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若关于$x$的方程$3x - 4 = -1$与$ax - b + 1 = -c$有相同的解，求$(a - b + c)^{2027}$的值。
答案
-1.
解析
【分析】
解题思路可分为三步：首先明确“两个方程有相同的解”指的是第一个方程的解能满足第二个方程；第一步先解仅含x的一元一次方程$3x-4=-1$，求出x的取值；第二步将x的值代入第二个方程，利用等式的性质整理得到$a-b+c$的整体值；第三步将整体值代入待求的乘方式，按乘方运算规则计算即可得到结果。
【解析】
解：先解方程$3x - 4 = -1$
移项，得 $3x = -1 + 4$
合并同类项，得 $3x = 3$
系数化为1，得 $x = 1$
∵ 两个方程有相同的解
∴ $x=1$是方程$ax - b + 1 = -c$的解
将$x=1$代入该方程，得：
$a - b + 1 = -c$
移项整理得：$a - b + c = -1$
∴ $(a - b + c)^{2027} = (-1)^{2027} = -1$
【答案】
$-1$
【知识点】
同解方程、等式的性质、乘方运算
【点评】
本题属于同解方程的基础题型，解题核心是利用同解的性质建立两个方程的关联，通过整体代入的思想简化计算，重点考查一元一次方程解法和等式性质的应用能力。
【难度系数】
0.8
解题思路可分为三步：首先明确“两个方程有相同的解”指的是第一个方程的解能满足第二个方程；第一步先解仅含x的一元一次方程$3x-4=-1$，求出x的取值；第二步将x的值代入第二个方程，利用等式的性质整理得到$a-b+c$的整体值；第三步将整体值代入待求的乘方式，按乘方运算规则计算即可得到结果。
【解析】
解：先解方程$3x - 4 = -1$
移项，得 $3x = -1 + 4$
合并同类项，得 $3x = 3$
系数化为1，得 $x = 1$
∵ 两个方程有相同的解
∴ $x=1$是方程$ax - b + 1 = -c$的解
将$x=1$代入该方程，得：
$a - b + 1 = -c$
移项整理得：$a - b + c = -1$
∴ $(a - b + c)^{2027} = (-1)^{2027} = -1$
【答案】
$-1$
【知识点】
同解方程、等式的性质、乘方运算
【点评】
本题属于同解方程的基础题型，解题核心是利用同解的性质建立两个方程的关联，通过整体代入的思想简化计算，重点考查一元一次方程解法和等式性质的应用能力。
【难度系数】
0.8
1. 下列结论错误的是 （
A.若$a=b$，则$\frac{a}{m^2+2}=\frac{b}{m^2+2}$
B.若$\frac{a}{m-1}=\frac{b}{m-1}$，则$a=b$
C.若$x=3$，则$x^2=3x$
D.若$ax+2=bx+2$，则$a=b$
D
）A.若$a=b$，则$\frac{a}{m^2+2}=\frac{b}{m^2+2}$
B.若$\frac{a}{m-1}=\frac{b}{m-1}$，则$a=b$
C.若$x=3$，则$x^2=3x$
D.若$ax+2=bx+2$，则$a=b$
答案
D
解析
【分析】
这道题考查等式性质的应用，解题思路为：首先明确等式的核心性质，尤其注意等式两边同时乘或除以同一个数时，该数不能为0的前提；再逐一验证每个选项是否符合等式性质的适用条件，判断结论是否成立，最终选出错误的选项。
【解析】
根据等式的性质逐一分析各选项：
选项A：因为$m^2≥0$，所以$m^2+2≥2≠0$，根据等式性质2，等式$a=b$两边同时除以不为0的$m^2+2$，可得$\frac{a}{m^2+2}=\frac{b}{m^2+2}$，结论正确。
选项B：若$\frac{a}{m-1}=\frac{b}{m-1}$成立，说明分母$m-1≠0$（否则分式无意义），根据等式性质2，两边同时乘不为0的$m-1$，可得$a=b$，结论正确。
选项C：若$x=3$，两边同时乘$x$（$x=3≠0$）可得$x^2=3x$，代入$x=3$验证，左边$=3^2=9$，右边$=3×3=9$，等式成立，结论正确。
选项D：对$ax+2=bx+2$，两边同时减2得$ax=bx$；若$x=0$，无论$a、b$取何值，$ax=bx=0$恒成立，无法推出$a=b$，结论错误。
【答案】
D
【知识点】
1.等式的性质 2.分式有意义的条件
【点评】
