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9 教材P93习题T3变式 已知正比例函数$y=kx$($k≠0$)的图象经过点$(3,-6)$.
(1) 求出该正比例函数的表达式；
(2) 在如图所示的平面直角坐标系中画出这个函数的图象；
(3) 判断点$A(4,-2),B(-1.5,3)$是否在这个函数的图象上；
(4) 若图象经过$C(x_1,y_1),D(x_2,y_2)$两点，且$x_1＞x_2$，比较$y_1,y_2$的大小.
(1) 求出该正比例函数的表达式；
(2) 在如图所示的平面直角坐标系中画出这个函数的图象；
(3) 判断点$A(4,-2),B(-1.5,3)$是否在这个函数的图象上；
(4) 若图象经过$C(x_1,y_1),D(x_2,y_2)$两点，且$x_1＞x_2$，比较$y_1,y_2$的大小.
答案
9. (1) 将$(3,-6)$代入$y=kx(k≠0)$，得$-6=3k$，解得$k=-2$。所以该正比例函数的表达式为$y=-2x$
(2) 如图所示
(3) 将$x=4$代入$y=-2x$，得$y=-2×4=-8≠-2$。所以点A不在这个函数的图象上。将$x=-1.5$代入$y=-2x$，得$y=-2×(-1.5)=3$。所以点B在这个函数的图象上
(4) 因为$k=-2＜0$，所以$y$的值随着$x$值的增大而减小。因为$x_1＞x_2$，所以$y_1＜y_2$
解析
【分析】
本题是正比例函数的基础综合题，解题思路清晰：(1) 求正比例函数表达式时，由于仅含一个待定系数k，将已知点坐标代入解析式，求解关于k的一元一次方程即可得到函数表达式；(2) 画正比例函数图象时，利用其图象是过原点的直线的特点，只需再确定一个除原点外的点，连接两点即可画出图象；(3) 判断点是否在函数图象上，只需将点的横坐标代入函数表达式，将计算得到的y值与点的纵坐标比较，相等则点在图象上，反之不在；(4) 比较函数值大小时，先根据k的正负判断函数的增减性，再结合自变量的大小关系即可得到函数值的大小关系。
【解析】
(1) 把点$(3,-6)$代入$y=kx(k≠0)$，可得$-6=3k$，解得$k=-2$，即可得到函数表达式；
(2) 正比例函数图象是过原点的直线，取点$(0,0)$和$(1,-2)$，连接两点即可得到$y=-2x$的图象；
(3) 分别将点A、B的横坐标代入函数表达式计算y值，和点自带的纵坐标对比，判断是否在图象上；
(4) 由$k=-2＜0$可得y随x的增大而减小，结合$x_1＞x_2$即可比较$y_1$和$y_2$的大小。
【答案】
(1) 将$(3,-6)$代入$y=kx(k≠0)$，得$-6=3k$，解得$k=-2$。所以该正比例函数的表达式为$y=-2x$
(2) 如图所示
(3) 将$x=4$代入$y=-2x$，得$y=-2×4=-8≠-2$。所以点A不在这个函数的图象上。将$x=-1.5$代入$y=-2x$，得$y=-2×(-1.5)=3$。所以点B在这个函数的图象上
(4) 因为$k=-2＜0$，所以$y$的值随着$x$值的增大而减小。因为$x_1＞x_2$，所以$y_1＜y_2$
【知识点】
待定系数法求解析式，正比例函数的性质，函数图象上点的特征
【点评】
本题是正比例函数的典型基础题，全面考查了正比例函数相关的核心基础考点，解题的关键是熟练掌握对应的基础方法，这类题是后续学习一次函数的重要基础，需牢固掌握。
【难度系数】
0.85
