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问题 已知$9m - 3n - 2025 = 0$，试求出$3m - n$的值。
名师指导
先利用等式的性质1，在等式两边同时加上2025，再利用等式的性质2，在等式两边同时除以3，即可求出$3m - n$的值。
解题示范 （学生在教师指导下，独立完成）
解：
名师指导
先利用等式的性质1，在等式两边同时加上2025，再利用等式的性质2，在等式两边同时除以3，即可求出$3m - n$的值。
解题示范 （学生在教师指导下，独立完成）
解：
答案
解：
根据等式的性质1，等式两边同时加上2025，得
$9m - 3n - 2025 + 2025 = 0 + 2025$
化简得：$9m - 3n = 2025$
根据等式的性质2，等式两边同时除以3，得
$\frac{9m - 3n}{3} = \frac{2025}{3}$
化简得：$3m - n = 675$
根据等式的性质1，等式两边同时加上2025，得
$9m - 3n - 2025 + 2025 = 0 + 2025$
化简得：$9m - 3n = 2025$
根据等式的性质2，等式两边同时除以3，得
$\frac{9m - 3n}{3} = \frac{2025}{3}$
化简得：$3m - n = 675$
解析
【分析】
我们先观察已知等式和所求代数式的关联，已知等式中含字母的部分$9m-3n$恰好是目标式$3m-n$的3倍，因此可通过等式性质对已知等式变形求解，无需单独计算$m$、$n$的数值。第一步先用等式的性质1消去等式左侧的常数项$-2025$，得到仅含$9m-3n$的等式；第二步利用等式的性质2，将等式两边同时除以3，即可直接得到$3m-n$的值。
【解析】
解：根据等式的性质1，等式两边同时加上2025，得
$9m - 3n - 2025 + 2025 = 0 + 2025$
化简得：$9m - 3n = 2025$
根据等式的性质2，等式两边同时除以3，得
$\frac{9m - 3n}{3} = \frac{2025}{3}$
化简得：$3m - n = 675$
【答案】
$\boxed{675}$
【知识点】
1. 等式的性质
2. 代数式整体变形
【点评】
本题是等式性质应用的典型基础题，解题核心是快速找到所求代数式与已知等式中含字母部分的倍数关系，用整体变形的方法求解，运算量小，思路清晰，要求熟练掌握等式性质的应用规则。
【难度系数】
0.85
我们先观察已知等式和所求代数式的关联，已知等式中含字母的部分$9m-3n$恰好是目标式$3m-n$的3倍，因此可通过等式性质对已知等式变形求解，无需单独计算$m$、$n$的数值。第一步先用等式的性质1消去等式左侧的常数项$-2025$，得到仅含$9m-3n$的等式；第二步利用等式的性质2，将等式两边同时除以3，即可直接得到$3m-n$的值。
【解析】
解：根据等式的性质1，等式两边同时加上2025，得
$9m - 3n - 2025 + 2025 = 0 + 2025$
化简得：$9m - 3n = 2025$
根据等式的性质2，等式两边同时除以3，得
$\frac{9m - 3n}{3} = \frac{2025}{3}$
化简得：$3m - n = 675$
【答案】
$\boxed{675}$
【知识点】
1. 等式的性质
2. 代数式整体变形
【点评】
本题是等式性质应用的典型基础题，解题核心是快速找到所求代数式与已知等式中含字母部分的倍数关系，用整体变形的方法求解，运算量小，思路清晰，要求熟练掌握等式性质的应用规则。
【难度系数】
0.85
1. 方程$1 - 3x = 0$的解是 （
A.$x = -\dfrac{1}{3}$
B.$x = \dfrac{1}{3}$
C.$x = -3$
D.$x = 3$
B
）A.$x = -\dfrac{1}{3}$
B.$x = \dfrac{1}{3}$
C.$x = -3$
D.$x = 3$
答案
B
解析
【分析】
这道题是求解简单的一元一次方程，解题依据是等式的性质。解题思路：首先利用等式的性质1消去方程左侧的常数项，再利用等式的性质2将未知数x的系数化为1，求出解后对应选项选择即可。