本题的易错点是忽略等式两边同除以一个数时，该数不能为0的前提，需要区分：若分式形式的等式成立，则分母必然不为0；但等式两边含公因式时，要考虑公因式为0的特殊情况，不能直接约去公因式推导结论。
【难度系数】
0.7
这道题考查等式性质的应用，解题思路为：首先明确等式的核心性质，尤其注意等式两边同时乘或除以同一个数时，该数不能为0的前提；再逐一验证每个选项是否符合等式性质的适用条件，判断结论是否成立，最终选出错误的选项。
【解析】
根据等式的性质逐一分析各选项：
选项A：因为$m^2≥0$，所以$m^2+2≥2≠0$，根据等式性质2，等式$a=b$两边同时除以不为0的$m^2+2$，可得$\frac{a}{m^2+2}=\frac{b}{m^2+2}$，结论正确。
选项B：若$\frac{a}{m-1}=\frac{b}{m-1}$成立，说明分母$m-1≠0$（否则分式无意义），根据等式性质2，两边同时乘不为0的$m-1$，可得$a=b$，结论正确。
选项C：若$x=3$，两边同时乘$x$（$x=3≠0$）可得$x^2=3x$，代入$x=3$验证，左边$=3^2=9$，右边$=3×3=9$，等式成立，结论正确。
选项D：对$ax+2=bx+2$，两边同时减2得$ax=bx$；若$x=0$，无论$a、b$取何值，$ax=bx=0$恒成立，无法推出$a=b$，结论错误。
【答案】
D
【知识点】
1.等式的性质 2.分式有意义的条件
【点评】
本题的易错点是忽略等式两边同除以一个数时，该数不能为0的前提，需要区分：若分式形式的等式成立，则分母必然不为0；但等式两边含公因式时，要考虑公因式为0的特殊情况，不能直接约去公因式推导结论。
【难度系数】
0.7
2. 若等式$m+a=n-b$，根据等式的性质变形得到$m=n$，则$a,b$满足的条件是 （
A.相等
B.互为倒数
C.互为相反数
D.无法确定
C
）A.相等
B.互为倒数
C.互为相反数
D.无法确定
答案
C
解析
【分析】
要解决这道题，首先明确我们的目标是将等式$m+a=n-b$变形为$m=n$，需要用到等式的性质1：等式两边同时加（或减）同一个数（或式子），等式仍然成立。我们可以先把含a的项移到等式右侧，得到m的表达式，再对照$m=n$的要求，推导a和b满足的关系即可。
【解析】
根据等式的性质1，对等式$m+a=n-b$两边同时减去$a$，可得：
$m = n - b - a$
整理得：$m = n - (a + b)$
要使变形结果为$m = n$，则需要$-(a + b)=0$，即$a + b = 0$。
根据相反数的定义：和为0的两个数互为相反数，因此a和b互为相反数。
【答案】
C
【知识点】
等式的性质；相反数的定义
【点评】
本题核心是运用等式性质对等式进行变形，解题时要紧扣变形目标推导未知量的关系，熟练掌握基础概念是解题的前提。
【难度系数】
0.8
要解决这道题，首先明确我们的目标是将等式$m+a=n-b$变形为$m=n$，需要用到等式的性质1：等式两边同时加（或减）同一个数（或式子），等式仍然成立。我们可以先把含a的项移到等式右侧，得到m的表达式，再对照$m=n$的要求，推导a和b满足的关系即可。
【解析】
根据等式的性质1，对等式$m+a=n-b$两边同时减去$a$，可得：
$m = n - b - a$
整理得：$m = n - (a + b)$
要使变形结果为$m = n$，则需要$-(a + b)=0$，即$a + b = 0$。
根据相反数的定义：和为0的两个数互为相反数，因此a和b互为相反数。
【答案】
C
【知识点】
等式的性质；相反数的定义
【点评】
本题核心是运用等式性质对等式进行变形，解题时要紧扣变形目标推导未知量的关系，熟练掌握基础概念是解题的前提。
【难度系数】
0.8
3. 下列等式变形:① 若$a=b$,则$\frac{a}{x}=\frac{b}{x}$;② 若$\frac{a}{x}=\frac{b}{x}$,则$a=b$;③ 若$4a=7b$,则$\frac{a}{b}=\frac{7}{4}$;④ 若$\frac{a}{b}=\frac{7}{4}$,则$4a=7b$.其中一定正确的个数是 (
A.1个
B.2个
C.3个
D.4个
B
)A.1个
B.2个
C.3个
D.4个
答案
B
解析
【分析】
本题考查等式的性质的应用，解题核心是注意等式两边同时除以同一个数或整式时，该数或整式不能为0，否则变形无意义。我们可逐个分析4个等式变形是否满足要求：首先判断变形时的除数是否存在为0的可能，若存在则变形不一定成立，若除数作为分母已经隐含不为0的条件，则变形成立。
【解析】