本题是正比例函数的基础综合题，解题思路清晰：(1) 求正比例函数表达式时，由于仅含一个待定系数k，将已知点坐标代入解析式，求解关于k的一元一次方程即可得到函数表达式；(2) 画正比例函数图象时，利用其图象是过原点的直线的特点，只需再确定一个除原点外的点，连接两点即可画出图象；(3) 判断点是否在函数图象上，只需将点的横坐标代入函数表达式，将计算得到的y值与点的纵坐标比较，相等则点在图象上，反之不在；(4) 比较函数值大小时，先根据k的正负判断函数的增减性，再结合自变量的大小关系即可得到函数值的大小关系。
【解析】
(1) 把点$(3,-6)$代入$y=kx(k≠0)$，可得$-6=3k$，解得$k=-2$，即可得到函数表达式；
(2) 正比例函数图象是过原点的直线，取点$(0,0)$和$(1,-2)$，连接两点即可得到$y=-2x$的图象；
(3) 分别将点A、B的横坐标代入函数表达式计算y值，和点自带的纵坐标对比，判断是否在图象上；
(4) 由$k=-2＜0$可得y随x的增大而减小，结合$x_1＞x_2$即可比较$y_1$和$y_2$的大小。
【答案】
(1) 将$(3,-6)$代入$y=kx(k≠0)$，得$-6=3k$，解得$k=-2$。所以该正比例函数的表达式为$y=-2x$
(2) 如图所示
(3) 将$x=4$代入$y=-2x$，得$y=-2×4=-8≠-2$。所以点A不在这个函数的图象上。将$x=-1.5$代入$y=-2x$，得$y=-2×(-1.5)=3$。所以点B在这个函数的图象上
(4) 因为$k=-2＜0$，所以$y$的值随着$x$值的增大而减小。因为$x_1＞x_2$，所以$y_1＜y_2$
【知识点】
待定系数法求解析式，正比例函数的性质，函数图象上点的特征
【点评】
本题是正比例函数的典型基础题，全面考查了正比例函数相关的核心基础考点，解题的关键是熟练掌握对应的基础方法，这类题是后续学习一次函数的重要基础，需牢固掌握。
【难度系数】
0.85
10 新情境 学科融合 如图所示为光从空气进入水中的光路图，若建立平面直角坐标系，并设入水前与入水后光线所在直线对应的函数表达式分别为$y=k_1x$，$y=k_2x$，则关于$k_1$与$k_2$的大小关系，正确的是（
A.$k_2＜0＜k_1$
B.$k_1＜0＜k_2$
C.$k_1＜k_2＜0$
D.$k_2＜k_1＜0$
D
）A.$k_2＜0＜k_1$
B.$k_1＜0＜k_2$
C.$k_1＜k_2＜0$
D.$k_2＜k_1＜0$
答案
10. D
解析
【分析】解题时先回忆正比例函数$y=kx$的核心性质：$k$的符号决定直线经过的象限，$k＞0$时直线过一、三象限，$k＜0$时直线过二、四象限；$|k|$的大小决定直线的倾斜程度，$|k|$越大，直线越陡。先判断$k_1$、$k_2$的符号排除错误选项，再结合倾斜程度和负数比较大小的规则，就能确定二者的大小关系。
【解析】
1. 判断$k$的符号：观察图像可知直线$y=k_1x$和$y=k_2x$都经过第二、四象限，根据正比例函数性质可得$k_1＜0$，$k_2＜0$，因此排除A、B选项。
2. 比较$|k_1|$和$|k_2|$的大小：直线越陡，对应$|k|$越大，从图中可看出$y=k_2x$比$y=k_1x$更陡，因此$|k_2|＞|k_1|$。
3. 比较负数的大小：两个负数比较大小，绝对值大的数更小，结合$|k_2|＞|k_1|$且二者都小于0，可得$k_2＜k_1＜0$。
综上，答案选D。
【答案】D
【知识点】正比例函数的图象与性质，负数的大小比较
【点评】本题结合光的折射现象考查正比例函数的性质，属于跨学科融合类题型，解题的关键是熟练掌握正比例函数中$k$的几何意义，结合负数比较大小的规则即可快速求解。
【难度系数】0.7
【解析】
1. 判断$k$的符号：观察图像可知直线$y=k_1x$和$y=k_2x$都经过第二、四象限，根据正比例函数性质可得$k_1＜0$，$k_2＜0$，因此排除A、B选项。
