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1.二次函数$y=x^2+1$的大致图象是（
C
）答案
1.C
解析
【分析】
要判断二次函数$y=x^2+1$的图象，可按照两步筛选的思路解题：第一步先根据二次项系数的正负判断抛物线开口方向，排除开口方向错误的选项；第二步再根据函数的顶点坐标判断剩余选项是否符合，最终选出正确答案。
【解析】
1. 判断开口方向：二次函数$y=x^2+1$的二次项系数$a=1＞0$，因此抛物线开口向上，可直接排除开口向下的B、D选项。
2. 判断顶点位置：对于形如$y=ax^2+k$的二次函数，顶点坐标为$(0,k)$，本题中$k=1$，因此抛物线顶点坐标为$(0,1)$，位于y轴正半轴。A选项的顶点在y轴负半轴，不符合要求，排除A。
综上，只有C选项符合函数性质。
【答案】
C
【知识点】
二次函数图象性质；开口方向判断；顶点坐标确定
【点评】
本题是二次函数图象判断的基础题型，核心考查$y=ax^2+k$型二次函数的基本性质，解题时通过开口方向、顶点位置两步筛选即可快速得到答案，难度较低。
【难度系数】
0.9
要判断二次函数$y=x^2+1$的图象，可按照两步筛选的思路解题：第一步先根据二次项系数的正负判断抛物线开口方向，排除开口方向错误的选项；第二步再根据函数的顶点坐标判断剩余选项是否符合，最终选出正确答案。
【解析】
1. 判断开口方向：二次函数$y=x^2+1$的二次项系数$a=1＞0$，因此抛物线开口向上，可直接排除开口向下的B、D选项。
2. 判断顶点位置：对于形如$y=ax^2+k$的二次函数，顶点坐标为$(0,k)$，本题中$k=1$，因此抛物线顶点坐标为$(0,1)$，位于y轴正半轴。A选项的顶点在y轴负半轴，不符合要求，排除A。
综上，只有C选项符合函数性质。
【答案】
C
【知识点】
二次函数图象性质；开口方向判断；顶点坐标确定
【点评】
本题是二次函数图象判断的基础题型，核心考查$y=ax^2+k$型二次函数的基本性质，解题时通过开口方向、顶点位置两步筛选即可快速得到答案，难度较低。
【难度系数】
0.9
2.(合肥庐阳区期中)抛物线$y=-3x^2+2$的顶点坐标是 (
A.$(0,2)$
B.$(-3,2)$
C.$(2,0)$
D.$(0,-2)$
A
)A.$(0,2)$
B.$(-3,2)$
C.$(2,0)$
D.$(0,-2)$
答案
2.A
解析
【分析】
本题考查二次函数$y=ax^2+k$的顶点坐标求解。解题时首先明确该类二次函数的结构特征：解析式中没有一次项，对称轴为y轴（即$x=0$），顶点在对称轴上，既可以将$x=0$代入解析式算出对应$y$值得到顶点坐标，也可以直接套用$y=ax^2+k$的顶点坐标公式快速得出结果。
【解析】
对于二次函数$y=ax^2+k$，其顶点坐标固定为$(0,k)$。
题中抛物线解析式为$y=-3x^2+2$，对应$k=2$，因此它的顶点坐标是$(0,2)$，对应选项A。
【答案】
A
【知识点】
二次函数顶点坐标；$y=ax^2+k$的性质
【点评】
本题属于基础题型，直接考查特殊形式二次函数的顶点坐标，熟练掌握对应函数性质即可快速得分。
【难度系数】
0.9
本题考查二次函数$y=ax^2+k$的顶点坐标求解。解题时首先明确该类二次函数的结构特征：解析式中没有一次项，对称轴为y轴（即$x=0$），顶点在对称轴上，既可以将$x=0$代入解析式算出对应$y$值得到顶点坐标，也可以直接套用$y=ax^2+k$的顶点坐标公式快速得出结果。
【解析】