【解析】
解：已知方程$1 - 3x = 0$
1. 根据等式的性质1，等式两边同时减去1，得：
$1 - 3x - 1 = 0 - 1$
化简得：$-3x = -1$
2. 根据等式的性质2，等式两边同时除以$-3$，得：
$x = \frac{-1}{-3} = \frac{1}{3}$
因此方程的解为$x = \frac{1}{3}$，对应选项B。
【答案】
B
【知识点】
等式的性质、一元一次方程的解法
【点评】
本题属于基础题型，考察对等式性质的运用能力，计算量小，只要熟练掌握等式性质的运算规则，注意符号运算即可得分。
【难度系数】
0.9
这道题是求解简单的一元一次方程，解题依据是等式的性质。解题思路：首先利用等式的性质1消去方程左侧的常数项，再利用等式的性质2将未知数x的系数化为1，求出解后对应选项选择即可。
【解析】
解：已知方程$1 - 3x = 0$
1. 根据等式的性质1，等式两边同时减去1，得：
$1 - 3x - 1 = 0 - 1$
化简得：$-3x = -1$
2. 根据等式的性质2，等式两边同时除以$-3$，得：
$x = \frac{-1}{-3} = \frac{1}{3}$
因此方程的解为$x = \frac{1}{3}$，对应选项B。
【答案】
B
【知识点】
等式的性质、一元一次方程的解法
【点评】
本题属于基础题型，考察对等式性质的运用能力，计算量小，只要熟练掌握等式性质的运算规则，注意符号运算即可得分。
【难度系数】
0.9
2. 如图，两个天平都平衡，则1个苹果的重量是1个香蕉重量的 （
A.$\frac{2}{3}$倍
B.$\frac{4}{3}$倍
C.$\frac{3}{2}$倍
D.2倍
C
）A.$\frac{2}{3}$倍
B.$\frac{4}{3}$倍
C.$\frac{3}{2}$倍
D.2倍
答案
C
解析
【分析】
解题时先利用天平平衡时左右两边重量相等的特点，我们可以引入未知数表示三种物体的重量，先从第一个天平的等量关系得出苹果和圆柱砝码的重量关系，再将该关系代入第二个天平的等量式中，消去圆柱砝码这个中间量，最终整理即可得到苹果和香蕉的重量倍数关系。
【解析】
设1个苹果的重量为$x$，1个圆柱砝码的重量为$y$，1个香蕉的重量为$z$。
根据第一个天平平衡，可得：
$2x=4y$
根据等式的性质，两边同时除以2，得：$x=2y$，即$y=\frac{1}{2}x$。
根据第二个天平平衡，可得：
$3z=2y+x$
将$y=\frac{1}{2}x$代入上式，得：
$3z=2×\frac{1}{2}x + x$
化简右边：$3z=x+x=2x$
等式两边同时除以$2z$，得：$\frac{x}{z}=\frac{3}{2}$
即1个苹果的重量是1个香蕉重量的$\frac{3}{2}$倍。
【答案】
C
【知识点】
等式的性质，等量代换，天平平衡原理
【点评】
本题结合天平平衡的直观情境，考查等式性质的应用和等量代换的思想方法，解题的核心是先找到中间量（圆柱砝码）和苹果的数量关系，再代入消元得到所求两个量的倍数关系，难度不大，重在考查逻辑推导能力。
【难度系数】
0.7
解题时先利用天平平衡时左右两边重量相等的特点，我们可以引入未知数表示三种物体的重量，先从第一个天平的等量关系得出苹果和圆柱砝码的重量关系，再将该关系代入第二个天平的等量式中，消去圆柱砝码这个中间量，最终整理即可得到苹果和香蕉的重量倍数关系。
【解析】
设1个苹果的重量为$x$，1个圆柱砝码的重量为$y$，1个香蕉的重量为$z$。
根据第一个天平平衡，可得：
$2x=4y$
根据等式的性质，两边同时除以2，得：$x=2y$，即$y=\frac{1}{2}x$。
根据第二个天平平衡，可得：
$3z=2y+x$
将$y=\frac{1}{2}x$代入上式，得：
$3z=2×\frac{1}{2}x + x$
化简右边：$3z=x+x=2x$
等式两边同时除以$2z$，得：$\frac{x}{z}=\frac{3}{2}$
即1个苹果的重量是1个香蕉重量的$\frac{3}{2}$倍。
【答案】
C
【知识点】
等式的性质，等量代换，天平平衡原理