2. 比较$|k_1|$和$|k_2|$的大小：直线越陡，对应$|k|$越大，从图中可看出$y=k_2x$比$y=k_1x$更陡，因此$|k_2|＞|k_1|$。
3. 比较负数的大小：两个负数比较大小，绝对值大的数更小，结合$|k_2|＞|k_1|$且二者都小于0，可得$k_2＜k_1＜0$。
综上，答案选D。
【答案】D
【知识点】正比例函数的图象与性质，负数的大小比较
【点评】本题结合光的折射现象考查正比例函数的性质，属于跨学科融合类题型，解题的关键是熟练掌握正比例函数中$k$的几何意义，结合负数比较大小的规则即可快速求解。
【难度系数】0.7
11 若正比例函数 $ y=(m-3)x $ 的图象经过点 $ A(x_1,y_1), B(x_2,y_2) $，当 $ x_1＜x_2 $ 时，$ y_1＞y_2 $，则 $ m $ 的取值范围是（
A.$ m＞3 $
B.$ m＜3 $
C.$ m＜0 $
D.$ m＞0 $
B
）A.$ m＞3 $
B.$ m＜3 $
C.$ m＜0 $
D.$ m＞0 $
答案
11. B 【解析】由当$x_1＜x_2$时，$y_1＞y_2$，可知$y$随$x$的增大而减小，所以$m-3＜0$，即$m＜3$。
解析
【分析】
首先回忆正比例函数的性质：正比例函数$y=kx$（$k≠0$）的增减性由$k$的符号决定，当$k＜0$时，$y$随$x$的增大而减小；当$k＞0$时，$y$随$x$的增大而增大。本题已知当$x_1＜x_2$时，$y_1＞y_2$，可先判断函数的增减性，再根据增减性列关于$m$的不等式，解不等式即可得到$m$的取值范围。
【解析】
∵ 当$x_1＜x_2$时，$y_1＞y_2$，
∴ $y$随$x$的增大而减小，
∵ 该正比例函数的比例系数为$m-3$，
∴ $m-3＜0$，
解得 $m＜3$，故选B。
【答案】
B
【知识点】
1. 正比例函数的性质 2. 解一元一次不等式
【点评】
本题属于基础题，核心考查正比例函数的增减性规律，解题的关键是能根据自变量与函数值的大小对应关系判断出比例系数的符号，熟练掌握正比例函数的性质即可快速求解。
【难度系数】
0.8
首先回忆正比例函数的性质：正比例函数$y=kx$（$k≠0$）的增减性由$k$的符号决定，当$k＜0$时，$y$随$x$的增大而减小；当$k＞0$时，$y$随$x$的增大而增大。本题已知当$x_1＜x_2$时，$y_1＞y_2$，可先判断函数的增减性，再根据增减性列关于$m$的不等式，解不等式即可得到$m$的取值范围。
【解析】
∵ 当$x_1＜x_2$时，$y_1＞y_2$，
∴ $y$随$x$的增大而减小，
∵ 该正比例函数的比例系数为$m-3$，
∴ $m-3＜0$，
解得 $m＜3$，故选B。
【答案】
B
【知识点】
1. 正比例函数的性质 2. 解一元一次不等式
【点评】
本题属于基础题，核心考查正比例函数的增减性规律，解题的关键是能根据自变量与函数值的大小对应关系判断出比例系数的符号，熟练掌握正比例函数的性质即可快速求解。
【难度系数】
0.8
12 若正比例函数$y=kx$（$k$是常数，$k≠0$）的图象经过点$(7,-13)$，则$y$的值随$x$值的增大而
减小
（填“增大”或“减小”）。答案
12. 减小
解析
【分析】
要判断正比例函数中y随x的变化趋势，核心是确定比例系数k的正负，因为正比例函数的增减性完全由k的符号决定。解题可分两步：第一步，利用“函数图象上的点的坐标满足函数解析式”的规律，将已知点(7,-13)代入解析式求出k的值；第二步，结合k的正负对应增减性的规律得出结论：k＞0时y随x增大而增大，k＜0时y随x增大而减小。
