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1 我国汉代的数学家赵爽在注解《周髀算经》时给出了“赵爽弦图”，是一种用面积证明勾股定理的方法.下列四幅图中,不能用面积证明勾股定理的是 (
D
)答案
1. D
解析
【分析】
要判断哪个图形不能用面积法证明勾股定理，核心思路是：分别用两种方法表示出对应图形的总面积，联立等式后化简，若能推导出$a^2+b^2=c^2$即可证明勾股定理，反之则不能，我们依次对四个选项的图形面积进行推导即可。
【解析】
我们逐个分析选项：
选项A（赵爽弦图）：大正方形边长为$c$，总面积为$c^2$；
图形由4个全等的直角三角形和1个小正方形组成，每个直角三角形面积为$\frac{1}{2}ab$，小正方形边长为$b-a$，总面积为$4×\frac{1}{2}ab + (b-a)^2$。
联立得：$c^2 = 2ab + a^2 - 2ab + b^2$，化简得$c^2=a^2+b^2$，可以证明勾股定理。
选项B：大正方形边长为$a+b$，总面积为$(a+b)^2$；
图形由4个全等的直角三角形和1个边长为$c$的正方形组成，总面积为$4×\frac{1}{2}ab + c^2$。
联立得：$a^2+2ab+b^2 = 2ab + c^2$，化简得$a^2+b^2=c^2$，可以证明勾股定理。
选项C：这是直角梯形，上底$a$、下底$b$、高$a+b$，总面积为$\frac{1}{2}(a+b)(a+b)$；
图形由2个全等的直角三角形和1个腰为$c$的等腰直角三角形组成，总面积为$2×\frac{1}{2}ab + \frac{1}{2}c^2$。
联立得：$\frac{1}{2}(a^2+2ab+b^2) = ab + \frac{1}{2}c^2$，两边乘2化简得$a^2+b^2=c^2$，可以证明勾股定理。
选项D：大正方形边长为$a+b$，总面积为$(a+b)^2$；
图形由2个边长分别为$a$、$b$的小正方形和2个长$a$宽$b$的长方形组成，总面积为$a^2 + b^2 + 2ab$。
联立得$(a+b)^2=a^2+2ab+b^2$，这是完全平方公式的恒等式，全程没有出现斜边$c$，无法推导出$a^2+b^2=c^2$，不能证明勾股定理。
【答案】
D
【知识点】
勾股定理的验证、面积法求面积、整式化简
【点评】
本题考查勾股定理的面积验证思路，核心是通过两种面积表示方法建立等式，化简后判断是否能得到勾股定理的表达式。要注意能验证勾股定理的图形中必须包含以斜边$c$为边的图形，D选项未涉及斜边$c$，可快速判断其无法证明。
【难度系数】
0.7
要判断哪个图形不能用面积法证明勾股定理，核心思路是：分别用两种方法表示出对应图形的总面积，联立等式后化简，若能推导出$a^2+b^2=c^2$即可证明勾股定理，反之则不能，我们依次对四个选项的图形面积进行推导即可。
【解析】
我们逐个分析选项：
选项A（赵爽弦图）：大正方形边长为$c$，总面积为$c^2$；
图形由4个全等的直角三角形和1个小正方形组成，每个直角三角形面积为$\frac{1}{2}ab$，小正方形边长为$b-a$，总面积为$4×\frac{1}{2}ab + (b-a)^2$。
联立得：$c^2 = 2ab + a^2 - 2ab + b^2$，化简得$c^2=a^2+b^2$，可以证明勾股定理。
选项B：大正方形边长为$a+b$，总面积为$(a+b)^2$；
图形由4个全等的直角三角形和1个边长为$c$的正方形组成，总面积为$4×\frac{1}{2}ab + c^2$。
联立得：$a^2+2ab+b^2 = 2ab + c^2$，化简得$a^2+b^2=c^2$，可以证明勾股定理。
选项C：这是直角梯形，上底$a$、下底$b$、高$a+b$，总面积为$\frac{1}{2}(a+b)(a+b)$；
图形由2个全等的直角三角形和1个腰为$c$的等腰直角三角形组成，总面积为$2×\frac{1}{2}ab + \frac{1}{2}c^2$。
联立得：$\frac{1}{2}(a^2+2ab+b^2) = ab + \frac{1}{2}c^2$，两边乘2化简得$a^2+b^2=c^2$，可以证明勾股定理。
选项D：大正方形边长为$a+b$，总面积为$(a+b)^2$；
图形由2个边长分别为$a$、$b$的小正方形和2个长$a$宽$b$的长方形组成，总面积为$a^2 + b^2 + 2ab$。
联立得$(a+b)^2=a^2+2ab+b^2$，这是完全平方公式的恒等式，全程没有出现斜边$c$，无法推导出$a^2+b^2=c^2$，不能证明勾股定理。
【答案】
D
【知识点】
勾股定理的验证、面积法求面积、整式化简
【点评】
本题考查勾股定理的面积验证思路，核心是通过两种面积表示方法建立等式，化简后判断是否能得到勾股定理的表达式。要注意能验证勾股定理的图形中必须包含以斜边$c$为边的图形，D选项未涉及斜边$c$，可快速判断其无法证明。
【难度系数】
0.7
2 “面积法”是验证勾股定理的常用方法. 将两个全等的直角三角形按如图所示的方式摆放,其中$∠ DAB=90°$. 试说明:$a^2+b^2=c^2$.
