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10.在$△ ABC$中，$BC=6$，$BC$边上的高$AD=4$，且$BD=2$，则$△ ACD$的面积为
8或16
。答案
10.8或16
解析
【分析】
本题需要考虑三角形高的位置的不确定性，三角形的高可能在三角形内部，也可能在三角形外部，因此需分两种情况讨论求解：先根据D点的不同位置计算CD的长度，再结合三角形面积公式计算△ACD的面积即可。
【解析】
分两种情况讨论：
① 当高AD在△ABC内部时，点D在线段BC上：
∵ BC=6，BD=2
∴ CD = BC - BD = 6 - 2 = 4
又
∵ AD是BC边上的高，AD=4
∴ $S_{△ ACD}=\frac{1}{2} × CD × AD = \frac{1}{2} × 4 × 4 = 8$
② 当高AD在△ABC外部时，点D在CB的延长线上：
∵ BC=6，BD=2
∴ CD = BC + BD = 6 + 2 = 8
又
∵ AD是BC边上的高，AD=4
∴ $S_{△ ACD}=\frac{1}{2} × CD × AD = \frac{1}{2} × 8 × 4 = 16$
综上，△ACD的面积为8或16。
【答案】
8或16
【知识点】
三角形的高；三角形面积计算；分类讨论思想
【点评】
本题的易错点是忽略高在三角形外部的情况，导致只算出8这一个结果，解题时要注意三角形高的位置存在多种可能，需全面讨论避免漏解。
【难度系数】
0.6
本题需要考虑三角形高的位置的不确定性，三角形的高可能在三角形内部，也可能在三角形外部，因此需分两种情况讨论求解：先根据D点的不同位置计算CD的长度，再结合三角形面积公式计算△ACD的面积即可。
【解析】
分两种情况讨论：
① 当高AD在△ABC内部时，点D在线段BC上：
∵ BC=6，BD=2
∴ CD = BC - BD = 6 - 2 = 4
又
∵ AD是BC边上的高，AD=4
∴ $S_{△ ACD}=\frac{1}{2} × CD × AD = \frac{1}{2} × 4 × 4 = 8$
② 当高AD在△ABC外部时，点D在CB的延长线上：
∵ BC=6，BD=2
∴ CD = BC + BD = 6 + 2 = 8
又
∵ AD是BC边上的高，AD=4
∴ $S_{△ ACD}=\frac{1}{2} × CD × AD = \frac{1}{2} × 8 × 4 = 16$
综上，△ACD的面积为8或16。
【答案】
8或16
【知识点】
三角形的高；三角形面积计算；分类讨论思想
【点评】
本题的易错点是忽略高在三角形外部的情况，导致只算出8这一个结果，解题时要注意三角形高的位置存在多种可能，需全面讨论避免漏解。
【难度系数】
0.6
11.如图,在$△ ABC$中,$∠ 1=∠ 2$,$G$为$AD$的中点,延长$BG$交$AC$于点$E$,$F$为$AB$上的一点,$CF⊥ AD$于点$H$.下列判断正确的是 （
A.$AD$是$△ ABE$的角平分线
B.$BE$是$△ ABD$的边$AD$上的中线
C.$CH$为$△ ACD$的边$AD$上的高
D.$AH$为$△ ABC$的角平分线
C
）A.$AD$是$△ ABE$的角平分线
B.$BE$是$△ ABD$的边$AD$上的中线
C.$CH$为$△ ACD$的边$AD$上的高
D.$AH$为$△ ABC$的角平分线
答案
11.C
解析
【分析】