【解析】
解：
∵正比例函数$y=kx$（$k≠0$）的图象经过点$(7,-13)$
∴把$x=7$，$y=-13$代入解析式，得：
$-13=7k$
解得$k=-\frac{13}{7}＜0$
根据正比例函数的性质：当$k＜0$时，y的值随x值的增大而减小。
【答案】
减小
【知识点】
正比例函数性质；点与函数图象的关系；待定系数法
【点评】
本题是正比例函数的基础考题，核心考察正比例函数增减性与k符号的对应关系，只要掌握代入点坐标求系数的方法，以及k的符号和增减性的对应规律就能快速解题。
【难度系数】
0.9
要判断正比例函数中y随x的变化趋势，核心是确定比例系数k的正负，因为正比例函数的增减性完全由k的符号决定。解题可分两步：第一步，利用“函数图象上的点的坐标满足函数解析式”的规律，将已知点(7,-13)代入解析式求出k的值；第二步，结合k的正负对应增减性的规律得出结论：k＞0时y随x增大而增大，k＜0时y随x增大而减小。
【解析】
解：
∵正比例函数$y=kx$（$k≠0$）的图象经过点$(7,-13)$
∴把$x=7$，$y=-13$代入解析式，得：
$-13=7k$
解得$k=-\frac{13}{7}＜0$
根据正比例函数的性质：当$k＜0$时，y的值随x值的增大而减小。
【答案】
减小
【知识点】
正比例函数性质；点与函数图象的关系；待定系数法
【点评】
本题是正比例函数的基础考题，核心考察正比例函数增减性与k符号的对应关系，只要掌握代入点坐标求系数的方法，以及k的符号和增减性的对应规律就能快速解题。
【难度系数】
0.9
13 已知正比例函数 $ y = kx $（k是常数，k≠0），当$ -3 ≤ x ≤ 1 $时，$ -1 ≤ y ≤ \frac{1}{3} $，且y随x的减小而减小，则k的值为
$\frac{1}{3}$
。答案
13. $\frac{1}{3}$ 【解析】由题意，得$k＞0$。所以当$x=-3$时，$y=-1$。将$(-3,-1)$代入$y=kx$，得$-1=-3k$，解得$k=\frac{1}{3}$。
解析
【分析】
解题时首先根据正比例函数的增减性判断k的符号：题目中y随x的减小而减小，说明函数呈上升趋势，可得k＞0；当k＞0时，y随x的增大而增大，因此x取区间最小值时y对应取最小值，x取区间最大值时y对应取最大值，找到对应的x、y取值后代入正比例函数解析式，解方程即可求出k的值，也可代入另一组边界值验证结果是否符合题意。
【解析】
解：
∵正比例函数$y=kx$中，y随x的减小而减小，
∴$k＞0$，即y随x的增大而增大，
∴当$x=-3$时，y取得最小值$-1$；当$x=1$时，y取得最大值$\frac{1}{3}$。
将$x=-3$，$y=-1$代入$y=kx$，得：
$-1=-3k$
解得$k=\frac{1}{3}$。
验证：当$k=\frac{1}{3}$时，$x=1$，$y=\frac{1}{3}×1=\frac{1}{3}$，符合题意。
【答案】
$\frac{1}{3}$
【知识点】
1.正比例函数的性质 2.待定系数法求函数解析式
【点评】
本题重点考查正比例函数增减性的应用，解题核心是先根据增减性明确k的正负，再对应找到x、y的取值组合，避免因忽略k的符号盲目代入导致出错。
【难度系数】
0.8
解题时首先根据正比例函数的增减性判断k的符号：题目中y随x的减小而减小，说明函数呈上升趋势，可得k＞0；当k＞0时，y随x的增大而增大，因此x取区间最小值时y对应取最小值，x取区间最大值时y对应取最大值，找到对应的x、y取值后代入正比例函数解析式，解方程即可求出k的值，也可代入另一组边界值验证结果是否符合题意。
【解析】
解：
