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13 教材P150练习T2变式 计算：
(1) $(\dfrac{2ab^3}{-c^2d})^2 ÷ \dfrac{6a^4}{b^3} · (\dfrac{-3c}{b^2})^2$；
(2) $(\dfrac{a-b}{ab})^3 ÷ (b-a)^2 · (\dfrac{ab}{b-a})^2$。
(1) $(\dfrac{2ab^3}{-c^2d})^2 ÷ \dfrac{6a^4}{b^3} · (\dfrac{-3c}{b^2})^2$；
(2) $(\dfrac{a-b}{ab})^3 ÷ (b-a)^2 · (\dfrac{ab}{b-a})^2$。
答案
13. (1) $\frac{6b^5}{a^2 c^2 d^2}$ (2) $\frac{1}{a^2 b - ab^2}$
解析
【分析】
这两道题属于分式乘方与乘除混合运算题，解题遵循混合运算顺序：①先算乘方，依据分式乘方法则，将分子、分母分别乘方，同时注意符号的处理；②再把除法运算转化为乘法运算，即除以一个分式等于乘这个分式的倒数；③最后将所有分子相乘的积作为结果的分子，所有分母相乘的积作为结果的分母，约分化为最简分式即可。其中第(2)题要注意$a-b$和$b-a$互为相反数，偶次幂相等，即$(b-a)^2=(a-b)^2$，统一底数后再约分可避免符号错误。
【解析】
(1) 先计算乘方，再转化除法为乘法，最后约分计算：
$\begin{aligned}&(\dfrac{2ab^3}{-c^2d})^2 ÷ \dfrac{6a^4}{b^3} · (\dfrac{-3c}{b^2})^2\\=&\dfrac{4a^2b^6}{c^4d^2} · \dfrac{b^3}{6a^4} · \dfrac{9c^2}{b^4}\\=&\dfrac{4a^2b^6 · b^3 · 9c^2}{c^4d^2 · 6a^4 · b^4}\\=&\dfrac{36a^2b^9c^2}{6a^4b^4c^4d^2}\\=&\dfrac{6b^5}{a^2c^2d^2}\end{aligned}$
(2) 先计算乘方，统一$a-b$与$b-a$的底数，再转化除法为乘法，最后约分计算：
$\begin{aligned}&(\dfrac{a-b}{ab})^3 ÷ (b-a)^2 · (\dfrac{ab}{b-a})^2\\=&\dfrac{(a-b)^3}{a^3b^3} ÷ (a-b)^2 · \dfrac{a^2b^2}{(a-b)^2}\\=&\dfrac{(a-b)^3}{a^3b^3} · \dfrac{1}{(a-b)^2} · \dfrac{a^2b^2}{(a-b)^2}\\=&\dfrac{(a-b)^3 · a^2b^2}{a^3b^3 · (a-b)^2 · (a-b)^2}\\=&\dfrac{1}{ab(a-b)}\\=&\dfrac{1}{a^2b - ab^2}\end{aligned}$
【答案】
(1) $\frac{6b^5}{a^2 c^2 d^2}$；(2) $\frac{1}{a^2 b - ab^2}$
【知识点】
1. 分式乘方运算 2. 分式乘除混合运算 3. 分式约分
【点评】
本题主要考查分式乘方及乘除混合运算的规则，运算时要严格按照“先乘方、再乘除”的顺序计算，处理互为相反数的整式的幂时要注意符号转换，约分要彻底，最终结果需化为最简分式。
【难度系数】
0.7