请补全下面的说理过程.
解:如图,连接$BD$,过点$B$作边$DE$上的高,交$DE$的延长线于点$F$,易得$BF=b-a$.
因为 $S_{\mathrm{五边形}ACBED} = S_{△ AED} + S_{\mathrm{梯形}BCAE} = \_\_\_\_\_\_$,
$S_{\mathrm{五边形}ACBED} = S_{△ ACB} + S_{△ ABD} + S_{△ BDE} = \_\_\_\_\_\_$,
所以 ______.
所以$a^2+b^2=c^2$.
请补全下面的说理过程.
解:如图,连接$BD$,过点$B$作边$DE$上的高,交$DE$的延长线于点$F$,易得$BF=b-a$.
因为 $S_{\mathrm{五边形}ACBED} = S_{△ AED} + S_{\mathrm{梯形}BCAE} = \_\_\_\_\_\_$,
$S_{\mathrm{五边形}ACBED} = S_{△ ACB} + S_{△ ABD} + S_{△ BDE} = \_\_\_\_\_\_$,
所以 ______.
所以$a^2+b^2=c^2$.
答案
2. $\frac{1}{2}ab+\frac{1}{2}(a+b)b$ $\frac{1}{2}ab+\frac{1}{2}c^2+\frac{1}{2}a(b-a)$ $\frac{1}{2}ab+\frac{1}{2}(a+b)b=\frac{1}{2}ab+\frac{1}{2}c^2+\frac{1}{2}a(b-a)$
解析
【分析】
本题利用面积法验证勾股定理，解题核心是将同一个五边形ACBED用两种不同的方式拆分计算面积，根据面积相等建立等式，再通过整式化简推导出勾股定理。第一步先计算“△AED+梯形BCAE”的面积和：分别求出直角三角形AED的面积、上底为a下底为b高为b的梯形BCAE的面积，相加得到第一个五边形面积表达式；第二步计算“△ACB+△ABD+△BDE”的面积和：分别求出直角三角形ACB、直角边为c的等腰直角三角形ABD、底为a高为(b-a)的三角形BDE的面积，相加得到第二个五边形面积表达式；第三步令两个表达式相等，化简后即可得到$a^2+b^2=c^2$。
【解析】
1. 计算第一种拆分的五边形面积：
△AED是直角三角形，直角边长分别为a、b，面积为$\frac{1}{2}ab$；
梯形BCAE的上底长为a，下底长为b，高为b，根据梯形面积公式得面积为$\frac{1}{2}(a+b)b$；
因此$S_{\mathrm{五边形}ACBED} = \frac{1}{2}ab+\frac{1}{2}(a+b)b$。
2. 计算第二种拆分的五边形面积：
△ACB是直角三角形，直角边长分别为a、b，面积为$\frac{1}{2}ab$；
△ABD是直角三角形，$∠ DAB=90°$，直角边长均为c，面积为$\frac{1}{2}c^2$；
△BDE的底边长为a，DE边上的高$BF=b-a$，面积为$\frac{1}{2}a(b-a)$；
因此$S_{\mathrm{五边形}ACBED} = \frac{1}{2}ab+\frac{1}{2}c^2+\frac{1}{2}a(b-a)$。
3. 因为两个表达式均为五边形ACBED的面积，所以二者相等，即：
$\frac{1}{2}ab+\frac{1}{2}(a+b)b=\frac{1}{2}ab+\frac{1}{2}c^2+\frac{1}{2}a(b-a)$
等式两边同时减去$\frac{1}{2}ab$，再左右两边同乘2，展开化简后即可得到$a^2+b^2=c^2$。
【答案】
$\frac{1}{2}ab+\frac{1}{2}(a+b)b$；$\frac{1}{2}ab+\frac{1}{2}c^2+\frac{1}{2}a(b-a)$；$\frac{1}{2}ab+\frac{1}{2}(a+b)b=\frac{1}{2}ab+\frac{1}{2}c^2+\frac{1}{2}a(b-a)$
