1. 计算：$\dfrac{a^4 + a^3b - a^2b^2 - ab^3}{a^3b + ab^3 + 2a^2b^2} - \dfrac{a^3 - ab^2}{a^2b - b^3}$

【解】原式$=\frac{a^3(a+b)-ab^2(a+b)}{ab(a+b)^2}-\frac{a(a^2-b^2)}{b(a^2-b^2)}$
$=\frac{a(a+b)(a^2-b^2)}{ab(a+b)^2}-\frac{a}{b}$
$=\frac{a(a+b)^2(a-b)}{ab(a+b)^2}-\frac{a}{b}$
$=\frac{a-b}{b}-\frac{a}{b}=\frac{-b}{b}=-1.$
点方法 直接通分,极其烦琐.通过观察,发现各个分式并非最简分式,可先化简,化简后再计算会简便许多.

2. 计算：$\frac{1}{x-2} - \frac{2}{x-1} + \frac{2}{x+1} - \frac{1}{x+2}$

【解】原式$=(\frac{2}{x+1}-\frac{2}{x-1})+(\frac{1}{x-2}-\frac{1}{x+2})$
$=\frac{2(x-1)-2(x+1)}{(x+1)(x-1)}+\frac{(x+2)-(x-2)}{(x-2)(x+2)}$
$=\frac{-4}{x^2-1}+\frac{4}{x^2-4}$
$=\frac{-4(x^2-4)+4(x^2-1)}{(x^2-1)(x^2-4)}$
$=\frac{12}{(x^2-1)(x^2-4)}.$

3.计算：$\frac{1}{a-x} - \frac{1}{a+x} - \frac{2x}{a^2 + x^2} - \frac{4x^3}{a^4 - x^4}.$

【解】原式$=\frac{a+x-a+x}{a^2-x^2}-\frac{2x}{a^2+x^2}-\frac{4x^3}{a^4-x^4}$
$=\frac{2x}{a^2-x^2}-\frac{2x}{a^2+x^2}-\frac{4x^3}{a^4-x^4}$
$=\frac{2x(a^2+x^2-a^2+x^2)}{a^4-x^4}-\frac{4x^3}{a^4-x^4}$
$=\frac{4x^3}{a^4-x^4}-\frac{4x^3}{a^4-x^4}$
$=0.$

4. 计算：$\frac{x+2}{x+1} - \frac{x+3}{x+2} + \frac{x-5}{x-4} - \frac{x-4}{x-3}.$

【解】原式$=\frac{x+1+1}{x+1}-\frac{x+2+1}{x+2}+\frac{x-4-1}{x-4}-\frac{x-3-1}{x-3}$
$=(1+\frac{1}{x+1})-(1+\frac{1}{x+2})+(1-\frac{1}{x-4})-(1-\frac{1}{x-3})$
$=\frac{1}{x+1}-\frac{1}{x+2}-\frac{1}{x-4}+\frac{1}{x-3}$
$=\frac{x+2-(x+1)}{(x+1)(x+2)}-\frac{x-3-(x-4)}{(x-4)(x-3)}$
$=\frac{1}{(x+1)(x+2)}-\frac{1}{(x-3)(x-4)}$
$=\frac{(x-3)(x-4)-(x+1)(x+2)}{(x+1)(x+2)(x-3)(x-4)}$
$=\frac{x^2-7x+12-x^2-3x-2}{(x+1)(x+2)(x-3)(x-4)}$
$=\frac{-10(x-1)}{(x+1)(x+2)(x-3)(x-4)}.$

技法5 拆项法$[ \frac{1}{n(n+1)} = \frac{1}{n} - \frac{1}{n+1} ]$

4.【解】原式$=(1+\frac{1}{x+1})-(1+\frac{1}{x+2})+(1-\frac{1}{x-4})-$
$(1-\frac{1}{x-3})=\frac{1}{x+1}-\frac{1}{x+2}-\frac{1}{x-4}+\frac{1}{x-3}=$
$\frac{x+2-(x+1)}{(x+1)(x+2)}-\frac{x-3-(x-4)}{(x-4)(x-3)}=\frac{1}{(x+1)(x+2)}-$
$\frac{1}{(x-3)(x-4)}=\frac{x^{2}-7x+12-x^{2}-3x-2}{(x+1)(x+2)(x-3)(x-4)}=$
$\frac{-10(x-1)}{(x+1)(x+2)(x-3)(x-4)}.$

5. 计算：$\frac{1}{x^2+x}+\frac{1}{x^2+3x+2}+\frac{1}{x^2+5x+6}+\frac{1}{x^2+7x+12}$

【解】原式$=\frac{1}{x(x+1)}+\frac{1}{(x+1)(x+2)}+\frac{1}{(x+2)(x+3)}+\frac{1}{(x+3)(x+4)}=\frac{1}{x}-\frac{1}{x+1}+\frac{1}{x+1}-\frac{1}{x+2}+\frac{1}{x+2}-\frac{1}{x+3}+\frac{1}{x+3}-\frac{1}{x+4}=\frac{1}{x}-\frac{1}{x+4}=\frac{4}{x(x+4)}.$

6.化简：$\frac{a^2}{a-1} - a - 1.$

【解】原式$=\frac{a^2}{a-1}-\frac{a+1}{1}=\frac{a^2}{a-1}-\frac{(a+1)(a-1)}{a-1}=\frac{a^2-a^2+1}{a-1}=\frac{1}{a-1}.$

7. 先化简，再求值：$(\dfrac{1}{y}-\dfrac{1}{x})÷(\dfrac{x}{y}-\dfrac{y}{x})$，其中$x=2-y$.

【解】$(\frac{1}{y}-\frac{1}{x})÷(\frac{x}{y}-\frac{y}{x})=(\frac{x}{xy}-\frac{y}{xy})÷(\frac{x^2}{xy}-\frac{y^2}{xy})=\frac{x-y}{xy}÷\frac{x^2-y^2}{xy}=\frac{x-y}{xy}×\frac{xy}{x^2-y^2}=\frac{x-y}{xy}×\frac{xy}{(x+y)(x-y)}=\frac{1}{x+y}.\because x=2-y,\therefore x+y=2,\therefore 原式=\frac{1}{x+y}=\frac{1}{2}.$
点方法 用整体代入法求分式的值是最常用的方法,原因是分式可以约分.当不能求出分式中各个字母的值时,可以考虑利用整体代入法,虽然分子和分母中都含有字母,但通过约分可以求出其值.