【点评】
本题结合天平平衡的直观情境，考查等式性质的应用和等量代换的思想方法，解题的核心是先找到中间量（圆柱砝码）和苹果的数量关系，再代入消元得到所求两个量的倍数关系，难度不大，重在考查逻辑推导能力。
【难度系数】
0.7
3. 已知等式$3a=2b+5$，则下列等式中不成立的是 （
A.$3a - 5 = 2b$
B.$3a + 1 = 2b + 6$
C.$3ac = 2bc + 5$
D.$a = \frac{2}{3}b + \frac{5}{3}$
C
）A.$3a - 5 = 2b$
B.$3a + 1 = 2b + 6$
C.$3ac = 2bc + 5$
D.$a = \frac{2}{3}b + \frac{5}{3}$
答案
C
解析
【分析】
解题的核心依据是等式的两条基本性质：1.等式两边加（或减）同一个数（或式子），结果仍相等；2.等式两边乘同一个数，或除以同一个不为0的数，结果仍相等。我们可以对原等式$3a=2b+5$按照每个选项的要求进行变形，再和选项对比，即可判断是否成立。
【解析】
我们逐一验证每个选项：
1. 验证选项A：将原等式$3a=2b+5$两边同时减去5，左边变为$3a-5$，右边变为$2b+5-5=2b$，可得$3a-5=2b$，故A成立。
2. 验证选项B：将原等式$3a=2b+5$两边同时加上1，左边变为$3a+1$，右边变为$2b+5+1=2b+6$，可得$3a+1=2b+6$，故B成立。
3. 验证选项C：将原等式$3a=2b+5$两边同时乘$c$，根据等式性质，右边每一项都要乘$c$，即右边变为$(2b+5)c=2bc+5c$，而非$2bc+5$，只有当$c=1$时该式才成立，其他情况均不成立，故C不成立。
4. 验证选项D：将原等式$3a=2b+5$两边同时除以3（3不为0，符合等式性质），左边变为$a$，右边变为$\frac{2b+5}{3}=\frac{2}{3}b+\frac{5}{3}$，可得$a=\frac{2}{3}b+\frac{5}{3}$，故D成立。
综上，不成立的是选项C。
【答案】
C
【知识点】
1. 等式的性质
2. 等式变形
【点评】
本题属于等式性质的基础应用题型，易错点是在对等式两边同时乘一个数时，漏乘等式中的常数项，掌握等式性质的使用规则、变形时不漏乘每一项即可正确解题。
【难度系数】
0.8
解题的核心依据是等式的两条基本性质：1.等式两边加（或减）同一个数（或式子），结果仍相等；2.等式两边乘同一个数，或除以同一个不为0的数，结果仍相等。我们可以对原等式$3a=2b+5$按照每个选项的要求进行变形，再和选项对比，即可判断是否成立。
【解析】
我们逐一验证每个选项：
1. 验证选项A：将原等式$3a=2b+5$两边同时减去5，左边变为$3a-5$，右边变为$2b+5-5=2b$，可得$3a-5=2b$，故A成立。
2. 验证选项B：将原等式$3a=2b+5$两边同时加上1，左边变为$3a+1$，右边变为$2b+5+1=2b+6$，可得$3a+1=2b+6$，故B成立。
3. 验证选项C：将原等式$3a=2b+5$两边同时乘$c$，根据等式性质，右边每一项都要乘$c$，即右边变为$(2b+5)c=2bc+5c$，而非$2bc+5$，只有当$c=1$时该式才成立，其他情况均不成立，故C不成立。
4. 验证选项D：将原等式$3a=2b+5$两边同时除以3（3不为0，符合等式性质），左边变为$a$，右边变为$\frac{2b+5}{3}=\frac{2}{3}b+\frac{5}{3}$，可得$a=\frac{2}{3}b+\frac{5}{3}$，故D成立。
综上，不成立的是选项C。
【答案】
C
【知识点】
1. 等式的性质
2. 等式变形
【点评】
本题属于等式性质的基础应用题型，易错点是在对等式两边同时乘一个数时，漏乘等式中的常数项，掌握等式性质的使用规则、变形时不漏乘每一项即可正确解题。
【难度系数】
0.8
4. 某城市平均每天产生生活垃圾 700 t，由甲、乙两个垃圾处理厂处理.已知甲厂每小时可处理垃圾 55 t，乙厂每小时可处理垃圾 45 t.甲、乙两厂同时处理该城市的生活垃圾，每天需多长时间才能处理完？
答案
7 h.