对于二次函数$y=ax^2+k$，其顶点坐标固定为$(0,k)$。
题中抛物线解析式为$y=-3x^2+2$，对应$k=2$，因此它的顶点坐标是$(0,2)$，对应选项A。
【答案】
A
【知识点】
二次函数顶点坐标；$y=ax^2+k$的性质
【点评】
本题属于基础题型，直接考查特殊形式二次函数的顶点坐标，熟练掌握对应函数性质即可快速得分。
【难度系数】
0.9
3.(芜湖期末)下列函数中,当$x＜0$时,$y$随$x$的增大而减小的是 (
A.$y=2x+2$
B.$y=-x^2$
C.$y=-x^2+2$
D.$y=2x^2+2$
D
)A.$y=2x+2$
B.$y=-x^2$
C.$y=-x^2+2$
D.$y=2x^2+2$
答案
3.D
解析
【分析】
本题需逐一判断各选项函数在x＜0时的增减性，解题思路如下：首先区分各选项的函数类型，回忆一次函数、二次函数的增减性判定规则：一次函数看斜率k的正负，k＞0时y随x增大而增大，k＜0时y随x增大而减小；二次函数先看开口方向（由a的正负决定），再结合对称轴x=0判断x＜0所在区间的增减性，最终选出符合要求的选项。
【解析】
我们逐个分析选项：
A. $y=2x+2$是一次函数，其中$k=2＞0$，因此在全体实数范围内$y$随$x$的增大而增大，$x＜0$时也满足递增，不符合要求，排除；
B. $y=-x^2$是二次函数，$a=-1＜0$，开口向下，对称轴为$x=0$（y轴），开口向下的二次函数在对称轴左侧（$x＜0$）$y$随$x$的增大而增大，不符合要求，排除；
C. $y=-x^2+2$是二次函数，$a=-1＜0$，开口向下，对称轴为$x=0$，和B选项性质一致，$x＜0$时$y$随$x$的增大而增大，不符合要求，排除；
D. $y=2x^2+2$是二次函数，$a=2＞0$，开口向上，对称轴为$x=0$，开口向上的二次函数在对称轴左侧（$x＜0$）$y$随$x$的增大而减小，符合题干要求。
【答案】
D
【知识点】
一次函数的增减性；二次函数y=ax²+k的性质
【点评】
本题属于基础题型，主要考查常见函数的增减性判断，解题核心是牢记不同函数的增减性规律，二次函数要注意结合开口方向和对称轴分区间判断增减性，是后续解决复杂二次函数问题的基础。
【难度系数】
0.8
本题需逐一判断各选项函数在x＜0时的增减性，解题思路如下：首先区分各选项的函数类型，回忆一次函数、二次函数的增减性判定规则：一次函数看斜率k的正负，k＞0时y随x增大而增大，k＜0时y随x增大而减小；二次函数先看开口方向（由a的正负决定），再结合对称轴x=0判断x＜0所在区间的增减性，最终选出符合要求的选项。
【解析】
我们逐个分析选项：
A. $y=2x+2$是一次函数，其中$k=2＞0$，因此在全体实数范围内$y$随$x$的增大而增大，$x＜0$时也满足递增，不符合要求，排除；
B. $y=-x^2$是二次函数，$a=-1＜0$，开口向下，对称轴为$x=0$（y轴），开口向下的二次函数在对称轴左侧（$x＜0$）$y$随$x$的增大而增大，不符合要求，排除；
C. $y=-x^2+2$是二次函数，$a=-1＜0$，开口向下，对称轴为$x=0$，和B选项性质一致，$x＜0$时$y$随$x$的增大而增大，不符合要求，排除；
D. $y=2x^2+2$是二次函数，$a=2＞0$，开口向上，对称轴为$x=0$，开口向上的二次函数在对称轴左侧（$x＜0$）$y$随$x$的增大而减小，符合题干要求。
【答案】
D
【知识点】
一次函数的增减性；二次函数y=ax²+k的性质
【点评】
本题属于基础题型，主要考查常见函数的增减性判断，解题核心是牢记不同函数的增减性规律，二次函数要注意结合开口方向和对称轴分区间判断增减性，是后续解决复杂二次函数问题的基础。