这两道题属于分式乘方与乘除混合运算题，解题遵循混合运算顺序：①先算乘方，依据分式乘方法则，将分子、分母分别乘方，同时注意符号的处理；②再把除法运算转化为乘法运算，即除以一个分式等于乘这个分式的倒数；③最后将所有分子相乘的积作为结果的分子，所有分母相乘的积作为结果的分母，约分化为最简分式即可。其中第(2)题要注意$a-b$和$b-a$互为相反数，偶次幂相等，即$(b-a)^2=(a-b)^2$，统一底数后再约分可避免符号错误。
【解析】
(1) 先计算乘方，再转化除法为乘法，最后约分计算：
$\begin{aligned}&(\dfrac{2ab^3}{-c^2d})^2 ÷ \dfrac{6a^4}{b^3} · (\dfrac{-3c}{b^2})^2\\=&\dfrac{4a^2b^6}{c^4d^2} · \dfrac{b^3}{6a^4} · \dfrac{9c^2}{b^4}\\=&\dfrac{4a^2b^6 · b^3 · 9c^2}{c^4d^2 · 6a^4 · b^4}\\=&\dfrac{36a^2b^9c^2}{6a^4b^4c^4d^2}\\=&\dfrac{6b^5}{a^2c^2d^2}\end{aligned}$
(2) 先计算乘方，统一$a-b$与$b-a$的底数，再转化除法为乘法，最后约分计算：
$\begin{aligned}&(\dfrac{a-b}{ab})^3 ÷ (b-a)^2 · (\dfrac{ab}{b-a})^2\\=&\dfrac{(a-b)^3}{a^3b^3} ÷ (a-b)^2 · \dfrac{a^2b^2}{(a-b)^2}\\=&\dfrac{(a-b)^3}{a^3b^3} · \dfrac{1}{(a-b)^2} · \dfrac{a^2b^2}{(a-b)^2}\\=&\dfrac{(a-b)^3 · a^2b^2}{a^3b^3 · (a-b)^2 · (a-b)^2}\\=&\dfrac{1}{ab(a-b)}\\=&\dfrac{1}{a^2b - ab^2}\end{aligned}$
【答案】
(1) $\frac{6b^5}{a^2 c^2 d^2}$；(2) $\frac{1}{a^2 b - ab^2}$
【知识点】
1. 分式乘方运算 2. 分式乘除混合运算 3. 分式约分
【点评】
本题主要考查分式乘方及乘除混合运算的规则，运算时要严格按照“先乘方、再乘除”的顺序计算，处理互为相反数的整式的幂时要注意符号转换，约分要彻底，最终结果需化为最简分式。
【难度系数】
0.7
14 先化简$(a - 1) ÷ \frac{a^2 - 1}{a + 1} · \frac{a + 1}{ab^2}$，再选择你喜欢的整数$a,b$代入求值. 小雪计算这一题的过程如下：
解：原式$=(a - 1) ÷ \frac{(a + 1)(a - 1)}{ab^2}$ ①
$=(a - 1) · \frac{ab^2}{(a + 1)(a - 1)}$ ②
$=\frac{ab^2}{a + 1}$ ③.
当$a=1,b=1$时，原式$=\frac{1}{2}$ ④.
(1) 以上过程有两处关键性错误，第一次出错在第
(2) 请你写出此题正确的解答过程.
解：原式$=(a - 1) ÷ \frac{(a + 1)(a - 1)}{ab^2}$ ①
$=(a - 1) · \frac{ab^2}{(a + 1)(a - 1)}$ ②
$=\frac{ab^2}{a + 1}$ ③.
当$a=1,b=1$时，原式$=\frac{1}{2}$ ④.
(1) 以上过程有两处关键性错误，第一次出错在第
①
步(填序号)，原因：运算顺序错误
；还有第④
步出错(填序号)，原因：当$a=1$时，$\frac{a^2 - 1}{a + 1}=0$,原式无意义
.(2) 请你写出此题正确的解答过程.
