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9.「2026浙江杭州月考，★☆」如图，$△ BFD ≌ △ CED$，若$△ ACE$的面积为3，$△ BFD$的面积为2，则$△ ABF$的面积为（
A.3
B.5
C.7
D.9
C
）A.3
B.5
C.7
D.9
答案
9.C
∵ △BFD≌△CED,
∴ $S_{△CED}=S_{△BFD}=2,BD=CD$,
∴ $S_{△ABD}=S_{△ACD}=S_{△ACE}+S_{△CED}=5$,
∴ $S_{△ABF}=S_{△ABD}+S_{△BFD}=7$.故选 C.
∵ △BFD≌△CED,
∴ $S_{△CED}=S_{△BFD}=2,BD=CD$,
∴ $S_{△ABD}=S_{△ACD}=S_{△ACE}+S_{△CED}=5$,
∴ $S_{△ABF}=S_{△ABD}+S_{△BFD}=7$.故选 C.
10. 学科特色易错题 「2026天津九十中期中，★☆」一个三角形的三边长分别为3,5,6,另一个三角形的三边长分别为3,2x+1,y-2,如果这两个三角形全等,那么$x+y=$
10或9.5
.答案
10.答案 10或9.5
解析
∵ 两个三角形全等,
∴ $\begin{cases}2x+1=5,\\y-2=6\end{cases}$ 或 $\begin{cases}2x+1=6,\\y-2=5,\end{cases}$ 解得 $\begin{cases}x=2,\\y=8\end{cases}$ 或 $\begin{cases}x=2.5,\\y=7,\end{cases}$
当 x=2,y=8 时,x+y=2+8=10;
当 x=2.5,y=7 时,x+y=2.5+7=9.5.
易错警示 当题目中没有明确给出两个全等三角形的对应边时,需要分类讨论.
解析
∵ 两个三角形全等,
∴ $\begin{cases}2x+1=5,\\y-2=6\end{cases}$ 或 $\begin{cases}2x+1=6,\\y-2=5,\end{cases}$ 解得 $\begin{cases}x=2,\\y=8\end{cases}$ 或 $\begin{cases}x=2.5,\\y=7,\end{cases}$
当 x=2,y=8 时,x+y=2+8=10;
当 x=2.5,y=7 时,x+y=2.5+7=9.5.
易错警示 当题目中没有明确给出两个全等三角形的对应边时,需要分类讨论.
11.「2026江西南昌期末，★☆」如图，已知$△ ABC ≌ △ A'B'C$，$∠ A' = 40°$，$∠ CB'A' = 60°$，$A'C$交边$AB$于点$P$，$CP$平分$∠ ACB$，$BO$，$CO$分别平分$∠ CBA$，$∠ BCP$，则$∠ BOC$的度数为
130°
。答案
11.答案 $130°$
解析
∵ 在△A'B'C 中,∠A'=40°,∠CB'A'=60°,
∴ ∠A'CB'=180°-40°-60°=80°,
∵ △ABC≌△A'B'C,
∴ ∠CBA=∠CB'A'=60°,∠ACB=∠A'CB'=80°,
∵ CP 平分∠ACB,
∴ ∠BCP=$\frac{1}{2}$∠ACB=40°,
∵ BO,CO 分别平分∠CBA,∠BCP,
∴ ∠OBC=$\frac{1}{2}$∠CBA=30°,∠OCB=$\frac{1}{2}$∠BCP=20°,
∴ ∠BOC=180°-∠OBC-∠OCB=130°.故答案为$130°$.
解析
∵ 在△A'B'C 中,∠A'=40°,∠CB'A'=60°,
∴ ∠A'CB'=180°-40°-60°=80°,
∵ △ABC≌△A'B'C,
∴ ∠CBA=∠CB'A'=60°,∠ACB=∠A'CB'=80°,
∵ CP 平分∠ACB,
∴ ∠BCP=$\frac{1}{2}$∠ACB=40°,
∵ BO,CO 分别平分∠CBA,∠BCP,
∴ ∠OBC=$\frac{1}{2}$∠CBA=30°,∠OCB=$\frac{1}{2}$∠BCP=20°,
∴ ∠BOC=180°-∠OBC-∠OCB=130°.故答案为$130°$.
12.「2026江苏宿迁期中，★☆」如图，在$△ ABC$中，点D在边BC上，连接AD，$∠ ADB = ∠ ABC$，BE是$△ ABD$边AD上的高，延长BE交AC于点F，且$△ ADC ≌ △ BFC$，设$∠ ABC = α$，$∠ ACB = β$。
(1)判断$△ ABC$的形状，并说明理由。
(2)求$∠ ABF$的度数(用含$α$的代数式表示)。
(3)判断$α$与$β$之间的数量关系，并说明理由。
(1)判断$△ ABC$的形状，并说明理由。
(2)求$∠ ABF$的度数(用含$α$的代数式表示)。
(3)判断$α$与$β$之间的数量关系，并说明理由。
答案
12.解析 (1)△ABC 是等腰三角形.理由如下:
∵ △ADC≌△BFC,
∴ AC=BC,
∴ △ABC 是等腰三角形.