【难度系数】
0.8
4.若点$(x_1,y_1),(x_2,y_2)$在二次函数$y=-\dfrac{1}{2}x^2+1$的图象上，且$x_1＜x_2＜0$，则$y_1$与$y_2$的大小关系为________.(用“＜”连接)
答案
4.$y_1＜y_2$
解析
【分析】
要比较两个点的函数值大小，首先分析二次函数$y=-\dfrac{1}{2}x^2+1$的基本性质：先由二次项系数$a$的符号判断开口方向，再确定对称轴，接着判断$x＜0$区间内函数的增减性，最后根据$x_1＜x_2＜0$的大小关系，结合增减性推导$y_1$和$y_2$的大小。
【解析】
对于二次函数$y=-\dfrac{1}{2}x^2+1$：
1. 二次项系数$a=-\dfrac{1}{2}＜0$，因此抛物线开口向下；
2. 该函数不含一次项，对称轴为直线$x=0$（即$y$轴）；
3. 开口向下的抛物线，在对称轴左侧（$x＜0$时），$y$随$x$的增大而增大；
已知$x_1＜x_2＜0$，两点均在对称轴左侧，结合函数增减性可得：$y_1＜y_2$。
【答案】
$y_1＜y_2$
【知识点】
1. 二次函数$y=ax^2+k$的性质
2. 二次函数的增减性
【点评】
本题是二次函数函数值比较的基础题型，解题核心是先明确函数的开口方向、对称轴，判断对应区间的增减性，再结合自变量的大小关系即可快速得出结论，是二次函数性质的常规考查题。
【难度系数】
0.8
要比较两个点的函数值大小，首先分析二次函数$y=-\dfrac{1}{2}x^2+1$的基本性质：先由二次项系数$a$的符号判断开口方向，再确定对称轴，接着判断$x＜0$区间内函数的增减性，最后根据$x_1＜x_2＜0$的大小关系，结合增减性推导$y_1$和$y_2$的大小。
【解析】
对于二次函数$y=-\dfrac{1}{2}x^2+1$：
1. 二次项系数$a=-\dfrac{1}{2}＜0$，因此抛物线开口向下；
2. 该函数不含一次项，对称轴为直线$x=0$（即$y$轴）；
3. 开口向下的抛物线，在对称轴左侧（$x＜0$时），$y$随$x$的增大而增大；
已知$x_1＜x_2＜0$，两点均在对称轴左侧，结合函数增减性可得：$y_1＜y_2$。
【答案】
$y_1＜y_2$
【知识点】
1. 二次函数$y=ax^2+k$的性质
2. 二次函数的增减性
【点评】
本题是二次函数函数值比较的基础题型，解题核心是先明确函数的开口方向、对称轴，判断对应区间的增减性，再结合自变量的大小关系即可快速得出结论，是二次函数性质的常规考查题。
【难度系数】
0.8
5.已知二次函数 $ y = ax^2 + 1 $ 的图象经过点 $ A(-2,-5) $。
(1)求这个二次函数的表达式；
(2)若点 $ B(3,m) $ 在此抛物线上，则 $ m $ 的值为
(3)当 $ x＞0 $ 时，该抛物线从左到右
(1)求这个二次函数的表达式；
(2)若点 $ B(3,m) $ 在此抛物线上，则 $ m $ 的值为
$-\dfrac{25}{2}$
；(3)当 $ x＞0 $ 时，该抛物线从左到右
下降
（填“上升”或“下降”），$ y $ 的取值范围是 $y＜1$
。答案
5.解:(1)把$A(-2,-5)$代入$y=ax^2+1$,得$4a+1=-5$,解得$a=-\dfrac{3}{2}$. $\therefore$ 这个二次函数的表达式为$y=-\dfrac{3}{2}x^2+1$. (2)$-\dfrac{25}{2}$
(3)下降 $y＜1$