答案
14. (1) ① 运算顺序错误 ④ 当$a=1$时，$\frac{a^2 - 1}{a + 1}=0$,原式无意义
(2) 原式$=(a - 1) · \frac{a + 1}{(a + 1)(a - 1)} · \frac{a + 1}{ab^2} = \frac{a + 1}{ab^2}$. 当$a=2,b=1$时,原式$=\frac{2+1}{2×1^2}=\frac{3}{2}$($a,b$的取值不唯一)
(2) 原式$=(a - 1) · \frac{a + 1}{(a + 1)(a - 1)} · \frac{a + 1}{ab^2} = \frac{a + 1}{ab^2}$. 当$a=2,b=1$时,原式$=\frac{2+1}{2×1^2}=\frac{3}{2}$($a,b$的取值不唯一)
解析
【分析】
这道题考查分式乘除混合运算及分式有意义的条件。解决第(1)问时，首先回忆分式乘除是同级运算，需遵循从左到右的运算顺序，其次分式的分母、除数都不能为0，据此排查错误步骤；解决第(2)问时，先将除法转化为乘法，再对分子分母因式分解，约分得到最简结果，最后选取使原式所有分式都有意义的整数a、b代入求值即可。
【解析】
(1) 对小雪的解题过程逐一分析：
第①步出错：分式乘除属于同级运算，应按照从左到右的顺序依次计算，小雪错误先计算了后面的乘法，属于运算顺序错误。
第④步出错：分式的除数不能为0，当$a=1$时，原式中除数$\frac{a^2-1}{a+1}=\frac{1-1}{2}=0$，此时原式无意义，因此a不能取1。
(2) 正确解答过程：
先将除法转化为乘法，再因式分解约分：
原式$=(a - 1) · \frac{a + 1}{a^2 - 1} · \frac{a + 1}{ab^2}$
将$a^2-1$因式分解为$(a+1)(a-1)$，代入得：
$=(a - 1) · \frac{a + 1}{(a + 1)(a - 1)} · \frac{a + 1}{ab^2}$
约去分子分母的公因式$(a-1)$、$(a+1)$（需满足$a≠±1$），得：
$=\frac{a + 1}{ab^2}$
选取使分式有意义的整数，如$a=2,b=1$（需满足$a≠0,a≠±1,b≠0$），代入得：
原式$=\frac{2+1}{2×1^2}=\frac{3}{2}$（a、b取值不唯一，符合要求即可）
【答案】
(1) ①，运算顺序错误；④，当$a=1$时，$\frac{a^2 - 1}{a + 1}=0$，原式无意义
(2) 化简结果为$\frac{a+1}{ab^2}$，当$a=2,b=1$时，值为$\frac{3}{2}$（取值合理即可）
【知识点】
分式乘除混合运算；分式有意义的条件；分式化简求值
【点评】
本题易错点有两个：一是进行分式乘除混合运算时忽略同级运算从左到右的顺序，随意结合计算；二是代入求值时忽略分式的分母、除数不能为0的限制，选取使原式无意义的数值。运算时要严格遵循运算规则，代入前先验证取值是否符合要求。
【难度系数】
0.7
这道题考查分式乘除混合运算及分式有意义的条件。解决第(1)问时，首先回忆分式乘除是同级运算，需遵循从左到右的运算顺序，其次分式的分母、除数都不能为0，据此排查错误步骤；解决第(2)问时，先将除法转化为乘法，再对分子分母因式分解，约分得到最简结果，最后选取使原式所有分式都有意义的整数a、b代入求值即可。
【解析】
(1) 对小雪的解题过程逐一分析：
第①步出错：分式乘除属于同级运算，应按照从左到右的顺序依次计算，小雪错误先计算了后面的乘法，属于运算顺序错误。
第④步出错：分式的除数不能为0，当$a=1$时，原式中除数$\frac{a^2-1}{a+1}=\frac{1-1}{2}=0$，此时原式无意义，因此a不能取1。
(2) 正确解答过程：
先将除法转化为乘法，再因式分解约分：
原式$=(a - 1) · \frac{a + 1}{a^2 - 1} · \frac{a + 1}{ab^2}$
将$a^2-1$因式分解为$(a+1)(a-1)$，代入得：
$=(a - 1) · \frac{a + 1}{(a + 1)(a - 1)} · \frac{a + 1}{ab^2}$
约去分子分母的公因式$(a-1)$、$(a+1)$（需满足$a≠±1$），得：
$=\frac{a + 1}{ab^2}$
选取使分式有意义的整数，如$a=2,b=1$（需满足$a≠0,a≠±1,b≠0$），代入得：
原式$=\frac{2+1}{2×1^2}=\frac{3}{2}$（a、b取值不唯一，符合要求即可）
【答案】
(1) ①，运算顺序错误；④，当$a=1$时，$\frac{a^2 - 1}{a + 1}=0$，原式无意义
(2) 化简结果为$\frac{a+1}{ab^2}$，当$a=2,b=1$时，值为$\frac{3}{2}$（取值合理即可）
【知识点】
分式乘除混合运算；分式有意义的条件；分式化简求值
【点评】
本题易错点有两个：一是进行分式乘除混合运算时忽略同级运算从左到右的顺序，随意结合计算；二是代入求值时忽略分式的分母、除数不能为0的限制，选取使原式无意义的数值。运算时要严格遵循运算规则，代入前先验证取值是否符合要求。
【难度系数】
0.7
15 先化简,再求值: $[\dfrac{xy}{(x-y)^2}]^2 · (\dfrac{x-y}{xy^2})^2 ÷ (\dfrac{1}{xy - y^2})^3$,其中 $x=-2,y=4$.