【知识点】
勾股定理验证；面积法计算；整式化简
【点评】
本题是面积法验证勾股定理的典型习题，通过对同一图形的不同面积拆分建立等量关系，既考查了基础图形的面积计算能力，也锻炼了代数化简推导的能力，能帮助学生深入理解勾股定理的推导逻辑。
【难度系数】
0.7
本题利用面积法验证勾股定理，解题核心是将同一个五边形ACBED用两种不同的方式拆分计算面积，根据面积相等建立等式，再通过整式化简推导出勾股定理。第一步先计算“△AED+梯形BCAE”的面积和：分别求出直角三角形AED的面积、上底为a下底为b高为b的梯形BCAE的面积，相加得到第一个五边形面积表达式；第二步计算“△ACB+△ABD+△BDE”的面积和：分别求出直角三角形ACB、直角边为c的等腰直角三角形ABD、底为a高为(b-a)的三角形BDE的面积，相加得到第二个五边形面积表达式；第三步令两个表达式相等，化简后即可得到$a^2+b^2=c^2$。
【解析】
1. 计算第一种拆分的五边形面积：
△AED是直角三角形，直角边长分别为a、b，面积为$\frac{1}{2}ab$；
梯形BCAE的上底长为a，下底长为b，高为b，根据梯形面积公式得面积为$\frac{1}{2}(a+b)b$；
因此$S_{\mathrm{五边形}ACBED} = \frac{1}{2}ab+\frac{1}{2}(a+b)b$。
2. 计算第二种拆分的五边形面积：
△ACB是直角三角形，直角边长分别为a、b，面积为$\frac{1}{2}ab$；
△ABD是直角三角形，$∠ DAB=90°$，直角边长均为c，面积为$\frac{1}{2}c^2$；
△BDE的底边长为a，DE边上的高$BF=b-a$，面积为$\frac{1}{2}a(b-a)$；
因此$S_{\mathrm{五边形}ACBED} = \frac{1}{2}ab+\frac{1}{2}c^2+\frac{1}{2}a(b-a)$。
3. 因为两个表达式均为五边形ACBED的面积，所以二者相等，即：
$\frac{1}{2}ab+\frac{1}{2}(a+b)b=\frac{1}{2}ab+\frac{1}{2}c^2+\frac{1}{2}a(b-a)$
等式两边同时减去$\frac{1}{2}ab$，再左右两边同乘2，展开化简后即可得到$a^2+b^2=c^2$。
【答案】
$\frac{1}{2}ab+\frac{1}{2}(a+b)b$；$\frac{1}{2}ab+\frac{1}{2}c^2+\frac{1}{2}a(b-a)$；$\frac{1}{2}ab+\frac{1}{2}(a+b)b=\frac{1}{2}ab+\frac{1}{2}c^2+\frac{1}{2}a(b-a)$
【知识点】
勾股定理验证；面积法计算；整式化简
【点评】
本题是面积法验证勾股定理的典型习题，通过对同一图形的不同面积拆分建立等量关系，既考查了基础图形的面积计算能力，也锻炼了代数化简推导的能力，能帮助学生深入理解勾股定理的推导逻辑。
【难度系数】
0.7
3 教材 P8 习题 T3 变式 如图,一棵大树被大风刮断后,折断处 B 离地面 8 m,树的顶端 A 与树根 C 的距离为 6 m,则这棵树在折断之前的高度是（
A.24 m
B.18 m
C.14 m
D.10 m
（第3题）
B
）A.24 m
B.18 m
C.14 m
D.10 m
（第3题）答案
3. B
解析
【分析】
首先观察图形可知△ABC为直角三角形，∠C=90°，题目已知未折断的竖直部分BC长8m，树顶端到树根的水平距离AC长6m。解题时先利用勾股定理求出折断部分AB的长度，再将AB的长度与未折断的BC长度相加，即可得到树折断之前的总高度。
【解析】
由题意得：∠C=90°，BC=8m，AC=6m。
在Rt△ABC中，根据勾股定理：
$AB^2 = AC^2 + BC^2$
代入数值计算：$AB^2 = 6^2 + 8^2 = 36 + 64 = 100$