∵正比例函数$y=kx$中，y随x的减小而减小，
∴$k＞0$，即y随x的增大而增大，
∴当$x=-3$时，y取得最小值$-1$；当$x=1$时，y取得最大值$\frac{1}{3}$。
将$x=-3$，$y=-1$代入$y=kx$，得：
$-1=-3k$
解得$k=\frac{1}{3}$。
验证：当$k=\frac{1}{3}$时，$x=1$，$y=\frac{1}{3}×1=\frac{1}{3}$，符合题意。
【答案】
$\frac{1}{3}$
【知识点】
1.正比例函数的性质 2.待定系数法求函数解析式
【点评】
本题重点考查正比例函数增减性的应用，解题核心是先根据增减性明确k的正负，再对应找到x、y的取值组合，避免因忽略k的符号盲目代入导致出错。
【难度系数】
0.8
14 定义新运算“※”：$a ※ b = \begin{cases} ab & (b ≥ 0), \\ -ab & (b ＜ 0). \end{cases}$ 例如：$2 ※ 1 = 2 × 1 = 2$，$2 ※ (-1) = -2 × (-1) = 2$.
(1) 计算：$3 ※ 4$；
(2) 在如图所示的平面直角坐标系中画出函数 $y = 2 ※ x$ 的图象.
(1) 计算：$3 ※ 4$；
(2) 在如图所示的平面直角坐标系中画出函数 $y = 2 ※ x$ 的图象.
答案
14. (1) 因为$4≥0$，所以$3※4=3×4=12$
(2) 当$x≥0$时，$y$与$x$之间的函数表达式为$y=2x$；当$x＜0$时，$y$与$x$之间的函数表达式为$y=-2x$。列表如下：
| x | … | -2 | -1 | 0 | 1 | 2 | … |
| --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- |
| y | … | 4 | 2 | 0 | 2 | 4 | … |
描点、连线，画出函数图象如图所示
解析
【分析】
(1) 解决新定义运算类问题，首先要明确运算规则：$a※b$的计算方式由$b$的符号决定，$b\ge0$时结果为$ab$，$b＜0$时结果为$-ab$。计算$3※4$时，先判断$b=4$的符号为非负，直接代入对应公式计算即可。
(2) 绘制函数$y=2※x$的图象，首先要根据新运算规则，分$x\ge0$和$x＜0$两种情况推导函数解析式：当$x\ge0$时，对应$b\ge0$的规则，解析式为$y=2x$；当$x＜0$时，对应$b＜0$的规则，解析式为$y=-2x$。再按照画函数图象的基本步骤：列表、描点、连线，在对应自变量取值范围内画出两段图象即可。
【解析】
(1) 在$3※4$中，$b=4\ge0$，根据新运算规则$a※b=ab$，可得：
$3※4=3×4=12$
(2) 先推导函数的分段解析式：
① 当$x\ge0$时，符合$b\ge0$的运算规则，此时$y=2※x=2x$；
② 当$x＜0$时，符合$b＜0$的运算规则，此时$y=2※x=-2x$。
再按步骤绘制图象：
第一步：列表，在两个取值范围内选取合适的$x$值，计算对应$y$值：
| $x$ | … | $-2$ | $-1$ | $0$ | $1$ | $2$ | … |
| --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- |
| $y$ | … | $4$ | $2$ | $0$ | $2$ | $4$ | … |
第二步：在坐标系中描出表格对应的点；
第三步：按自变量从小到大的顺序，分别连接$x＜0$和$x\ge0$范围内的点，得到最终图象。
【答案】
(1) $12$