(3)下降 $y＜1$
解析
【分析】
(1) 要确定二次函数表达式，已知解析式仅含未知系数a，函数图象经过的点的坐标满足解析式，将点A的坐标代入即可得到关于a的方程，解方程求出a就能得到函数表达式。
(2) 点B在抛物线上，将点B的横坐标代入已求出的函数表达式，计算得到的y值就是m的值。
(3) 先根据a的符号判断抛物线开口方向，二次函数$y=ax^2+k$的对称轴为y轴，结合开口方向即可判断x＞0时的增减性，也就是图象的升降趋势；再结合x＞0的范围和抛物线顶点坐标，即可确定y的取值范围。
【解析】
(1) 将点$A(-2,-5)$代入$y=ax^2+1$，得：
$a×(-2)^2 + 1 = -5$
即$4a+1=-5$，解得$a=-\dfrac{3}{2}$
$\therefore$ 这个二次函数的表达式为$y=-\dfrac{3}{2}x^2+1$。
(2) 把$x=3$代入$y=-\dfrac{3}{2}x^2+1$，得：
$m=-\dfrac{3}{2}×3^2 +1 = -\dfrac{27}{2}+1 = -\dfrac{25}{2}$
(3) $\because a=-\dfrac{3}{2}＜0$，$\therefore$ 抛物线开口向下，对称轴为y轴，因此当$x＞0$时，y随x的增大而减小，即抛物线从左到右下降；
抛物线顶点坐标为$(0,1)$，开口向下，因此当$x＞0$时，y的取值小于顶点纵坐标1，即$y＜1$。
【答案】
(1) $y=-\dfrac{3}{2}x^2+1$；(2) $-\dfrac{25}{2}$；(3) 下降，$y＜1$
【知识点】
待定系数法求解析式，二次函数的图象性质，二次函数上点的坐标特征
【点评】
本题是二次函数基础题，核心考察二次函数$y=ax^2+k$的基本性质和待定系数法的应用，熟练掌握开口方向、增减性、顶点坐标等基础知识点即可快速解答。
【难度系数】
0.8
(1) 要确定二次函数表达式，已知解析式仅含未知系数a，函数图象经过的点的坐标满足解析式，将点A的坐标代入即可得到关于a的方程，解方程求出a就能得到函数表达式。
(2) 点B在抛物线上，将点B的横坐标代入已求出的函数表达式，计算得到的y值就是m的值。
(3) 先根据a的符号判断抛物线开口方向，二次函数$y=ax^2+k$的对称轴为y轴，结合开口方向即可判断x＞0时的增减性，也就是图象的升降趋势；再结合x＞0的范围和抛物线顶点坐标，即可确定y的取值范围。
【解析】
(1) 将点$A(-2,-5)$代入$y=ax^2+1$，得：
$a×(-2)^2 + 1 = -5$
即$4a+1=-5$，解得$a=-\dfrac{3}{2}$
$\therefore$ 这个二次函数的表达式为$y=-\dfrac{3}{2}x^2+1$。
(2) 把$x=3$代入$y=-\dfrac{3}{2}x^2+1$，得：
$m=-\dfrac{3}{2}×3^2 +1 = -\dfrac{27}{2}+1 = -\dfrac{25}{2}$
(3) $\because a=-\dfrac{3}{2}＜0$，$\therefore$ 抛物线开口向下，对称轴为y轴，因此当$x＞0$时，y随x的增大而减小，即抛物线从左到右下降；
抛物线顶点坐标为$(0,1)$，开口向下，因此当$x＞0$时，y的取值小于顶点纵坐标1，即$y＜1$。
【答案】
(1) $y=-\dfrac{3}{2}x^2+1$；(2) $-\dfrac{25}{2}$；(3) 下降，$y＜1$
【知识点】
待定系数法求解析式，二次函数的图象性质，二次函数上点的坐标特征
【点评】