我们逐个验证每个变形的正确性：
1. 变形①：若$a=b$，当$x=0$时，$\frac{a}{x}$和$\frac{b}{x}$无意义，只有$x≠0$时变形才成立，故①不一定正确；
2. 变形②：$\frac{a}{x}=\frac{b}{x}$中$x$是分母，隐含$x≠0$的条件，等式两边同时乘$x$可得$a=b$，故②一定正确；
3. 变形③：若$4a=7b$，当$b=0$时，$\frac{a}{b}$无意义，只有$b≠0$时变形才成立，故③不一定正确；
4. 变形④：$\frac{a}{b}=\frac{7}{4}$中$b$是分母，隐含$b≠0$的条件，等式两边同时乘$4b$可得$4a=7b$，故④一定正确。
综上，一定正确的变形有②和④，共2个。
【答案】
B
【知识点】
1. 等式的性质
2. 0不能作除数
【点评】
本题是等式性质的典型易错题，解题时很容易忽略除数（分母）不能为0的前提条件，判断等式变形是否成立时，要优先确认除数是否不为0，再判断变形是否符合等式性质。
【难度系数】
0.7
本题考查等式的性质的应用，解题核心是注意等式两边同时除以同一个数或整式时，该数或整式不能为0，否则变形无意义。我们可逐个分析4个等式变形是否满足要求：首先判断变形时的除数是否存在为0的可能，若存在则变形不一定成立，若除数作为分母已经隐含不为0的条件，则变形成立。
【解析】
我们逐个验证每个变形的正确性：
1. 变形①：若$a=b$，当$x=0$时，$\frac{a}{x}$和$\frac{b}{x}$无意义，只有$x≠0$时变形才成立，故①不一定正确；
2. 变形②：$\frac{a}{x}=\frac{b}{x}$中$x$是分母，隐含$x≠0$的条件，等式两边同时乘$x$可得$a=b$，故②一定正确；
3. 变形③：若$4a=7b$，当$b=0$时，$\frac{a}{b}$无意义，只有$b≠0$时变形才成立，故③不一定正确；
4. 变形④：$\frac{a}{b}=\frac{7}{4}$中$b$是分母，隐含$b≠0$的条件，等式两边同时乘$4b$可得$4a=7b$，故④一定正确。
综上，一定正确的变形有②和④，共2个。
【答案】
B
【知识点】
1. 等式的性质
2. 0不能作除数
【点评】
本题是等式性质的典型易错题，解题时很容易忽略除数（分母）不能为0的前提条件，判断等式变形是否成立时，要优先确认除数是否不为0，再判断变形是否符合等式性质。
【难度系数】
0.7
4. 若$a=2b-5$，则下面式子中不成立的是（
A.$ac=2bc-5$
B.$a+5=2b$
C.$a+1=2b-4$
D.$\dfrac{a}{2}=b-\dfrac{5}{2}$
A
）A.$ac=2bc-5$
B.$a+5=2b$
C.$a+1=2b-4$
D.$\dfrac{a}{2}=b-\dfrac{5}{2}$
答案
A
解析
【分析】
本题考查等式性质的应用，解题思路如下：首先回忆等式的两条基本性质：1.等式两边加（或减）同一个数（或式子），结果仍相等；2.等式两边乘同一个数，或除以同一个不为0的数，结果仍相等。接下来将已知等式$a=2b-5$按照每个选项的变形方式逐一验证，对比变形结果与选项是否一致，即可找出不成立的式子。要特别注意等式两边同时乘一个数时，必须给等式的每一项都乘这个数，不能漏乘。
【解析】
已知等式为 $a = 2b - 5$，结合等式的性质逐一判断：
选项A：等式两边同时乘$c$，根据等式性质2，左边为$ac$，右边应为$(2b-5)c=2bc - 5c$，与选项给出的$2bc-5$不符，变形错误，不成立。
选项B：等式两边同时加5，根据等式性质1，左边为$a+5$，右边为$2b-5+5=2b$，变形正确，成立。
选项C：等式两边同时加1，根据等式性质1，左边为$a+1$，右边为$2b-5+1=2b-4$，变形正确，成立。
选项D：等式两边同时除以2，根据等式性质2，左边为$\dfrac{a}{2}$，右边为$\dfrac{2b-5}{2}=b-\dfrac{5}{2}$，变形正确，成立。
综上，不成立的式子为选项A。
【答案】
A
【知识点】
等式的基本性质
【点评】
本题属于等式性质应用的基础题型，重点考查等式乘除变形的规则，做题时要注意避免漏乘等式中的常数项，熟练掌握等式性质即可快速解题。
【难度系数】
0.8
本题考查等式性质的应用，解题思路如下：首先回忆等式的两条基本性质：1.等式两边加（或减）同一个数（或式子），结果仍相等；2.等式两边乘同一个数，或除以同一个不为0的数，结果仍相等。接下来将已知等式$a=2b-5$按照每个选项的变形方式逐一验证，对比变形结果与选项是否一致，即可找出不成立的式子。要特别注意等式两边同时乘一个数时，必须给等式的每一项都乘这个数，不能漏乘。