(2) 当$x≥0$时，$y$与$x$之间的函数表达式为$y=2x$；当$x＜0$时，$y$与$x$之间的函数表达式为$y=-2x$。列表如下：
| x | … | -2 | -1 | 0 | 1 | 2 | … |
| --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- |
| y | … | 4 | 2 | 0 | 2 | 4 | … |
描点、连线，画出函数图象如图所示
【知识点】
新定义运算，分段函数，正比例函数图象绘制
【点评】
本题将新定义运算与函数图象绘制结合考查，既需要准确理解新运算规则进行分类讨论，也需要熟练掌握函数图象绘制的基本步骤，解题时要注意区分不同自变量范围对应的函数解析式，避免混淆。
【难度系数】
0.7
(1) 解决新定义运算类问题，首先要明确运算规则：$a※b$的计算方式由$b$的符号决定，$b\ge0$时结果为$ab$，$b＜0$时结果为$-ab$。计算$3※4$时，先判断$b=4$的符号为非负，直接代入对应公式计算即可。
(2) 绘制函数$y=2※x$的图象，首先要根据新运算规则，分$x\ge0$和$x＜0$两种情况推导函数解析式：当$x\ge0$时，对应$b\ge0$的规则，解析式为$y=2x$；当$x＜0$时，对应$b＜0$的规则，解析式为$y=-2x$。再按照画函数图象的基本步骤：列表、描点、连线，在对应自变量取值范围内画出两段图象即可。
【解析】
(1) 在$3※4$中，$b=4\ge0$，根据新运算规则$a※b=ab$，可得：
$3※4=3×4=12$
(2) 先推导函数的分段解析式：
① 当$x\ge0$时，符合$b\ge0$的运算规则，此时$y=2※x=2x$；
② 当$x＜0$时，符合$b＜0$的运算规则，此时$y=2※x=-2x$。
再按步骤绘制图象：
第一步：列表，在两个取值范围内选取合适的$x$值，计算对应$y$值：
| $x$ | … | $-2$ | $-1$ | $0$ | $1$ | $2$ | … |
| --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- |
| $y$ | … | $4$ | $2$ | $0$ | $2$ | $4$ | … |
第二步：在坐标系中描出表格对应的点；
第三步：按自变量从小到大的顺序，分别连接$x＜0$和$x\ge0$范围内的点，得到最终图象。
【答案】
(1) $12$
(2) 当$x≥0$时，$y$与$x$之间的函数表达式为$y=2x$；当$x＜0$时，$y$与$x$之间的函数表达式为$y=-2x$。列表如下：
| x | … | -2 | -1 | 0 | 1 | 2 | … |
| --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- |
| y | … | 4 | 2 | 0 | 2 | 4 | … |
描点、连线，画出函数图象如图所示
【知识点】
新定义运算，分段函数，正比例函数图象绘制
【点评】
本题将新定义运算与函数图象绘制结合考查，既需要准确理解新运算规则进行分类讨论，也需要熟练掌握函数图象绘制的基本步骤，解题时要注意区分不同自变量范围对应的函数解析式，避免混淆。
【难度系数】
0.7
15 如图,在平面直角坐标系中,点$A(3,7)$在正比例函数的图象上.
(1) 求正比例函数的表达式;
(2) 若点$B(1,0)$,$C$都在$x$轴上,且$△ ABC$的面积是$17.5$,求点$C$的坐标;
(3) 在(2)的条件下,将点$A$左右平移$m$个单位长度,得到点$D$,使得$△ AOC$的面积是$△ ACD$面积的2倍,直接写出点$D$的坐标.
