BOC，若其中有一个角的度数是另一个角度数的两倍，则称射线OC是∠AOB的“巧分线”。若∠AOB=60°，且射线OC是∠AOB的“巧分线”，则∠AOC的度数为
20°或30°或40°
。答案
9. $20°或30°或40°$
解析
【分析】
首先要准确理解“巧分线”的定义，即∠AOB、∠AOC、∠BOC三个角中，存在一个角的度数是另一个角的两倍。已知∠AOB=60°，设∠AOC的度数为x，则∠BOC=60°-x，由于题目没有明确哪两个角存在两倍关系，所以需要分类讨论所有可能的情况，分别列方程求解即可。
【解析】
设∠AOC=x，则∠BOC=60°-x，根据“巧分线”的定义，分以下三种情况讨论：
1. 当∠AOB=2∠AOC时，可得：
$60°=2x$
解得$x=30°$
2. 当∠AOC=2∠BOC时，可得：
$x=2(60°-x)$
展开得$x=120°-2x$
移项合并得$3x=120°$
解得$x=40°$
3. 当∠BOC=2∠AOC时，可得：
$60°-x=2x$
移项合并得$3x=60°$
解得$x=20°$
综上，∠AOC的度数为20°或30°或40°。
【答案】
$20°或30°或40°$
【知识点】
角的和差运算；分类讨论思想；新定义理解
【点评】
本题属于新定义类题型，解题的核心是读懂“巧分线”的含义，结合角的和差关系分情况讨论，解题时要注意考虑所有可能的倍数关系，避免漏解，能够较好地考查思维的严谨性。
【难度系数】
0.6
首先要准确理解“巧分线”的定义，即∠AOB、∠AOC、∠BOC三个角中，存在一个角的度数是另一个角的两倍。已知∠AOB=60°，设∠AOC的度数为x，则∠BOC=60°-x，由于题目没有明确哪两个角存在两倍关系，所以需要分类讨论所有可能的情况，分别列方程求解即可。
【解析】
设∠AOC=x，则∠BOC=60°-x，根据“巧分线”的定义，分以下三种情况讨论：
1. 当∠AOB=2∠AOC时，可得：
$60°=2x$
解得$x=30°$
2. 当∠AOC=2∠BOC时，可得：
$x=2(60°-x)$
展开得$x=120°-2x$
移项合并得$3x=120°$
解得$x=40°$
3. 当∠BOC=2∠AOC时，可得：
$60°-x=2x$
移项合并得$3x=60°$
解得$x=20°$
综上，∠AOC的度数为20°或30°或40°。
【答案】
$20°或30°或40°$
【知识点】
角的和差运算；分类讨论思想；新定义理解
【点评】
本题属于新定义类题型，解题的核心是读懂“巧分线”的含义，结合角的和差关系分情况讨论，解题时要注意考虑所有可能的倍数关系，避免漏解，能够较好地考查思维的严谨性。
【难度系数】
0.6
10. 如图，在$∠ AOB$的内部有3条射线$OC$，$OD$，$OE$，若$∠ AOC = 60°$，$∠ BOE = \dfrac{1}{n}∠ BOC$，$∠ BOD = \dfrac{1}{n}∠ AOB$，则$∠ DOE =$
$\frac{60°}{n}$
（用含$n$的代数式表示）。答案
10. $\frac{60°}{n}$
解析
【分析】
我们要求∠DOE的度数，首先观察图形可以发现∠DOE是∠BOD与∠BOE的差，所以先把∠DOE表示为∠BOD - ∠BOE。再把题目给出的∠BOE、∠BOD的表达式代入，提取公因式后，会发现剩余的角的差正好是已知的∠AOC，代入∠AOC的度数即可求出结果，不需要单独求其他未知角的度数，用整体代换的思路更简便。
【解析】
解：由图可知，$∠ DOE = ∠ BOD - ∠ BOE$