解析
【分析】
解题前先明确已知条件：城市每日总垃圾量为700t，甲厂每小时处理55t，乙厂每小时处理45t，求两厂同时处理的时间。我们可以利用“工作总量=工作效率×工作时间”的基本等量关系解题：两厂同时处理时，总工作效率为两厂每小时处理量之和，设处理时间为x小时，总处理量等于每日总垃圾量，据此列出方程后，用等式的性质求解即可。
【解析】
解：设每天需$ x $小时才能处理完垃圾。
1. 计算两厂同时处理时每小时总处理量：
$ 55 + 45 = 100 \, (\mathrm{t}) $
2. 根据“总垃圾量=每小时总处理量×处理时间”列方程：
$ 100x = 700 $
3. 根据等式的性质2，等式两边同时除以100求解：
$ x = 700 ÷ 100 $
$ x = 7 $
【答案】
7 h
【知识点】
1. 一元一次方程的应用
2. 等式的性质
3. 工程问题计算
【点评】
本题属于基础的实际应用题型，核心是准确找到工作总量、工作效率、工作时间三者之间的等量关系，熟练运用等式的性质解方程即可，侧重对基础知识的考察。
【难度系数】
0.8
解题前先明确已知条件：城市每日总垃圾量为700t，甲厂每小时处理55t，乙厂每小时处理45t，求两厂同时处理的时间。我们可以利用“工作总量=工作效率×工作时间”的基本等量关系解题：两厂同时处理时，总工作效率为两厂每小时处理量之和，设处理时间为x小时，总处理量等于每日总垃圾量，据此列出方程后，用等式的性质求解即可。
【解析】
解：设每天需$ x $小时才能处理完垃圾。
1. 计算两厂同时处理时每小时总处理量：
$ 55 + 45 = 100 \, (\mathrm{t}) $
2. 根据“总垃圾量=每小时总处理量×处理时间”列方程：
$ 100x = 700 $
3. 根据等式的性质2，等式两边同时除以100求解：
$ x = 700 ÷ 100 $
$ x = 7 $
【答案】
7 h
【知识点】
1. 一元一次方程的应用
2. 等式的性质
3. 工程问题计算
【点评】
本题属于基础的实际应用题型，核心是准确找到工作总量、工作效率、工作时间三者之间的等量关系，熟练运用等式的性质解方程即可，侧重对基础知识的考察。
【难度系数】
0.8
5. 已知代数式$2a - 4$与$5a - 16$的值相等，求$a$的值。
答案
$a=4$.
解析
【分析】
首先根据题目中两个代数式的值相等的条件，可列出关于a的一元一次方程；再依据等式的性质，按照移项、合并同类项、系数化为1的标准步骤求解方程，就能得到a的取值。
【解析】
解：根据题意列方程得：
$2a - 4 = 5a - 16$
移项，得：
$2a - 5a = -16 + 4$
合并同类项，得：
$-3a = -12$
系数化为1，得：
$a = 4$
【答案】
$a=4$
【知识点】
等式的性质；一元一次方程的解法
【点评】
本题是基础运算题型，主要考查根据等量关系列方程的能力，以及一元一次方程的基础求解步骤，熟练掌握移项、合并同类项、系数化为1的运算规则即可顺利解答。
【难度系数】
0.85
首先根据题目中两个代数式的值相等的条件，可列出关于a的一元一次方程；再依据等式的性质，按照移项、合并同类项、系数化为1的标准步骤求解方程，就能得到a的取值。
【解析】
解：根据题意列方程得：
$2a - 4 = 5a - 16$
移项，得：
$2a - 5a = -16 + 4$
合并同类项，得：
$-3a = -12$
系数化为1，得：
$a = 4$
【答案】
$a=4$
【知识点】
等式的性质；一元一次方程的解法
【点评】
本题是基础运算题型，主要考查根据等量关系列方程的能力，以及一元一次方程的基础求解步骤，熟练掌握移项、合并同类项、系数化为1的运算规则即可顺利解答。
【难度系数】
0.85