(1) 求正比例函数的表达式;
(2) 若点$B(1,0)$,$C$都在$x$轴上,且$△ ABC$的面积是$17.5$,求点$C$的坐标;
(3) 在(2)的条件下,将点$A$左右平移$m$个单位长度,得到点$D$,使得$△ AOC$的面积是$△ ACD$面积的2倍,直接写出点$D$的坐标.
答案
15. (1) 设正比例函数的表达式为$y=kx$。因为点$A(3,7)$在正比例函数的图象上，所以$7=3k$，解得$k=\frac{7}{3}$。所以正比例函数的表达式为$y=\frac{7}{3}x$
(2) 设点$C$的坐标为$(a,0)$。因为$B(1,0)$，所以$BC=|a-1|$。所以$\frac{1}{2}×7×|a-1|=17.5$，解得$a=-4$或$a=6$。所以点$C$的坐标为$(-4,0)$或$(6,0)$
(3) 当点$C$的坐标为$(-4,0)$时，点$D$的坐标为$(1,7)$或$(5,7)$；当点$C$的坐标为$(6,0)$时，点$D$的坐标为$(0,7)$或$(6,7)$
(2) 设点$C$的坐标为$(a,0)$。因为$B(1,0)$，所以$BC=|a-1|$。所以$\frac{1}{2}×7×|a-1|=17.5$，解得$a=-4$或$a=6$。所以点$C$的坐标为$(-4,0)$或$(6,0)$
(3) 当点$C$的坐标为$(-4,0)$时，点$D$的坐标为$(1,7)$或$(5,7)$；当点$C$的坐标为$(6,0)$时，点$D$的坐标为$(0,7)$或$(6,7)$
解析
【分析】
(1) 正比例函数的一般形式为$y=kx(k≠0)$，已知函数图象过点$A(3,7)$，将点坐标代入解析式即可求出$k$，得到函数表达式。
(2) 点$B$、$C$都在$x$轴上，$BC$的长度为两点横坐标差的绝对值，$△ ABC$以$BC$为底时，高为点$A$的纵坐标$7$，结合已知面积列方程，注意绝对值要分两种情况求解，得到点$C$的两个坐标。
(3) 先计算$△ AOC$的面积，根据面积关系得到$△ ACD$的面积。点$A$左右平移得到$D$，所以$D$纵坐标与$A$相同，$AD$为水平线段，长度为平移距离$m$，$△ ACD$以$AD$为底时高仍为$7$，列方程求出$m$，结合点$C$的两种情况、平移分左右两种情况，得到所有符合要求的$D$的坐标。
【解析】
(1) 设正比例函数的表达式为$y=kx(k≠ 0)$。
将$A(3,7)$代入解析式得：$7=3k$，解得$k=\frac{7}{3}$。
因此正比例函数的表达式为$y=\frac{7}{3}x$。
(2) 设点$C$的坐标为$(a,0)$。
由$B(1,0)$得$BC=|a-1|$，$△ ABC$以$BC$为底的高为点$A$的纵坐标$7$，根据三角形面积公式：
$\frac{1}{2} × |a-1| ×7=17.5$，化简得$|a-1|=5$。
解得$a=6$或$a=-4$，因此点$C$的坐标为$(-4,0)$或$(6,0)$。
(3) 分两种情况讨论：
① 当$C(-4,0)$时，$S_{△ AOC}=\frac{1}{2}×4×7=14$，故$S_{△ ACD}=\frac{1}{2}×14=7$。
点$A$平移后得$D(3\pm m,7)$，$AD=m$，则$\frac{1}{2}× m×7=7$，解得$m=2$，因此$D$的坐标为$(3-2,7)=(1,7)$或$(3+2,7)=(5,7)$。
② 当$C(6,0)$时，$S_{△ AOC}=\frac{1}{2}×6×7=21$，故$S_{△ ACD}=\frac{1}{2}×21=10.5$。