解答本题首先要明确三角形的角平分线、中线、高的定义，解题时逐一将选项和对应定义比对即可判断正误：首先回忆三个概念：①三角形的角平分线：三角形一个内角的平分线与对边相交，角的顶点和交点间的线段；②三角形的中线：连接三角形一个顶点和它对边中点的线段；③三角形的高：从三角形一个顶点向对边作垂线，顶点和垂足间的线段。再逐个分析选项是否符合定义。
【解析】
我们逐个判断选项：
A选项：△ABE的角平分线需要平分∠BAE，且另一端点在边BE上，已知AD平分∠BAC，AD与BE交于点G，AD的端点D不在BE上，因此AD不是△ABE的角平分线，A错误。
B选项：△ABD的边AD上的中线，需要连接顶点B和AD的中点G，线段BG才是中线，BE的端点E不在AD上，因此BE不是△ABD边AD上的中线，B错误。
C选项：CH是从△ACD的顶点C向对边AD作的垂线段，垂足为H，完全符合三角形高的定义，因此CH是△ACD的边AD上的高，C正确。
D选项：△ABC的角平分线需要端点分别为A和BC边上的点，AH的端点H不在BC边上，因此AH不是△ABC的角平分线，D错误。
【答案】
C
【知识点】
三角形的角平分线；三角形的中线；三角形的高
【点评】
本题核心是考查对三角形三类基本线段定义的掌握，解题的关键是严格按照定义的要素（端点位置、线段特征）判断，注意不要混淆不同线段的要求。
【难度系数】
0.7
解答本题首先要明确三角形的角平分线、中线、高的定义，解题时逐一将选项和对应定义比对即可判断正误：首先回忆三个概念：①三角形的角平分线：三角形一个内角的平分线与对边相交，角的顶点和交点间的线段；②三角形的中线：连接三角形一个顶点和它对边中点的线段；③三角形的高：从三角形一个顶点向对边作垂线，顶点和垂足间的线段。再逐个分析选项是否符合定义。
【解析】
我们逐个判断选项：
A选项：△ABE的角平分线需要平分∠BAE，且另一端点在边BE上，已知AD平分∠BAC，AD与BE交于点G，AD的端点D不在BE上，因此AD不是△ABE的角平分线，A错误。
B选项：△ABD的边AD上的中线，需要连接顶点B和AD的中点G，线段BG才是中线，BE的端点E不在AD上，因此BE不是△ABD边AD上的中线，B错误。
C选项：CH是从△ACD的顶点C向对边AD作的垂线段，垂足为H，完全符合三角形高的定义，因此CH是△ACD的边AD上的高，C正确。
D选项：△ABC的角平分线需要端点分别为A和BC边上的点，AH的端点H不在BC边上，因此AH不是△ABC的角平分线，D错误。
【答案】
C
【知识点】
三角形的角平分线；三角形的中线；三角形的高
【点评】
本题核心是考查对三角形三类基本线段定义的掌握，解题的关键是严格按照定义的要素（端点位置、线段特征）判断，注意不要混淆不同线段的要求。
【难度系数】
0.7
12.如图,在$△ ABC$中,$AB=AC=5$,$BC=6$,$AD\bot BC$于点$D$,且$AD=4$.若点$P$在$AC$边上移动,则$BP$长度的最小值是
4.8
.答案
12.4.8
解析
【分析】
要得到BP的最小值，根据垂线段最短的性质，可知当BP垂直于AC时，BP的长度最小。此时可利用三角形面积的两种计算方法求解：先通过已知的底BC和对应高AD计算出△ABC的面积，再以AC为底，面积不变，即可求出对应高BP的长度，也就是BP的最小值。
【解析】
根据垂线段最短，当BP⊥AC时，BP的长度最小。
先计算△ABC的面积：
∵AD⊥BC，BC=6，AD=4
∴$S_{△ ABC}=\frac{1}{2} × BC × AD = \frac{1}{2} × 6 × 4 = 12$
当BP⊥AC时，△ABC的面积也可表示为：
$S_{△ ABC}=\frac{1}{2} × AC × BP$
已知AC=5，将面积代入得：
$\frac{1}{2} × 5 × BP = 12$
解得：$BP=\frac{24}{5}=4.8$