根据题意得：$∠ BOD = \dfrac{1}{n}∠ AOB$，$∠ BOE = \dfrac{1}{n}∠ BOC$，代入上式得：
$\begin{aligned}∠ DOE &= \dfrac{1}{n}∠ AOB - \dfrac{1}{n}∠ BOC \\&= \dfrac{1}{n}(∠ AOB - ∠ BOC)\end{aligned}$
又因为$∠ AOB - ∠ BOC = ∠ AOC = 60°$，代入得：
$∠ DOE = \dfrac{1}{n} × 60° = \dfrac{60°}{n}$
【答案】
$\dfrac{60°}{n}$
【知识点】
角的和差运算；代数式化简；整体代换思想
【点评】
本题解题的核心是找准所求角与已知角之间的和差关系，不需要求解各个未知角的具体数值，利用整体代换的方法可以快速化简得到结果，能够锻炼学生的图形观察能力和数形结合的运算能力。
【难度系数】
0.7
我们要求∠DOE的度数，首先观察图形可以发现∠DOE是∠BOD与∠BOE的差，所以先把∠DOE表示为∠BOD - ∠BOE。再把题目给出的∠BOE、∠BOD的表达式代入，提取公因式后，会发现剩余的角的差正好是已知的∠AOC，代入∠AOC的度数即可求出结果，不需要单独求其他未知角的度数，用整体代换的思路更简便。
【解析】
解：由图可知，$∠ DOE = ∠ BOD - ∠ BOE$
根据题意得：$∠ BOD = \dfrac{1}{n}∠ AOB$，$∠ BOE = \dfrac{1}{n}∠ BOC$，代入上式得：
$\begin{aligned}∠ DOE &= \dfrac{1}{n}∠ AOB - \dfrac{1}{n}∠ BOC \\&= \dfrac{1}{n}(∠ AOB - ∠ BOC)\end{aligned}$
又因为$∠ AOB - ∠ BOC = ∠ AOC = 60°$，代入得：
$∠ DOE = \dfrac{1}{n} × 60° = \dfrac{60°}{n}$
【答案】
$\dfrac{60°}{n}$
【知识点】
角的和差运算；代数式化简；整体代换思想
【点评】
本题解题的核心是找准所求角与已知角之间的和差关系，不需要求解各个未知角的具体数值，利用整体代换的方法可以快速化简得到结果，能够锻炼学生的图形观察能力和数形结合的运算能力。
【难度系数】
0.7
11. 在数学活动课上，某学习小组用三角尺拼出了如下图案.
（1）将一副三角尺的直角顶点O叠放在一起，如图
.若∠AOB＝25°,则∠BOC＝
（2）将两个同样的三角尺60°角顶点O叠放在一起，如图.试判断∠AOD与∠BOC的和是否为定值？若是，请求出这个定值；若不是，请说明理由.
（1）将一副三角尺的直角顶点O叠放在一起，如图
.若∠AOB＝25°,则∠BOC＝65°
，∠AOD＝115°
.（2）将两个同样的三角尺60°角顶点O叠放在一起，如图.试判断∠AOD与∠BOC的和是否为定值？若是，请求出这个定值；若不是，请说明理由.
答案
11. (1) $65°$ $115°$
(2) $∠ AOD$与$∠ BOC$的和是定值,理由如下:$\because∠ AOD=∠ AOC+∠ COD$,
$\therefore∠ AOD+∠ BOC=∠ AOC+∠ COD+∠ BOC=∠ AOC+∠ BOD=60°+60°=120°$.
(2) $∠ AOD$与$∠ BOC$的和是定值,理由如下:$\because∠ AOD=∠ AOC+∠ COD$,
$\therefore∠ AOD+∠ BOC=∠ AOC+∠ COD+∠ BOC=∠ AOC+∠ BOD=60°+60°=120°$.