本题是二次函数基础题，核心考察二次函数$y=ax^2+k$的基本性质和待定系数法的应用，熟练掌握开口方向、增减性、顶点坐标等基础知识点即可快速解答。
【难度系数】
0.8
6. 在同一平面直角坐标系中，对于抛物线$y=-2x^2$，$y=-2x^2+1$，下列说法不正确的是（
A.开口方向相同
B.形状相同
C.都经过原点
D.对称轴都是$y$轴
C
）A.开口方向相同
B.形状相同
C.都经过原点
D.对称轴都是$y$轴
答案
6.C
解析
【分析】
解答本题需先掌握二次函数$y=ax^2+k$的基本性质：二次项系数$a$决定开口方向和形状，$|a|$相等则形状相同，$a$的符号决定开口方向；形如$y=ax^2+k$的抛物线对称轴均为$y$轴；判断函数是否过原点，只需将$x=0$代入解析式，看$y$是否为0即可。按照以上性质逐一分析选项，找出说法错误的选项即可。
【解析】
我们对四个选项逐一分析：
1. 分析A选项：两个抛物线的二次项系数均为$-2＜0$，因此开口方向都向下，开口方向相同，A选项说法正确，不符合题意。
2. 分析B选项：二次函数的形状由$|a|$决定，两个抛物线的$|a|$都等于2，因此形状相同，B选项说法正确，不符合题意。
3. 分析C选项：将$x=0$分别代入两个解析式：
对于$y=-2x^2$，$x=0$时$y=0$，过原点；
对于$y=-2x^2+1$，$x=0$时$y=1≠0$，不过原点。
因此“都经过原点”的说法错误，C选项符合题意。
4. 分析D选项：两个抛物线都属于$y=ax^2+k$的形式，对称轴都是$x=0$即$y$轴，D选项说法正确，不符合题意。
综上，答案选C。
【答案】
C
【知识点】
1. 二次函数$y=ax^2+k$的性质
2. 函数过原点的判定
3. 二次函数的对称性
【点评】
本题是二次函数性质的基础考查题，解题核心是牢记二次项系数$a$、常数项$k$对函数图象的影响，只要熟练掌握相关性质，逐一验证选项就能快速得出答案。
【难度系数】
0.9
解答本题需先掌握二次函数$y=ax^2+k$的基本性质：二次项系数$a$决定开口方向和形状，$|a|$相等则形状相同，$a$的符号决定开口方向；形如$y=ax^2+k$的抛物线对称轴均为$y$轴；判断函数是否过原点，只需将$x=0$代入解析式，看$y$是否为0即可。按照以上性质逐一分析选项，找出说法错误的选项即可。
【解析】
我们对四个选项逐一分析：
1. 分析A选项：两个抛物线的二次项系数均为$-2＜0$，因此开口方向都向下，开口方向相同，A选项说法正确，不符合题意。
2. 分析B选项：二次函数的形状由$|a|$决定，两个抛物线的$|a|$都等于2，因此形状相同，B选项说法正确，不符合题意。
3. 分析C选项：将$x=0$分别代入两个解析式：
对于$y=-2x^2$，$x=0$时$y=0$，过原点；
对于$y=-2x^2+1$，$x=0$时$y=1≠0$，不过原点。
因此“都经过原点”的说法错误，C选项符合题意。
4. 分析D选项：两个抛物线都属于$y=ax^2+k$的形式，对称轴都是$x=0$即$y$轴，D选项说法正确，不符合题意。
综上，答案选C。
【答案】
C
【知识点】
1. 二次函数$y=ax^2+k$的性质
2. 函数过原点的判定
3. 二次函数的对称性
【点评】
本题是二次函数性质的基础考查题，解题核心是牢记二次项系数$a$、常数项$k$对函数图象的影响，只要熟练掌握相关性质，逐一验证选项就能快速得出答案。
【难度系数】
0.9
7.(亳州谯城区期中)将抛物线$y=x^2$向上平移3个单位长度,所得抛物线的函数表达式是 (
A.$y=x^2+3$