同理得$\frac{1}{2}× m×7=10.5$，解得$m=3$，因此$D$的坐标为$(3-3,7)=(0,7)$或$(3+3,7)=(6,7)$。
【答案】
(1) $y=\frac{7}{3}x$
(2) $(-4,0)$或$(6,0)$
(3) 当点$C$的坐标为$(-4,0)$时，点$D$的坐标为$(1,7)$或$(5,7)$；当点$C$的坐标为$(6,0)$时，点$D$的坐标为$(0,7)$或$(6,7)$
【知识点】
待定系数法求正比例函数解析式，三角形面积计算，坐标平移的性质
【点评】
本题是正比例函数与平面几何结合的综合题，解题时需注意距离计算中绝对值的应用，避免漏解，同时要熟练掌握坐标平移的特征，是正比例函数章节的典型常考题。
【难度系数】
0.6
(1) 正比例函数的一般形式为$y=kx(k≠0)$，已知函数图象过点$A(3,7)$，将点坐标代入解析式即可求出$k$，得到函数表达式。
(2) 点$B$、$C$都在$x$轴上，$BC$的长度为两点横坐标差的绝对值，$△ ABC$以$BC$为底时，高为点$A$的纵坐标$7$，结合已知面积列方程，注意绝对值要分两种情况求解，得到点$C$的两个坐标。
(3) 先计算$△ AOC$的面积，根据面积关系得到$△ ACD$的面积。点$A$左右平移得到$D$，所以$D$纵坐标与$A$相同，$AD$为水平线段，长度为平移距离$m$，$△ ACD$以$AD$为底时高仍为$7$，列方程求出$m$，结合点$C$的两种情况、平移分左右两种情况，得到所有符合要求的$D$的坐标。
【解析】
(1) 设正比例函数的表达式为$y=kx(k≠ 0)$。
将$A(3,7)$代入解析式得：$7=3k$，解得$k=\frac{7}{3}$。
因此正比例函数的表达式为$y=\frac{7}{3}x$。
(2) 设点$C$的坐标为$(a,0)$。
由$B(1,0)$得$BC=|a-1|$，$△ ABC$以$BC$为底的高为点$A$的纵坐标$7$，根据三角形面积公式：
$\frac{1}{2} × |a-1| ×7=17.5$，化简得$|a-1|=5$。
解得$a=6$或$a=-4$，因此点$C$的坐标为$(-4,0)$或$(6,0)$。
(3) 分两种情况讨论：
① 当$C(-4,0)$时，$S_{△ AOC}=\frac{1}{2}×4×7=14$，故$S_{△ ACD}=\frac{1}{2}×14=7$。
点$A$平移后得$D(3\pm m,7)$，$AD=m$，则$\frac{1}{2}× m×7=7$，解得$m=2$，因此$D$的坐标为$(3-2,7)=(1,7)$或$(3+2,7)=(5,7)$。
② 当$C(6,0)$时，$S_{△ AOC}=\frac{1}{2}×6×7=21$，故$S_{△ ACD}=\frac{1}{2}×21=10.5$。
同理得$\frac{1}{2}× m×7=10.5$，解得$m=3$，因此$D$的坐标为$(3-3,7)=(0,7)$或$(3+3,7)=(6,7)$。
【答案】
(1) $y=\frac{7}{3}x$
(2) $(-4,0)$或$(6,0)$
(3) 当点$C$的坐标为$(-4,0)$时，点$D$的坐标为$(1,7)$或$(5,7)$；当点$C$的坐标为$(6,0)$时，点$D$的坐标为$(0,7)$或$(6,7)$
【知识点】
待定系数法求正比例函数解析式，三角形面积计算，坐标平移的性质
【点评】
本题是正比例函数与平面几何结合的综合题，解题时需注意距离计算中绝对值的应用，避免漏解，同时要熟练掌握坐标平移的特征，是正比例函数章节的典型常考题。
【难度系数】
0.6