因此$AB = 10\mathrm{m}$（线段长度取正数）
则树折断前的高度为$AB + BC = 10 + 8 = 18\mathrm{m}$
【答案】
B
【知识点】
勾股定理；实际问题几何建模
【点评】
本题是勾股定理在生活场景中的基础应用，解题核心是将实际问题转化为直角三角形的边长求解问题，掌握勾股定理的基本公式即可顺利作答。
【难度系数】
0.8
首先观察图形可知△ABC为直角三角形，∠C=90°，题目已知未折断的竖直部分BC长8m，树顶端到树根的水平距离AC长6m。解题时先利用勾股定理求出折断部分AB的长度，再将AB的长度与未折断的BC长度相加，即可得到树折断之前的总高度。
【解析】
由题意得：∠C=90°，BC=8m，AC=6m。
在Rt△ABC中，根据勾股定理：
$AB^2 = AC^2 + BC^2$
代入数值计算：$AB^2 = 6^2 + 8^2 = 36 + 64 = 100$
因此$AB = 10\mathrm{m}$（线段长度取正数）
则树折断前的高度为$AB + BC = 10 + 8 = 18\mathrm{m}$
【答案】
B
【知识点】
勾股定理；实际问题几何建模
【点评】
本题是勾股定理在生活场景中的基础应用，解题核心是将实际问题转化为直角三角形的边长求解问题，掌握勾股定理的基本公式即可顺利作答。
【难度系数】
0.8
4 如图，原来从A村到B村需要沿路线A→C→B(∠C=90°)绕过A村、B村之间的山.打通A村、B村之间的隧道后,可以直接从A村到B村.若AC=12 km,BC=16 km,则打通隧道后,从A村到B村的路程比原来减少（
A.5 km
B.8 km
C.10 km
D.20 km
B
）A.5 km
B.8 km
C.10 km
D.20 km
答案
4. B
解析
【分析】
要计算打通隧道后路程减少多少，需先分别求出原来的路程和现在的路程，再作差即可。解题思路如下：①先计算原路线A→C→B的总长度，即AC与BC的长度和；②已知△ABC是直角三角形，∠C=90°，利用勾股定理求出斜边AB的长度，也就是打通隧道后的路程；③用原路程减去现路程，得到减少的路程，对应选项选出答案。
【解析】
解：首先计算原路线A→C→B的总路程：
原路程 = AC + BC = 12 + 16 = 28（km）
∵ ∠C=90°，
∴ △ABC是直角三角形，根据勾股定理可得：
$AB^2 = AC^2 + BC^2$
代入AC=12km，BC=16km得：
$AB^2 = 12^2 + 16^2 = 144 + 256 = 400$
∴ $AB = \sqrt{400} = 20$（km）
则路程减少的长度为：$28 - 20 = 8$（km）
故选B。
【答案】
B
【知识点】
勾股定理的应用；路程差计算
【点评】
本题是勾股定理在实际生活中的基础应用题，解题的核心是明确减少的路程为原路径总长度与新路径长度的差值，结合直角三角形的特征，正确运用勾股定理求出斜边AB的长度即可解题。
【难度系数】
0.8
要计算打通隧道后路程减少多少，需先分别求出原来的路程和现在的路程，再作差即可。解题思路如下：①先计算原路线A→C→B的总长度，即AC与BC的长度和；②已知△ABC是直角三角形，∠C=90°，利用勾股定理求出斜边AB的长度，也就是打通隧道后的路程；③用原路程减去现路程，得到减少的路程，对应选项选出答案。
【解析】
解：首先计算原路线A→C→B的总路程：
原路程 = AC + BC = 12 + 16 = 28（km）
∵ ∠C=90°，
∴ △ABC是直角三角形，根据勾股定理可得：
$AB^2 = AC^2 + BC^2$
代入AC=12km，BC=16km得：
$AB^2 = 12^2 + 16^2 = 144 + 256 = 400$
∴ $AB = \sqrt{400} = 20$（km）
则路程减少的长度为：$28 - 20 = 8$（km）
故选B。
【答案】
B
【知识点】
勾股定理的应用；路程差计算
【点评】