B.$y=x^2-3$
C.$y=(x+3)^2$
D.$y=(x-3)^2$
【变式题】将抛物线$y=3x^2$向上平移k个单位长度,得到的抛物线为$y=ax^2+2$,则a的值为
A
)A.$y=x^2+3$
B.$y=x^2-3$
C.$y=(x+3)^2$
D.$y=(x-3)^2$
【变式题】将抛物线$y=3x^2$向上平移k个单位长度,得到的抛物线为$y=ax^2+2$,则a的值为
3
,k的值为2
.答案
7.A 【变式题】3 2
解析
【分析】
解题核心是掌握二次函数图象平移的规律：抛物线平移时形状和开口方向不变，因此二次项系数a不变；平移遵循“上加下减，左加右减”的规则，上下平移改变的是常数项（向上平移加、向下平移减），左右平移改变的是自变量x（向左平移加、向右平移减）。
第7题中，原抛物线向上平移属于上下平移，直接按规则对常数项做加法即可得到新解析式；变式题先根据平移不改变二次项系数得到a的值，再对照平移后的解析式匹配求出k值即可。
【解析】
第7题
根据二次函数图象平移“上加下减”的规律，将抛物线$y=x^2$向上平移3个单位长度，只需在原函数表达式的基础上增加常数项3，可得平移后的抛物线表达式为$y=x^2+3$，故选A。
变式题
抛物线平移过程中开口方向和大小不变，因此二次项系数$a$不变，原抛物线$y=3x^2$的二次项系数为3，故平移后$a=3$；
向上平移$k$个单位长度后，新抛物线的表达式为$y=3x^2 +k$，结合题意平移后抛物线为$y=ax^2+2$，代入$a=3$可得$3x^2 +k=3x^2 +2$，解得$k=2$。
【答案】
7.A；【变式题】3，2
【知识点】
1. 二次函数图象平移规律
2. 二次函数的基本性质
【点评】
本题属于二次函数的基础题型，主要考查图象平移的核心规则，只要牢记“上加下减常数项，左加右减自变量”的平移口诀，明确平移不改变二次项系数的特点，就能快速准确解题，需要熟练掌握避免混淆平移的变化位置。
【难度系数】
0.85
解题核心是掌握二次函数图象平移的规律：抛物线平移时形状和开口方向不变，因此二次项系数a不变；平移遵循“上加下减，左加右减”的规则，上下平移改变的是常数项（向上平移加、向下平移减），左右平移改变的是自变量x（向左平移加、向右平移减）。
第7题中，原抛物线向上平移属于上下平移，直接按规则对常数项做加法即可得到新解析式；变式题先根据平移不改变二次项系数得到a的值，再对照平移后的解析式匹配求出k值即可。
【解析】
第7题
根据二次函数图象平移“上加下减”的规律，将抛物线$y=x^2$向上平移3个单位长度，只需在原函数表达式的基础上增加常数项3，可得平移后的抛物线表达式为$y=x^2+3$，故选A。
变式题
抛物线平移过程中开口方向和大小不变，因此二次项系数$a$不变，原抛物线$y=3x^2$的二次项系数为3，故平移后$a=3$；
向上平移$k$个单位长度后，新抛物线的表达式为$y=3x^2 +k$，结合题意平移后抛物线为$y=ax^2+2$，代入$a=3$可得$3x^2 +k=3x^2 +2$，解得$k=2$。
【答案】
7.A；【变式题】3，2
【知识点】
1. 二次函数图象平移规律
2. 二次函数的基本性质
【点评】
本题属于二次函数的基础题型，主要考查图象平移的核心规则，只要牢记“上加下减常数项，左加右减自变量”的平移口诀，明确平移不改变二次项系数的特点，就能快速准确解题，需要熟练掌握避免混淆平移的变化位置。
【难度系数】
0.85
8.在平面直角坐标系中,将二次函数$y=\frac{1}{3}x^2$的图象进行上下平移,得到的图象经过点$(3,-3)$,求平移的方向和距离.
