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8. 已知 $ x^2 + x - 1 = 0 $，求 $ \frac{1+x}{x-1} ÷ \frac{x+1}{x} - \frac{x(x^2 -1)}{x^2 -2x +1} $ 的值。
答案
【解】原式$=\frac{1+x}{x-1}·\frac{x}{x+1}-\frac{x(x+1)(x-1)}{(x-1)^2}=\frac{x}{x-1}-\frac{x(x+1)}{x-1}=-\frac{x^2}{x-1}.$
$\because x^2+x-1=0,\therefore x-1=-x^2.\therefore 原式=-\frac{x^2}{-x^2}=1.$
$\because x^2+x-1=0,\therefore x-1=-x^2.\therefore 原式=-\frac{x^2}{-x^2}=1.$
9. 已知$x^2 -5x +1=0$，求$x^4 + \frac{1}{x^4}$的值。
答案
【解】由题易知$x≠0$.将$x^2-5x+1=0$两边同时除以$x$,得$x-5+\frac{1}{x}=0$,即$x+\frac{1}{x}=5$,
$\therefore(x+\frac{1}{x})^2=25$,即$x^2+2+\frac{1}{x^2}=25.\therefore x^2+\frac{1}{x^2}=23.$
$\therefore(x^2+\frac{1}{x^2})^2=529$,即$x^4+2+\frac{1}{x^4}=529.\therefore x^4+\frac{1}{x^4}=527.$
$\therefore(x+\frac{1}{x})^2=25$,即$x^2+2+\frac{1}{x^2}=25.\therefore x^2+\frac{1}{x^2}=23.$
$\therefore(x^2+\frac{1}{x^2})^2=529$,即$x^4+2+\frac{1}{x^4}=529.\therefore x^4+\frac{1}{x^4}=527.$
10.计算：$\dfrac{x+3}{x^2 -4} ÷ ( \dfrac{x+3}{x+2} + \dfrac{x^2 +3x}{x-2} )$
答案
【解】原式的倒数为$(\frac{x+3}{x+2}+\frac{x^2+3x}{x-2})÷\frac{x+3}{x^2-4}=[\frac{x+3}{x+2}+\frac{x(x+3)}{x-2}]·\frac{(x+2)(x-2)}{x+3}=\frac{x+3}{x+2}·\frac{(x+2)(x-2)}{x+3}+\frac{x(x+3)}{x-2}·\frac{(x+2)(x-2)}{x+3}=(x-2)+x(x+2)=x^2+3x-2.$
$\therefore\frac{x+3}{x^2-4}÷(\frac{x+3}{x+2}+\frac{x^2+3x}{x-2})=\frac{1}{x^2+3x-2}.$
点方法 若将除式与被除式调换位置,能够约分化简,则可利用倒数的倒数等于原数这一特点来化简.
$\therefore\frac{x+3}{x^2-4}÷(\frac{x+3}{x+2}+\frac{x^2+3x}{x-2})=\frac{1}{x^2+3x-2}.$
点方法 若将除式与被除式调换位置,能够约分化简,则可利用倒数的倒数等于原数这一特点来化简.
11. 已知$\frac{a}{2}=\frac{b}{3}≠0$，求$\frac{a}{a+2b}-\frac{4b^2}{a^2+2ab}$的值.
答案
【解】原式$=\frac{a^2}{a(a+2b)}-\frac{4b^2}{a(a+2b)}=\frac{a^2-4b^2}{a(a+2b)}=\frac{(a+2b)(a-2b)}{a(a+2b)}=\frac{a-2b}{a}.$
$\because\frac{a}{2}=\frac{b}{3}≠0,\therefore 设\frac{a}{2}=\frac{b}{3}=k(k≠0),则a=2k,b=3k.$
$\therefore 原式=\frac{2k-6k}{2k}=-2.$
$\because\frac{a}{2}=\frac{b}{3}≠0,\therefore 设\frac{a}{2}=\frac{b}{3}=k(k≠0),则a=2k,b=3k.$
$\therefore 原式=\frac{2k-6k}{2k}=-2.$
12. 已知 $\frac{b+c}{a} = \frac{a+c}{b} = \frac{a+b}{c}$，计算：
$\frac{(a+b)(b+c)(c+a)}{abc}$
$\frac{(a+b)(b+c)(c+a)}{abc}$
答案
【解】设$\frac{b+c}{a}=\frac{a+c}{b}=\frac{a+b}{c}=m$,
则$b+c=am,a+c=bm,a+b=cm.$
把这3个等式相加得$2(a+b+c)=(a+b+c)m.$
若$a+b+c=0$,即$a+b=-c$,则$m=-1$;
若$a+b+c≠0$,则$m=2.$
$\because\frac{(a+b)(b+c)(c+a)}{abc}=\frac{cm· am· bm}{abc}=m^3$,
$\therefore 当m=-1时,原式=-1;当m=2时,原式=8.$
点方法 设辅助参数,利用整体代入法将要求的分式转化为含辅助参数的分式,然后约分可求出其值.
则$b+c=am,a+c=bm,a+b=cm.$
把这3个等式相加得$2(a+b+c)=(a+b+c)m.$
若$a+b+c=0$,即$a+b=-c$,则$m=-1$;
若$a+b+c≠0$,则$m=2.$
$\because\frac{(a+b)(b+c)(c+a)}{abc}=\frac{cm· am· bm}{abc}=m^3$,
$\therefore 当m=-1时,原式=-1;当m=2时,原式=8.$
点方法 设辅助参数,利用整体代入法将要求的分式转化为含辅助参数的分式,然后约分可求出其值.
13. 已知$3a - 4b - c = 0, 2a + b - 8c = 0, c ≠ 0$.
计算：$\frac{a^2 + b^2 + c^2}{ab + bc + ac}$.
计算：$\frac{a^2 + b^2 + c^2}{ab + bc + ac}$.
答案
【解】把$c$当成已知数,用含$c$的式子表示$a$和$b$.
由$\begin{cases}3a-4b-c=0,\\2a+b-8c=0,\end{cases}$解得$\begin{cases}a=3c,\\b=2c.\end{cases}$
$\therefore\frac{a^2+b^2+c^2}{ab+bc+ac}=\frac{14c^2}{11c^2}=\frac{14}{11}.$
点方法 确定一个字母为已知数,通过解二元一次方程组求出方程组的解,用已知字母表示未知字母,再代入待求式子求值.
由$\begin{cases}3a-4b-c=0,\\2a+b-8c=0,\end{cases}$解得$\begin{cases}a=3c,\\b=2c.\end{cases}$
$\therefore\frac{a^2+b^2+c^2}{ab+bc+ac}=\frac{14c^2}{11c^2}=\frac{14}{11}.$
点方法 确定一个字母为已知数,通过解二元一次方程组求出方程组的解,用已知字母表示未知字母,再代入待求式子求值.
