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1. 已知$\begin{cases}x=2 \\ y=1\end{cases}$是方程$kx - y = 3$的解，那么$k$的值是（ ）
A.2
B.-2
C.1
D.-1
A.2
B.-2
C.1
D.-1
答案
A
解析
【分析】
本题的解题思路是利用二元一次方程解的定义求解：首先明确能使二元一次方程左右两边相等的未知数的值就是方程的解，因此我们可以将已知的x、y的值代入原方程，把原方程转化为只含有未知数k的一元一次方程，再解这个一元一次方程即可得到k的值。
【解析】
已知$\begin{cases}x=2 \\ y=1\end{cases}$是方程$kx - y = 3$的解，将$x=2$、$y=1$代入方程，可得：
$2k - 1 = 3$
移项得：$2k = 3 + 1$
合并同类项得：$2k = 4$
系数化为1得：$k = 2$
因此答案选A。
【答案】
A
【知识点】
二元一次方程的解、解一元一次方程
【点评】
本题是方程部分的基础题型，核心考查对二元一次方程解的概念的应用，只要掌握“将方程的解代入原方程，等式仍然成立”这一规律，即可顺利将问题转化为熟悉的一元一次方程求解。
【难度系数】
0.9
本题的解题思路是利用二元一次方程解的定义求解：首先明确能使二元一次方程左右两边相等的未知数的值就是方程的解，因此我们可以将已知的x、y的值代入原方程，把原方程转化为只含有未知数k的一元一次方程，再解这个一元一次方程即可得到k的值。
【解析】
已知$\begin{cases}x=2 \\ y=1\end{cases}$是方程$kx - y = 3$的解，将$x=2$、$y=1$代入方程，可得：
$2k - 1 = 3$
移项得：$2k = 3 + 1$
合并同类项得：$2k = 4$
系数化为1得：$k = 2$
因此答案选A。
【答案】
A
【知识点】
二元一次方程的解、解一元一次方程
【点评】
本题是方程部分的基础题型，核心考查对二元一次方程解的概念的应用，只要掌握“将方程的解代入原方程，等式仍然成立”这一规律，即可顺利将问题转化为熟悉的一元一次方程求解。
【难度系数】
0.9
2. 写出满足方程$x+2y=9$的一对整数值：.
答案
$\begin{cases} x=7 \\ y=1 \end{cases}$(不唯一)
解析
【分析】
这是一道求二元一次方程整数解的开放性题目，二元一次方程有无数组解。解题时我们可以先任意给其中一个未知数取一个整数值，再将这个值代入原方程，计算得出另一个未知数的值，只要计算出的另一个未知数也是整数，就得到符合要求的一组解。比如我们可以先给y取整数1，再代入求x的值即可。
【解析】
我们先选取y的一个整数值，例如令$y=1$，将$y=1$代入方程$x+2y=9$中，可得：
$x + 2×1 = 9$
计算得$x = 9 - 2 = 7$
此时$x=7$、$y=1$均为整数，满足方程要求。
也可令y取其他整数值，如$y=2$时$x=5$、$y=0$时$x=9$等，均为正确答案。
【答案】
$\begin{cases} x=7 \\ y=1 \end{cases}$(不唯一)
【知识点】
二元一次方程的解，代入求值
【点评】
本题为开放性基础题，主要考查对二元一次方程解的概念的理解，解题时可灵活赋值其中一个未知数的整数值，代入计算即可得到符合要求的解，答案不唯一。
【难度系数】
0.9
这是一道求二元一次方程整数解的开放性题目，二元一次方程有无数组解。解题时我们可以先任意给其中一个未知数取一个整数值，再将这个值代入原方程，计算得出另一个未知数的值，只要计算出的另一个未知数也是整数，就得到符合要求的一组解。比如我们可以先给y取整数1，再代入求x的值即可。
【解析】
我们先选取y的一个整数值，例如令$y=1$，将$y=1$代入方程$x+2y=9$中，可得：
$x + 2×1 = 9$
计算得$x = 9 - 2 = 7$
此时$x=7$、$y=1$均为整数，满足方程要求。
也可令y取其他整数值，如$y=2$时$x=5$、$y=0$时$x=9$等，均为正确答案。
【答案】
$\begin{cases} x=7 \\ y=1 \end{cases}$(不唯一)
【知识点】
二元一次方程的解，代入求值
【点评】
本题为开放性基础题，主要考查对二元一次方程解的概念的理解，解题时可灵活赋值其中一个未知数的整数值，代入计算即可得到符合要求的解，答案不唯一。
【难度系数】
0.9
1. 兄弟两人,弟弟5年后的年龄与哥哥5年前的年龄相等,3年后兄弟两人的年龄的和是他们年龄差的3倍,则兄弟两人今年的年龄分别是多少？
答案
哥哥17岁,弟弟7岁
解析
【分析】
这是典型的年龄类方程应用题，解题核心是抓住年龄差不变的规律，从题干中提取两个等量关系：①弟弟5年后的年龄=哥哥5年前的年龄；②3年后兄弟两人的年龄和=3倍的两人年龄差。我们可以先设哥哥、弟弟今年的年龄分别为两个未知数，把两个等量关系转化为二元一次方程组，求解方程组就能得到两人今年的年龄。
【解析】
解：设哥哥今年的年龄是$x$岁，弟弟今年的年龄是$y$岁。
根据“弟弟5年后的年龄与哥哥5年前的年龄相等”，可列方程：
$y + 5 = x - 5$
整理得：$x - y = 10$ ---①
根据“3年后兄弟两人的年龄的和是他们年龄差的3倍”，3年后哥哥年龄为$(x+3)$岁，弟弟年龄为$(y+3)$岁，年龄差始终为$(x-y)$，可列方程：