本题是勾股定理在实际生活中的基础应用题，解题的核心是明确减少的路程为原路径总长度与新路径长度的差值，结合直角三角形的特征，正确运用勾股定理求出斜边AB的长度即可解题。
【难度系数】
0.8
5 如图，一辆汽车在一条城市街道上沿直道行驶，某一时刻刚好行驶到路对面车速检测仪A处的正前方30 m的C处，过了2 s后，测得汽车行驶到对向车道的B处，与车速检测仪间距离为50 m，求这辆汽车的速度。
车速检测仪
车速检测仪
答案
5. 在$\mathrm{Rt}△ABC$中,$AC=30\ \mathrm{m}$,$AB=50\ \mathrm{m}$,根据勾股定理,得$AB^2=BC^2+AC^2$,即$50^2=BC^2+30^2$,所以$BC=40\ \mathrm{m}$.$40÷2=20(\mathrm{m/s})$,$20\ \mathrm{m/s}=72\ \mathrm{km/h}$,所以这辆汽车的速度是$72\ \mathrm{km/h}$
解析
【分析】
首先观察图形可知△ABC是直角三角形，∠C为直角，已知直角边AC=30m，斜边AB=50m，我们可以先利用勾股定理求出汽车2秒行驶的路程BC的长度，再根据“速度=路程÷时间”计算出汽车的速度，最后将速度单位从m/s换算为km/h即可。
【解析】
由题意得$AC⊥ BC$，即$△ ABC$是直角三角形，$∠ C=90°$。
已知$AC=30\ \mathrm{m}$，$AB=50\ \mathrm{m}$，根据勾股定理：
$AB^2=AC^2+BC^2$
代入数值可得：
$50^2=30^2+BC^2$
解得$BC=\sqrt{50^2-30^2}=\sqrt{2500-900}=\sqrt{1600}=40\ \mathrm{m}$
汽车行驶BC段路程所用时间为$2\ \mathrm{s}$，因此汽车速度为：
$v=\frac{BC}{t}=\frac{40}{2}=20\ \mathrm{m/s}$
换算单位：$20\ \mathrm{m/s}=20×3.6\ \mathrm{km/h}=72\ \mathrm{km/h}$
【答案】
这辆汽车的速度是$\boxed{72\ \mathrm{km/h}}$
【知识点】
勾股定理的应用；速度计算；单位换算
【点评】
本题是勾股定理结合行程问题的实际应用题，解题核心是将实际场景中的距离关系转化为直角三角形的边长求解问题，计算难度较低，需注意速度单位的换算规则，避免单位错误。
【难度系数】
0.8
首先观察图形可知△ABC是直角三角形，∠C为直角，已知直角边AC=30m，斜边AB=50m，我们可以先利用勾股定理求出汽车2秒行驶的路程BC的长度，再根据“速度=路程÷时间”计算出汽车的速度，最后将速度单位从m/s换算为km/h即可。
【解析】
由题意得$AC⊥ BC$，即$△ ABC$是直角三角形，$∠ C=90°$。
已知$AC=30\ \mathrm{m}$，$AB=50\ \mathrm{m}$，根据勾股定理：
$AB^2=AC^2+BC^2$
代入数值可得：
$50^2=30^2+BC^2$
解得$BC=\sqrt{50^2-30^2}=\sqrt{2500-900}=\sqrt{1600}=40\ \mathrm{m}$
汽车行驶BC段路程所用时间为$2\ \mathrm{s}$，因此汽车速度为：
$v=\frac{BC}{t}=\frac{40}{2}=20\ \mathrm{m/s}$
换算单位：$20\ \mathrm{m/s}=20×3.6\ \mathrm{km/h}=72\ \mathrm{km/h}$
【答案】
这辆汽车的速度是$\boxed{72\ \mathrm{km/h}}$
【知识点】
勾股定理的应用；速度计算；单位换算
【点评】
本题是勾股定理结合行程问题的实际应用题，解题核心是将实际场景中的距离关系转化为直角三角形的边长求解问题，计算难度较低，需注意速度单位的换算规则，避免单位错误。
【难度系数】
0.8