【答案】
4.8
【知识点】
垂线段最短；三角形面积计算；等面积法
【点评】
本题是几何求线段最值的典型题，解题的关键是先确定BP取最小值的位置，再灵活运用等面积法建立等式求解，能很好地考查学生对几何性质和面积公式的综合应用能力。
【难度系数】
0.7
要得到BP的最小值，根据垂线段最短的性质，可知当BP垂直于AC时，BP的长度最小。此时可利用三角形面积的两种计算方法求解：先通过已知的底BC和对应高AD计算出△ABC的面积，再以AC为底，面积不变，即可求出对应高BP的长度，也就是BP的最小值。
【解析】
根据垂线段最短，当BP⊥AC时，BP的长度最小。
先计算△ABC的面积：
∵AD⊥BC，BC=6，AD=4
∴$S_{△ ABC}=\frac{1}{2} × BC × AD = \frac{1}{2} × 6 × 4 = 12$
当BP⊥AC时，△ABC的面积也可表示为：
$S_{△ ABC}=\frac{1}{2} × AC × BP$
已知AC=5，将面积代入得：
$\frac{1}{2} × 5 × BP = 12$
解得：$BP=\frac{24}{5}=4.8$
【答案】
4.8
【知识点】
垂线段最短；三角形面积计算；等面积法
【点评】
本题是几何求线段最值的典型题，解题的关键是先确定BP取最小值的位置，再灵活运用等面积法建立等式求解，能很好地考查学生对几何性质和面积公式的综合应用能力。
【难度系数】
0.7
13.如图,在△ABC中,AD是中线,AB=10 cm,AC=6 cm.
(1)求△ABD与△ACD的周长之差.
(2)点E在边AB上,连接ED.若△BDE与四边形ACDE的周长相等,求线段AE的长.
(1)求△ABD与△ACD的周长之差.
(2)点E在边AB上,连接ED.若△BDE与四边形ACDE的周长相等,求线段AE的长.
答案
13.(1)4 cm (2)2 cm
解析
【分析】
(1) 求解两个三角形的周长差时，先根据AD是中线得出BD=CD，再分别写出两个三角形的周长表达式，观察可得BD、AD是两个周长的公共相等部分，因此周长差实际就是AB与AC的长度差，代入数值计算即可。
(2) 先分别写出△BDE和四边形ACDE的周长表达式，根据周长相等列等式，结合BD=CD、DE为公共边，消去相等的量后得到BE与AC、AE的等量关系，再结合BE=AB-AE，代入已知长度解方程即可求出AE的长。
【解析】
(1)
∵AD是△ABC的中线，
∴BD=CD。
△ABD的周长为$C_{△ ABD}=AB+BD+AD$，
△ACD的周长为$C_{△ ACD}=AC+CD+AD$，
则周长之差为：
$C_{△ ABD}-C_{△ ACD}=(AB+BD+AD)-(AC+CD+AD)=AB-AC$，
代入AB=10cm，AC=6cm，得差为$10-6=4\mathrm{cm}$。
(2)
∵△BDE与四边形ACDE的周长相等，
∴$BD+DE+BE=AC+CD+AE+DE$，
又
∵BD=CD，DE为公共边，
∴等式两边消去BD、CD、DE后得：$BE=AC+AE$，
∵$BE=AB-AE$，代入AB=10cm，AC=6cm得：
$10-AE=6+AE$，
移项合并得：$2AE=4$，
解得：$AE=2\mathrm{cm}$。
【答案】
(1) 4 cm；(2) 2 cm
【知识点】
三角形中线的定义；周长的计算；等量代换
【点评】
本题重点考查三角形中线的性质应用，解题时通过将周长关系转化为线段的等量关系，消去公共部分可大幅简化计算，是三角形部分的基础典型题，需要熟练掌握这类线段和差的转化方法。
【难度系数】
0.8