答案
15. 原式$=\frac{x^2 y^2}{(x-y)^4} · \frac{(x-y)^2}{x^2 y^4} · y^3 (x-y)^3 = y(x-y) = xy - y^2$. 当$x=-2,y=4$时,原式$=-2×4 - 4^2 = -24$
解析
【分析】
本题是分式的乘方、乘除混合运算的化简求值题，解题思路如下：第一步先根据分式乘方法则，分别计算三个分式的乘方，注意分子分母要分别乘方，对于多项式分母要先因式分解；第二步将除法运算转化为乘法运算，即乘以除式的倒数；第三步对分子分母的公因式进行约分，将原式化简为最简整式；最后代入x、y的取值计算结果，先化简再求值能大幅降低计算量，避免出错。
【解析】
解：先对第三个分式的分母因式分解，再计算乘方，将除法转化为乘法：
原式$=\frac{x^2 y^2}{(x-y)^4} · \frac{(x-y)^2}{x^2 y^4} ÷ [\frac{1}{y(x-y)}]^3$
$=\frac{x^2 y^2}{(x-y)^4} · \frac{(x-y)^2}{x^2 y^4} · y^3 (x-y)^3$
对分子分母约分：
分子的$x^2$与分母的$x^2$约去，分子的$y^2·y^3=y^5$与分母的$y^4$约去后剩$y$，分子的$(x-y)^2·(x-y)^3=(x-y)^5$与分母的$(x-y)^4$约去后剩$(x-y)$，因此化简得：
原式$=y(x-y)=xy-y^2$
将$x=-2,y=4$代入化简后的式子计算：
原式$=(-2)×4 - 4^2 = -8 - 16 = -24$
【答案】
$-24$
【知识点】
1.分式的乘方运算
2.分式的乘除混合运算
3.代数式化简求值
【点评】
本题重点考查分式乘除及乘方的混合运算规则，解题时要遵循先乘方、再乘除的运算顺序，遇到多项式要先因式分解再约分，可有效提升计算的准确率，切忌直接代入原式计算，避免复杂运算出错。
【难度系数】
0.7
本题是分式的乘方、乘除混合运算的化简求值题，解题思路如下：第一步先根据分式乘方法则，分别计算三个分式的乘方，注意分子分母要分别乘方，对于多项式分母要先因式分解；第二步将除法运算转化为乘法运算，即乘以除式的倒数；第三步对分子分母的公因式进行约分，将原式化简为最简整式；最后代入x、y的取值计算结果，先化简再求值能大幅降低计算量，避免出错。
【解析】
解：先对第三个分式的分母因式分解，再计算乘方，将除法转化为乘法：
原式$=\frac{x^2 y^2}{(x-y)^4} · \frac{(x-y)^2}{x^2 y^4} ÷ [\frac{1}{y(x-y)}]^3$
$=\frac{x^2 y^2}{(x-y)^4} · \frac{(x-y)^2}{x^2 y^4} · y^3 (x-y)^3$
对分子分母约分：
分子的$x^2$与分母的$x^2$约去，分子的$y^2·y^3=y^5$与分母的$y^4$约去后剩$y$，分子的$(x-y)^2·(x-y)^3=(x-y)^5$与分母的$(x-y)^4$约去后剩$(x-y)$，因此化简得：
原式$=y(x-y)=xy-y^2$
将$x=-2,y=4$代入化简后的式子计算：
原式$=(-2)×4 - 4^2 = -8 - 16 = -24$
【答案】
$-24$
【知识点】
1.分式的乘方运算
2.分式的乘除混合运算
3.代数式化简求值
【点评】
本题重点考查分式乘除及乘方的混合运算规则，解题时要遵循先乘方、再乘除的运算顺序，遇到多项式要先因式分解再约分，可有效提升计算的准确率，切忌直接代入原式计算，避免复杂运算出错。
【难度系数】
0.7