(2)
∵ BE 是△ABD 边 AD 上的高,
∴ ∠BED=90°,
∵ ∠ADB=∠ABC=α,
∴ ∠DBE=90°-α,
∴ ∠ABF=∠ABC-∠DBE=α-(90°-α)=2α-90°.
(3)2α-β=90°.理由如下:
∵ ∠ADB=∠ABC=α,∠ACB=β,
∴ ∠CAD=α-β,
∵ △ADC≌△BFC,
∴ ∠CBF=∠CAD=α-β,
由(2)得∠ABF=2α-90°,
∴ 2α-90°+(α-β)=α,整理得 2α-β=90°.
∵ △ADC≌△BFC,
∴ AC=BC,
∴ △ABC 是等腰三角形.
(2)
∵ BE 是△ABD 边 AD 上的高,
∴ ∠BED=90°,
∵ ∠ADB=∠ABC=α,
∴ ∠DBE=90°-α,
∴ ∠ABF=∠ABC-∠DBE=α-(90°-α)=2α-90°.
(3)2α-β=90°.理由如下:
∵ ∠ADB=∠ABC=α,∠ACB=β,
∴ ∠CAD=α-β,
∵ △ADC≌△BFC,
∴ ∠CBF=∠CAD=α-β,
由(2)得∠ABF=2α-90°,
∴ 2α-90°+(α-β)=α,整理得 2α-β=90°.
13. 核心素养 几何直观 「2026山西长治期中节选」
【问题情境】
如图1,在四边形ABCD中,AD//BC,
∠A=90°,AB=BC=12 cm,AD=10 cm.动点P
从点A出发,以3 cm/s的速度沿AB方向向点
B匀速运动,连接BD,CP.设运动时间为t s.
【初步探究】
(1)如图1,若△ABD≌△BCP,求t的值.
【拓展延伸】
(2)如图2,当点P开始运动时,另一动点Q同
时从点C出发,以a cm/s的速度沿CB方
向向点B匀速运动,其中一点到达终点时,
另一点也随之停止运动.在P,Q运动的过
程中,若△ADP与△BQP全等,请求出此时
的a和t的值.
【问题情境】
如图1,在四边形ABCD中,AD//BC,
∠A=90°,AB=BC=12 cm,AD=10 cm.动点P
从点A出发,以3 cm/s的速度沿AB方向向点
B匀速运动,连接BD,CP.设运动时间为t s.
【初步探究】
(1)如图1,若△ABD≌△BCP,求t的值.
【拓展延伸】
(2)如图2,当点P开始运动时,另一动点Q同
时从点C出发,以a cm/s的速度沿CB方
向向点B匀速运动,其中一点到达终点时,
另一点也随之停止运动.在P,Q运动的过
程中,若△ADP与△BQP全等,请求出此时
的a和t的值.
答案
13.解析 (1)由题意得 AP=3t cm,
∵ △ABD≌△BCP,
∴ BP=AD=10 cm,
∴ AP=AB-BP=12-10=2(cm),
∴ 3t=2,解得 $t=\frac{2}{3}$.
(2)由题意得 AP=3t cm,CQ=at cm,
∴ BP=(12-3t)cm,BQ=(12-at)cm,
当△ADP≌△BQP 时,AD=BQ=10 cm,AP=BP,
∴ $\begin{cases}12-at=10,\\3t=12-3t,\end{cases}$ 解得 $\begin{cases}t=2,\\a=1.\end{cases}$
当△ADP≌△BPQ 时,AD=BP=10 cm,AP=BQ,
∴ $\begin{cases}12-3t=10,\\3t=12-at,\end{cases}$ 解得 $\begin{cases}t=\frac{2}{3},\\a=15.\end{cases}$
综上所述,若△ADP 与△BQP 全等,则 t=2,a=1 或 $t=\frac{2}{3},a=15$.
∵ △ABD≌△BCP,
∴ BP=AD=10 cm,
∴ AP=AB-BP=12-10=2(cm),
∴ 3t=2,解得 $t=\frac{2}{3}$.
(2)由题意得 AP=3t cm,CQ=at cm,
∴ BP=(12-3t)cm,BQ=(12-at)cm,
当△ADP≌△BQP 时,AD=BQ=10 cm,AP=BP,
∴ $\begin{cases}12-at=10,\\3t=12-3t,\end{cases}$ 解得 $\begin{cases}t=2,\\a=1.\end{cases}$
当△ADP≌△BPQ 时,AD=BP=10 cm,AP=BQ,
∴ $\begin{cases}12-3t=10,\\3t=12-at,\end{cases}$ 解得 $\begin{cases}t=\frac{2}{3},\\a=15.\end{cases}$
综上所述,若△ADP 与△BQP 全等,则 t=2,a=1 或 $t=\frac{2}{3},a=15$.