【解析】
已知等式为 $a = 2b - 5$，结合等式的性质逐一判断：
选项A：等式两边同时乘$c$，根据等式性质2，左边为$ac$，右边应为$(2b-5)c=2bc - 5c$，与选项给出的$2bc-5$不符，变形错误，不成立。
选项B：等式两边同时加5，根据等式性质1，左边为$a+5$，右边为$2b-5+5=2b$，变形正确，成立。
选项C：等式两边同时加1，根据等式性质1，左边为$a+1$，右边为$2b-5+1=2b-4$，变形正确，成立。
选项D：等式两边同时除以2，根据等式性质2，左边为$\dfrac{a}{2}$，右边为$\dfrac{2b-5}{2}=b-\dfrac{5}{2}$，变形正确，成立。
综上，不成立的式子为选项A。
【答案】
A
【知识点】
等式的基本性质
【点评】
本题属于等式性质应用的基础题型，重点考查等式乘除变形的规则，做题时要注意避免漏乘等式中的常数项，熟练掌握等式性质即可快速解题。
【难度系数】
0.8
5. 小明学习了“等式的性质”后对小亮说：“我发现4可以等于3，你看这里有一个方程$4x-2=3x-2$，等式的两边都加上2，得$4x=3x$，然后等式的两边都除以$x$，得$4=3.$”
（1）小明的说法对吗？为什么？
（2）你能求出方程$4x-2=3x-2$的解吗？
（1）小明的说法对吗？为什么？
（2）你能求出方程$4x-2=3x-2$的解吗？
答案
(1) 不对. 因为等式$4x=3x$中$x$的值为0,等式的两边不能同时除以0.
(2) 方程两边都加上2,得$4x=3x$,然后两边都减去$3x$,得$x=0$.
(2) 方程两边都加上2,得$4x=3x$,然后两边都减去$3x$,得$x=0$.
解析
【分析】
（1）判断小明的说法是否正确，需结合等式的性质2分析：等式两边同时除以同一个数时，该数必须不为0，否则等式不成立。首先明确4x=3x中x的取值，再判断能否直接除以x即可得出结论。
（2）求解方程需正确运用等式的性质：先通过等式两边加2消去常数项，再将含x的项移到等号同侧，即可求出方程的解。
【解析】
（1）小明的说法不对。因为等式的性质规定，等式两边同时除以同一个不为0的数，等式仍然成立。而等式4x=3x中x的值为0，0不能作除数，因此不能在等式两边同时除以x，小明的推导不符合等式的性质，所以是错误的。
（2）解：对方程$4x-2=3x-2$，
第一步，根据等式的性质1，等式两边同时加上2，得$4x-2+2=3x-2+2$，化简为$4x=3x$；
第二步，根据等式的性质1，等式两边同时减去3x，得$4x-3x=3x-3x$，化简为$x=0$。
【答案】
(1) 不对. 因为等式$4x=3x$中$x$的值为0,等式的两边不能同时除以0.
(2) 方程两边都加上2,得$4x=3x$,然后两边都减去$3x$,得$x=0$.
【知识点】
等式的性质，解一元一次方程
【点评】
本题是等式性质的基础考查题，易错点是使用等式性质2时忽略除数不能为0的前提，掌握等式性质的适用条件是解决本题的关键。
【难度系数】
0.7
（1）判断小明的说法是否正确，需结合等式的性质2分析：等式两边同时除以同一个数时，该数必须不为0，否则等式不成立。首先明确4x=3x中x的取值，再判断能否直接除以x即可得出结论。
（2）求解方程需正确运用等式的性质：先通过等式两边加2消去常数项，再将含x的项移到等号同侧，即可求出方程的解。
【解析】
（1）小明的说法不对。因为等式的性质规定，等式两边同时除以同一个不为0的数，等式仍然成立。而等式4x=3x中x的值为0，0不能作除数，因此不能在等式两边同时除以x，小明的推导不符合等式的性质，所以是错误的。
（2）解：对方程$4x-2=3x-2$，
第一步，根据等式的性质1，等式两边同时加上2，得$4x-2+2=3x-2+2$，化简为$4x=3x$；
第二步，根据等式的性质1，等式两边同时减去3x，得$4x-3x=3x-3x$，化简为$x=0$。
【答案】
(1) 不对. 因为等式$4x=3x$中$x$的值为0,等式的两边不能同时除以0.
(2) 方程两边都加上2,得$4x=3x$,然后两边都减去$3x$,得$x=0$.
【知识点】
等式的性质，解一元一次方程
【点评】
本题是等式性质的基础考查题，易错点是使用等式性质2时忽略除数不能为0的前提，掌握等式性质的适用条件是解决本题的关键。
【难度系数】
0.7