(1) 求解两个三角形的周长差时，先根据AD是中线得出BD=CD，再分别写出两个三角形的周长表达式，观察可得BD、AD是两个周长的公共相等部分，因此周长差实际就是AB与AC的长度差，代入数值计算即可。
(2) 先分别写出△BDE和四边形ACDE的周长表达式，根据周长相等列等式，结合BD=CD、DE为公共边，消去相等的量后得到BE与AC、AE的等量关系，再结合BE=AB-AE，代入已知长度解方程即可求出AE的长。
【解析】
(1)
∵AD是△ABC的中线，
∴BD=CD。
△ABD的周长为$C_{△ ABD}=AB+BD+AD$，
△ACD的周长为$C_{△ ACD}=AC+CD+AD$，
则周长之差为：
$C_{△ ABD}-C_{△ ACD}=(AB+BD+AD)-(AC+CD+AD)=AB-AC$，
代入AB=10cm，AC=6cm，得差为$10-6=4\mathrm{cm}$。
(2)
∵△BDE与四边形ACDE的周长相等，
∴$BD+DE+BE=AC+CD+AE+DE$，
又
∵BD=CD，DE为公共边，
∴等式两边消去BD、CD、DE后得：$BE=AC+AE$，
∵$BE=AB-AE$，代入AB=10cm，AC=6cm得：
$10-AE=6+AE$，
移项合并得：$2AE=4$，
解得：$AE=2\mathrm{cm}$。
【答案】
(1) 4 cm；(2) 2 cm
【知识点】
三角形中线的定义；周长的计算；等量代换
【点评】
本题重点考查三角形中线的性质应用，解题时通过将周长关系转化为线段的等量关系，消去公共部分可大幅简化计算，是三角形部分的基础典型题，需要熟练掌握这类线段和差的转化方法。
【难度系数】
0.8
变式微专题1 利用中线解决面积问题
▶方法指导 如图,在$△ ABC$中,AD是BC边上的中线,则有$S_{△ ABD}=S_{△ ACD}=\frac{1}{2}S_{△ ABC}$.
例 如图,在$△ ABC$中,D,E分别是BC,AD的中点,$△ ABC$的面积是16,则阴影部分的面积是
▶方法指导 如图,在$△ ABC$中,AD是BC边上的中线,则有$S_{△ ABD}=S_{△ ACD}=\frac{1}{2}S_{△ ABC}$.
例 如图,在$△ ABC$中,D,E分别是BC,AD的中点,$△ ABC$的面积是16,则阴影部分的面积是
4
.答案
【例】4
解析
【分析】
解题时先回忆三角形中线的性质：三角形的中线会把三角形分成两个等底同高的小三角形，二者面积相等，均为原三角形面积的一半。本题中有两个中点，对应两条中线，可两次运用该性质求解：首先根据D是BC中点，求出△ABD的面积，再根据E是AD中点，求出阴影部分的面积即可。
【解析】
解：
∵D是BC的中点，即AD是△ABC的BC边上的中线，
∴$S_{△ABD}=\frac{1}{2}S_{△ABC}$（三角形中线将三角形分为面积相等的两部分，两小三角形等底同高）。
已知$S_{△ABC}=16$，代入得$S_{△ABD}=\frac{1}{2}×16=8$。
又
∵E是AD的中点，即BE是△ABD的AD边上的中线，
∴$S_{阴影}=S_{△ABE}=\frac{1}{2}S_{△ABD}$，
代入得$S_{阴影}=\frac{1}{2}×8=4$。
【答案】
4
【知识点】
1. 三角形中线的性质
2. 等底同高三角形面积相等
【点评】
本题是三角形面积类的基础题型，核心考查三角形中线和面积的关系，解题的关键是找准中线对应的两个等面积三角形，多次运用中线的面积性质即可快速得出结果。
【难度系数】
0.8
解题时先回忆三角形中线的性质：三角形的中线会把三角形分成两个等底同高的小三角形，二者面积相等，均为原三角形面积的一半。本题中有两个中点，对应两条中线，可两次运用该性质求解：首先根据D是BC中点，求出△ABD的面积，再根据E是AD中点，求出阴影部分的面积即可。