解析
【分析】
（1）首先明确一副三角尺的直角为90°，由图1可知∠AOC和∠BOD均为90°。求∠BOC时，观察图形可得∠BOC是直角∠AOC与∠AOB的差，用90°减去已知的∠AOB度数即可；求∠AOD时，可将其看作∠AOB与直角∠BOD的和，代入数值计算即可。
（2）已知两个三角尺的60°角顶点重合，因此∠AOC和∠BOD均为60°。要判断∠AOD与∠BOC的和是否为定值，可将∠AOD拆分为∠AOC与∠COD的和，再与∠BOC相加，整理后可将角度和转化为两个已知60°角的和，即可得出结论。
【解析】
（1）由三角尺的特征得：$∠ AOC=∠ BOD=90°$
$\because ∠ AOB+∠ BOC=∠ AOC$
$\therefore ∠ BOC=90°-∠ AOB=90°-25°=65°$
$\because ∠ AOD=∠ AOB+∠ BOD$
$\therefore ∠ AOD=25°+90°=115°$
（2）$∠ AOD$与$∠ BOC$的和是定值，理由如下：
由三角尺的特征得：$∠ AOC=∠ BOD=60°$
$\because ∠ AOD=∠ AOC+∠ COD$
$\therefore ∠ AOD+∠ BOC=∠ AOC+∠ COD+∠ BOC$
又$\because ∠ COD+∠ BOC=∠ BOD$
$\therefore ∠ AOD+∠ BOC=∠ AOC+∠ BOD=60°+60°=120°$
【答案】
(1) $65°$，$115°$
(2) 是定值，定值为$120°$
【知识点】
1. 角的和差运算
2. 三角板角度特征
3. 定值问题探究
【点评】
本题是角的运算的典型基础题，解题核心是结合图形梳理清楚各角之间的和差关系，利用三角板的固定角度代入计算即可。第二问的定值问题需要掌握角的拆分技巧，将未知角度和转化为已知固定角的和即可求解。
【难度系数】
0.8
（1）首先明确一副三角尺的直角为90°，由图1可知∠AOC和∠BOD均为90°。求∠BOC时，观察图形可得∠BOC是直角∠AOC与∠AOB的差，用90°减去已知的∠AOB度数即可；求∠AOD时，可将其看作∠AOB与直角∠BOD的和，代入数值计算即可。
（2）已知两个三角尺的60°角顶点重合，因此∠AOC和∠BOD均为60°。要判断∠AOD与∠BOC的和是否为定值，可将∠AOD拆分为∠AOC与∠COD的和，再与∠BOC相加，整理后可将角度和转化为两个已知60°角的和，即可得出结论。
【解析】
（1）由三角尺的特征得：$∠ AOC=∠ BOD=90°$
$\because ∠ AOB+∠ BOC=∠ AOC$
$\therefore ∠ BOC=90°-∠ AOB=90°-25°=65°$
$\because ∠ AOD=∠ AOB+∠ BOD$
$\therefore ∠ AOD=25°+90°=115°$
（2）$∠ AOD$与$∠ BOC$的和是定值，理由如下：
由三角尺的特征得：$∠ AOC=∠ BOD=60°$
$\because ∠ AOD=∠ AOC+∠ COD$
$\therefore ∠ AOD+∠ BOC=∠ AOC+∠ COD+∠ BOC$
又$\because ∠ COD+∠ BOC=∠ BOD$
$\therefore ∠ AOD+∠ BOC=∠ AOC+∠ BOD=60°+60°=120°$
【答案】
(1) $65°$，$115°$
(2) 是定值，定值为$120°$
【知识点】
1. 角的和差运算
2. 三角板角度特征
3. 定值问题探究
【点评】
本题是角的运算的典型基础题，解题核心是结合图形梳理清楚各角之间的和差关系，利用三角板的固定角度代入计算即可。第二问的定值问题需要掌握角的拆分技巧，将未知角度和转化为已知固定角的和即可求解。
【难度系数】
0.8
12. 如图，已知$∠ AOB=108°$，$OE$是$∠ AOB$的平分线，$OC$在$∠ AOE$内.
（1）若$∠ COE=\frac{1}{3}∠ AOE$，求$∠ AOC$的度数；
（2）若$∠ BOC - ∠ AOC=18°$，求$∠ COE$的度数.
（1）若$∠ COE=\frac{1}{3}∠ AOE$，求$∠ AOC$的度数；
（2）若$∠ BOC - ∠ AOC=18°$，求$∠ COE$的度数.
答案
12. (1) $\because OE$是$∠ AOB$的平分线,$∠ AOB=108°$, $\therefore∠ AOE=∠ BOE=\frac{1}{2}∠ AOB=\frac{1}{2}×108°=54°$. $\because∠ COE=\frac{1}{3}∠ AOE$,$\therefore∠ COE=\frac{1}{3}×54=18°$,$\therefore∠ AOC=∠ AOE-∠ COE=54°-18°=36°$.