$(x + 3) + (y + 3) = 3(x - y)$
整理得：$x + y + 6 = 3(x - y)$ ---②
把①式$x-y=10$代入②式，得：
$x + y + 6 = 3×10$
$x + y = 24$ ---③
联立①和③，组成方程组：
$\begin{cases}x - y = 10 \\x + y = 24\end{cases}$
将两个方程相加，得$2x = 34$，解得$x=17$
把$x=17$代入①式，得$17 - y =10$，解得$y=7$
【答案】
哥哥17岁,弟弟7岁
【知识点】
二元一次方程组的应用；年龄问题计算
【点评】
本题是年龄类应用题的常规考法，解题的关键是牢记年龄差不变的特点，准确梳理题干中的等量关系列方程求解，计算过程简单，不易出错。
【难度系数】
0.7
这是典型的年龄类方程应用题，解题核心是抓住年龄差不变的规律，从题干中提取两个等量关系：①弟弟5年后的年龄=哥哥5年前的年龄；②3年后兄弟两人的年龄和=3倍的两人年龄差。我们可以先设哥哥、弟弟今年的年龄分别为两个未知数，把两个等量关系转化为二元一次方程组，求解方程组就能得到两人今年的年龄。
【解析】
解：设哥哥今年的年龄是$x$岁，弟弟今年的年龄是$y$岁。
根据“弟弟5年后的年龄与哥哥5年前的年龄相等”，可列方程：
$y + 5 = x - 5$
整理得：$x - y = 10$ ---①
根据“3年后兄弟两人的年龄的和是他们年龄差的3倍”，3年后哥哥年龄为$(x+3)$岁，弟弟年龄为$(y+3)$岁，年龄差始终为$(x-y)$，可列方程：
$(x + 3) + (y + 3) = 3(x - y)$
整理得：$x + y + 6 = 3(x - y)$ ---②
把①式$x-y=10$代入②式，得：
$x + y + 6 = 3×10$
$x + y = 24$ ---③
联立①和③，组成方程组：
$\begin{cases}x - y = 10 \\x + y = 24\end{cases}$
将两个方程相加，得$2x = 34$，解得$x=17$
把$x=17$代入①式，得$17 - y =10$，解得$y=7$
【答案】
哥哥17岁,弟弟7岁
【知识点】
二元一次方程组的应用；年龄问题计算
【点评】
本题是年龄类应用题的常规考法，解题的关键是牢记年龄差不变的特点，准确梳理题干中的等量关系列方程求解，计算过程简单，不易出错。
【难度系数】
0.7
2. 将一摞笔记本分给若干学生,若每人7本,则剩下5本;若每人8本,则少1本,共有多少名学生?多少本笔记本?
解:设有x名学生,y本笔记本,根据题意得:
解:设有x名学生,y本笔记本,根据题意得:
答案
$\begin{cases} 7x+5=y \\ 8x=y+1 \end{cases}$
解析
【分析】
本题是分配类方程应用题，包含学生人数、笔记本总数两个未知量，可设两个未知数，找两个等量关系列二元一次方程组求解。解题时首先明确不变量：两种分配方案下，学生总人数、笔记本总数量始终固定。第一个等量关系来自“每人7本，剩下5本”：总笔记本数=每人分7本×学生数+剩余的5本；第二个等量关系来自“每人8本，少1本”：每人分8本×学生数=总笔记本数+缺少的1本，将未知数代入等量关系就能列出对应方程组。
【解析】
设共有$x$名学生，$y$本笔记本：
1. 根据“每人7本，则剩下5本”，已分出去的笔记本数量为$7x$，加上剩余的5本就是总笔记本数，可列方程：$7x + 5 = y$；
2. 根据“每人8本，则少1本”，若要每人分8本总共需要$8x$本，现有笔记本$y$本还差1本才能满足分配，可列方程：$8x = y + 1$；
联立两个方程即可得到所求方程组。
【答案】
$\begin{cases} 7x+5=y \\ 8x=y+1 \end{cases}$
【知识点】
列二元一次方程组、实际问题找等量关系
【点评】
本题是典型的盈亏类分配应用题，解题核心是抓住不同分配方案下总人数、总物品数不变的特征找到对应等量关系，属于方程应用题的基础题型，熟练掌握后可以举一反三解决同类分配问题。
【难度系数】
0.8
本题是分配类方程应用题，包含学生人数、笔记本总数两个未知量，可设两个未知数，找两个等量关系列二元一次方程组求解。解题时首先明确不变量：两种分配方案下，学生总人数、笔记本总数量始终固定。第一个等量关系来自“每人7本，剩下5本”：总笔记本数=每人分7本×学生数+剩余的5本；第二个等量关系来自“每人8本，少1本”：每人分8本×学生数=总笔记本数+缺少的1本，将未知数代入等量关系就能列出对应方程组。
【解析】
设共有$x$名学生，$y$本笔记本：
1. 根据“每人7本，则剩下5本”，已分出去的笔记本数量为$7x$，加上剩余的5本就是总笔记本数，可列方程：$7x + 5 = y$；
2. 根据“每人8本，则少1本”，若要每人分8本总共需要$8x$本，现有笔记本$y$本还差1本才能满足分配，可列方程：$8x = y + 1$；
联立两个方程即可得到所求方程组。
【答案】
$\begin{cases} 7x+5=y \\ 8x=y+1 \end{cases}$
【知识点】
列二元一次方程组、实际问题找等量关系
【点评】
本题是典型的盈亏类分配应用题，解题核心是抓住不同分配方案下总人数、总物品数不变的特征找到对应等量关系，属于方程应用题的基础题型，熟练掌握后可以举一反三解决同类分配问题。
【难度系数】
0.8