【解析】
解：
∵D是BC的中点，即AD是△ABC的BC边上的中线，
∴$S_{△ABD}=\frac{1}{2}S_{△ABC}$（三角形中线将三角形分为面积相等的两部分，两小三角形等底同高）。
已知$S_{△ABC}=16$，代入得$S_{△ABD}=\frac{1}{2}×16=8$。
又
∵E是AD的中点，即BE是△ABD的AD边上的中线，
∴$S_{阴影}=S_{△ABE}=\frac{1}{2}S_{△ABD}$，
代入得$S_{阴影}=\frac{1}{2}×8=4$。
【答案】
4
【知识点】
1. 三角形中线的性质
2. 等底同高三角形面积相等
【点评】
本题是三角形面积类的基础题型，核心考查三角形中线和面积的关系，解题的关键是找准中线对应的两个等面积三角形，多次运用中线的面积性质即可快速得出结果。
【难度系数】
0.8
变式1 如图，BD是$△ ABC$的中线，G是BD上的一点，且$BG=2GD$，连接AG.若$△ ABC$的面积为6 $\mathrm{cm}^2$，则图中阴影部分的面积为
2
$\mathrm{cm}^2$.答案
【变式1】2
解析
【分析】
解题时先从已知条件BD是△ABC的中线入手，根据三角形中线的性质，中线可将三角形分成两个面积相等的小三角形，先求出△ABD的面积。再观察点G在BD上，阴影部分所在的△ABG和△ABD共顶点A、底边都在BD上，二者高相等，因此面积比等于对应底的长度比，结合BG=2GD的比例关系，即可求出阴影部分的面积。
【解析】
∵BD是△ABC的中线，
∴点D是AC的中点，△ABD和△CBD等底（AD=DC）、同高（点B到AC的垂线段长度），
∴$S_{△ ABD}=\frac{1}{2}S_{△ ABC}=\frac{1}{2}×6=3\ \mathrm{cm}^2$。
∵△ABG和△AGD同高（点A到BD的垂线段长度），且$BG=2GD$，
∴$S_{△ ABG}:S_{△ AGD}=BG:GD=2:1$，
∴$S_{△ ABG}=\frac{2}{2+1}S_{△ ABD}=\frac{2}{3}×3=2\ \mathrm{cm}^2$，即阴影部分面积为2$\mathrm{cm}^2$。
【答案】
2
【知识点】
三角形中线的性质；同高三角形面积比；三角形面积计算
【点评】
本题是基础的几何面积求解问题，核心考查对三角形中线分面积的性质、等高三角形面积与底的比例关系的运用，解题的关键是找到同高的三角形，利用线段比例推导面积比例。
【难度系数】
0.7
解题时先从已知条件BD是△ABC的中线入手，根据三角形中线的性质，中线可将三角形分成两个面积相等的小三角形，先求出△ABD的面积。再观察点G在BD上，阴影部分所在的△ABG和△ABD共顶点A、底边都在BD上，二者高相等，因此面积比等于对应底的长度比，结合BG=2GD的比例关系，即可求出阴影部分的面积。
【解析】
∵BD是△ABC的中线，
∴点D是AC的中点，△ABD和△CBD等底（AD=DC）、同高（点B到AC的垂线段长度），
∴$S_{△ ABD}=\frac{1}{2}S_{△ ABC}=\frac{1}{2}×6=3\ \mathrm{cm}^2$。
∵△ABG和△AGD同高（点A到BD的垂线段长度），且$BG=2GD$，
∴$S_{△ ABG}:S_{△ AGD}=BG:GD=2:1$，
∴$S_{△ ABG}=\frac{2}{2+1}S_{△ ABD}=\frac{2}{3}×3=2\ \mathrm{cm}^2$，即阴影部分面积为2$\mathrm{cm}^2$。