(2) $\because∠ AOB=∠ AOC+∠ BOC=108°$,$\therefore∠ BOC=108°-∠ AOC$. $\because∠ BOC-∠ AOC=18°$,$\therefore108°-∠ AOC-∠ AOC=18°$,$\therefore∠ AOC=45°$. $\because∠ AOE=54°$,$\therefore∠ COE=∠ AOE-∠ AOC=54°-45°=9°$.
(2) $\because∠ AOB=∠ AOC+∠ BOC=108°$,$\therefore∠ BOC=108°-∠ AOC$. $\because∠ BOC-∠ AOC=18°$,$\therefore108°-∠ AOC-∠ AOC=18°$,$\therefore∠ AOC=45°$. $\because∠ AOE=54°$,$\therefore∠ COE=∠ AOE-∠ AOC=54°-45°=9°$.
解析
【分析】
本题分为两小问，解题思路如下：
（1）首先根据角平分线的定义，角平分线将一个角分成两个相等的角，因此先求出∠AOE的度数；再结合∠COE与∠AOE的数量关系求出∠COE的度数；最后根据∠AOC=∠AOE-∠COE即可算出结果。
（2）首先根据∠AOB是∠BOC与∠AOC的和，结合已知∠AOB的度数得到∠BOC和∠AOC的关系式，再代入∠BOC-∠AOC=18°的条件求出∠AOC的度数；最后用∠AOE的度数减去∠AOC的度数即可得到∠COE的度数。
【解析】
（1）
∵OE是∠AOB的平分线，∠AOB=108°，
∴∠AOE=∠BOE=$\frac{1}{2}$∠AOB=$\frac{1}{2}$×108°=54°。
∵∠COE=$\frac{1}{3}$∠AOE，
∴∠COE=$\frac{1}{3}$×54°=18°，
∴∠AOC=∠AOE-∠COE=54°-18°=36°。
（2）
∵∠AOB=∠AOC+∠BOC=108°，
∴∠BOC=108°-∠AOC。
∵∠BOC-∠AOC=18°，
∴108°-∠AOC-∠AOC=18°，
解得∠AOC=45°。
∵∠AOE=54°，
∴∠COE=∠AOE-∠AOC=54°-45°=9°。
【答案】
（1）$\boxed{36°}$；（2）$\boxed{9°}$
【知识点】
角平分线的定义；角的和差运算；角度计算
【点评】
本题是角度计算的基础题型，重点考查对角平分线性质的理解和角的和差运算能力，解题的核心是理清图中各角之间的数量关系，结合已知条件逐步推导即可求解，有助于巩固角的相关基础运算知识。
【难度系数】
0.8
本题分为两小问，解题思路如下：
（1）首先根据角平分线的定义，角平分线将一个角分成两个相等的角，因此先求出∠AOE的度数；再结合∠COE与∠AOE的数量关系求出∠COE的度数；最后根据∠AOC=∠AOE-∠COE即可算出结果。
（2）首先根据∠AOB是∠BOC与∠AOC的和，结合已知∠AOB的度数得到∠BOC和∠AOC的关系式，再代入∠BOC-∠AOC=18°的条件求出∠AOC的度数；最后用∠AOE的度数减去∠AOC的度数即可得到∠COE的度数。
【解析】
（1）
∵OE是∠AOB的平分线，∠AOB=108°，
∴∠AOE=∠BOE=$\frac{1}{2}$∠AOB=$\frac{1}{2}$×108°=54°。
∵∠COE=$\frac{1}{3}$∠AOE，
∴∠COE=$\frac{1}{3}$×54°=18°，
∴∠AOC=∠AOE-∠COE=54°-18°=36°。
（2）
∵∠AOB=∠AOC+∠BOC=108°，
∴∠BOC=108°-∠AOC。
∵∠BOC-∠AOC=18°，
∴108°-∠AOC-∠AOC=18°，
解得∠AOC=45°。
∵∠AOE=54°，
∴∠COE=∠AOE-∠AOC=54°-45°=9°。
【答案】
（1）$\boxed{36°}$；（2）$\boxed{9°}$
【知识点】
角平分线的定义；角的和差运算；角度计算
【点评】
本题是角度计算的基础题型，重点考查对角平分线性质的理解和角的和差运算能力，解题的核心是理清图中各角之间的数量关系，结合已知条件逐步推导即可求解，有助于巩固角的相关基础运算知识。
【难度系数】
0.8