【答案】
2
【知识点】
三角形中线的性质；同高三角形面积比；三角形面积计算
【点评】
本题是基础的几何面积求解问题，核心考查对三角形中线分面积的性质、等高三角形面积与底的比例关系的运用，解题的关键是找到同高的三角形，利用线段比例推导面积比例。
【难度系数】
0.7
变式2 如图,在$△ ABC$中,$D,E,F$分别为$BC,AD,CE$的中点,且$S_{△ ABC}=4\ \mathrm{cm}^2$,则阴影部分的面积为
1
$\mathrm{cm}^2$.答案
【变式2】1
解析
【分析】
解题时我们可以利用三角形中线的性质：三角形的任意一条中线都会把三角形分成两个等底同高、面积相等的小三角形。我们从已知面积的大△ABC出发，依次根据各中点对应的中线，逐步推导相关小三角形的面积，最终算出阴影部分的面积即可。
【解析】
解：
∵点D是BC的中点，AD是△ABC的中线
∴$S_{△ ABD}=S_{△ ACD}=\frac{1}{2}S_{△ ABC}=\frac{1}{2}×4=2\ \mathrm{cm}^2$
∵点E是AD的中点，BE、CE分别是△ABD和△ACD的中线
∴$S_{△ BDE}=\frac{1}{2}S_{△ ABD}=1\ \mathrm{cm}^2$，$S_{△ CDE}=\frac{1}{2}S_{△ ACD}=1\ \mathrm{cm}^2$
∴$S_{△ BCE}=S_{△ BDE}+S_{△ CDE}=1+1=2\ \mathrm{cm}^2$
∵点F是CE的中点，BF是△BCE的中线
∴阴影部分面积$S_{\mathrm{阴影}}=\frac{1}{2}S_{△ BCE}=\frac{1}{2}×2=1\ \mathrm{cm}^2$
【答案】
1
【知识点】
三角形中线平分面积；等底同高三角形面积相等
【点评】
本题重点考查三角形中线的面积相关性质，解题时需要从已知条件出发，多次运用中线等分面积的结论逐步推导，熟练掌握该性质就能快速求出结果。
【难度系数】
0.7
解题时我们可以利用三角形中线的性质：三角形的任意一条中线都会把三角形分成两个等底同高、面积相等的小三角形。我们从已知面积的大△ABC出发，依次根据各中点对应的中线，逐步推导相关小三角形的面积，最终算出阴影部分的面积即可。
【解析】
解：
∵点D是BC的中点，AD是△ABC的中线
∴$S_{△ ABD}=S_{△ ACD}=\frac{1}{2}S_{△ ABC}=\frac{1}{2}×4=2\ \mathrm{cm}^2$
∵点E是AD的中点，BE、CE分别是△ABD和△ACD的中线
∴$S_{△ BDE}=\frac{1}{2}S_{△ ABD}=1\ \mathrm{cm}^2$，$S_{△ CDE}=\frac{1}{2}S_{△ ACD}=1\ \mathrm{cm}^2$
∴$S_{△ BCE}=S_{△ BDE}+S_{△ CDE}=1+1=2\ \mathrm{cm}^2$
∵点F是CE的中点，BF是△BCE的中线
∴阴影部分面积$S_{\mathrm{阴影}}=\frac{1}{2}S_{△ BCE}=\frac{1}{2}×2=1\ \mathrm{cm}^2$
【答案】
1
【知识点】
三角形中线平分面积；等底同高三角形面积相等
【点评】
本题重点考查三角形中线的面积相关性质，解题时需要从已知条件出发，多次运用中线等分面积的结论逐步推导，熟练掌握该性质就能快速求出结果。
【难度系数】
0.7
变式3 如图，$△ ABC$的中线$AD$，$CE$相交于点$F$.若四边形$BDFE$的面积是$2\ \mathrm{cm}^2$，则$△ ACF$的面积为
2
$\mathrm{cm}^2$.答案
【变式3】2
解析
【分析】
要解决这道题，我们可以利用三角形中线的性质逐步推导：首先，三角形的任意一条中线会把三角形分成两个面积相等的部分（依据是等底同高的三角形面积相等）。已知AD、CE都是△ABC的中线，因此△ABD和△ACE的面积都等于△ABC面积的一半，可得二者面积相等。观察两个三角形的组成：△ABD的面积 = △AEF的面积 + 四边形BDFE的面积，△ACE的面积 = △AEF的面积 + △ACF的面积。两个相等的面积同时减去公共部分△AEF的面积，剩下的部分面积仍然相等，即可直接求出△ACF的面积。
【解析】
解：
∵ AD是△ABC的中线，
∴ $S_{△ ABD} = S_{△ ACD} = \frac{1}{2}S_{△ ABC}$，
∵ CE是△ABC的中线，
∴ $S_{△ ACE} = S_{△ BCE} = \frac{1}{2}S_{△ ABC}$，
∴ $S_{△ ABD} = S_{△ ACE}$，
又
∵ $S_{△ ABD} = S_{△ AEF} + S_{四边形BDFE}$，$S_{△ ACE} = S_{△ AEF} + S_{△ ACF}$，
∴ $S_{△ AEF} + S_{四边形BDFE} = S_{△ AEF} + S_{△ ACF}$，
两边同时减去$S_{△ AEF}$，得：$S_{四边形BDFE} = S_{△ ACF}$，
∵ 四边形BDFE的面积是$2\ \mathrm{cm}^2$，
∴ $△ ACF$的面积为$2\ \mathrm{cm}^2$。
【答案】
2
【知识点】
1. 三角形中线的性质
2. 三角形面积计算
【点评】
本题核心考查三角形中线平分三角形面积的性质，解题时无需复杂计算，只需通过面积的和差关系转化即可得到结果，是三角形面积相关的典型基础题。
【难度系数】
0.7
要解决这道题，我们可以利用三角形中线的性质逐步推导：首先，三角形的任意一条中线会把三角形分成两个面积相等的部分（依据是等底同高的三角形面积相等）。已知AD、CE都是△ABC的中线，因此△ABD和△ACE的面积都等于△ABC面积的一半，可得二者面积相等。观察两个三角形的组成：△ABD的面积 = △AEF的面积 + 四边形BDFE的面积，△ACE的面积 = △AEF的面积 + △ACF的面积。两个相等的面积同时减去公共部分△AEF的面积，剩下的部分面积仍然相等，即可直接求出△ACF的面积。
【解析】
解：
∵ AD是△ABC的中线，
∴ $S_{△ ABD} = S_{△ ACD} = \frac{1}{2}S_{△ ABC}$，
∵ CE是△ABC的中线，
∴ $S_{△ ACE} = S_{△ BCE} = \frac{1}{2}S_{△ ABC}$，
∴ $S_{△ ABD} = S_{△ ACE}$，
又
∵ $S_{△ ABD} = S_{△ AEF} + S_{四边形BDFE}$，$S_{△ ACE} = S_{△ AEF} + S_{△ ACF}$，
∴ $S_{△ AEF} + S_{四边形BDFE} = S_{△ AEF} + S_{△ ACF}$，
两边同时减去$S_{△ AEF}$，得：$S_{四边形BDFE} = S_{△ ACF}$，
∵ 四边形BDFE的面积是$2\ \mathrm{cm}^2$，
∴ $△ ACF$的面积为$2\ \mathrm{cm}^2$。
【答案】
2
【知识点】
1. 三角形中线的性质
2. 三角形面积计算
【点评】
本题核心考查三角形中线平分三角形面积的性质，解题时无需复杂计算，只需通过面积的和差关系转化即可得到结果，是三角形面积相关的典型基础题。
【难度系数】
0.7