答案
8.解:设平移后的图象的函数表达式为$y=\dfrac{1}{3}x^2+k$. 把$(3,-3)$代入,得$-3=\dfrac{1}{3}×3^2+k$,解得$k=-6$. $\therefore$ 把二次函数$y=\dfrac{1}{3}x^2$的图象向下平移6个单位长度,得到的图象经过点$(3,-3)$.
解析
【分析】
解决本题首先要明确二次函数上下平移的规律：上下平移时二次项系数不变，仅常数项发生变化，遵循“上加下减”的规则。解题时先根据平移规律设出平移后的函数解析式，再将已知点坐标代入解析式求出未知常数，最后根据常数的符号判断平移方向，常数的绝对值就是平移的距离。
【解析】
设平移后的图象对应的函数表达式为$y=\dfrac{1}{3}x^2+k$。
把点$(3,-3)$代入上述表达式，得：
$-3=\dfrac{1}{3}×3^2+k$
计算得$\dfrac{1}{3}×9=3$，即$-3=3+k$，解得$k=-6$。
因为$k=-6＜0$，所以是向下平移，平移的距离为$|k|=6$个单位长度。
【答案】
将二次函数$y=\dfrac{1}{3}x^2$的图象向下平移6个单位长度。
【知识点】
二次函数图象平移规律；待定系数法求函数解析式
【点评】
本题是二次函数平移的基础题型，重点考查对上下平移规律的理解和应用，熟练掌握“上加下减”的平移规则，结合待定系数法代入求值即可快速解题。
【难度系数】
0.8
解决本题首先要明确二次函数上下平移的规律：上下平移时二次项系数不变，仅常数项发生变化，遵循“上加下减”的规则。解题时先根据平移规律设出平移后的函数解析式，再将已知点坐标代入解析式求出未知常数，最后根据常数的符号判断平移方向，常数的绝对值就是平移的距离。
【解析】
设平移后的图象对应的函数表达式为$y=\dfrac{1}{3}x^2+k$。
把点$(3,-3)$代入上述表达式，得：
$-3=\dfrac{1}{3}×3^2+k$
计算得$\dfrac{1}{3}×9=3$，即$-3=3+k$，解得$k=-6$。
因为$k=-6＜0$，所以是向下平移，平移的距离为$|k|=6$个单位长度。
【答案】
将二次函数$y=\dfrac{1}{3}x^2$的图象向下平移6个单位长度。
【知识点】
二次函数图象平移规律；待定系数法求函数解析式
【点评】
本题是二次函数平移的基础题型，重点考查对上下平移规律的理解和应用，熟练掌握“上加下减”的平移规则，结合待定系数法代入求值即可快速解题。
【难度系数】
0.8
9.已知二次函数$y=x^2 -4$的图象如图
所示，现将x轴向上平移4个单位长度，在新坐标系中，此图象对应的函数表达式为
所示，现将x轴向上平移4个单位长度，在新坐标系中，此图象对应的函数表达式为$y=x^2-8$
。答案
9.$y=x^2-8$
解析
【分析】
解题思路可从两个方向入手：一是理解坐标轴平移与函数图象平移的等价关系，x轴向上平移4个单位，相当于函数图象相对向下平移4个单位，结合二次函数平移规律即可求解；二是通过坐标变换推导，明确新旧坐标系的纵坐标对应关系，代入原函数表达式化简得到结果。解题时需注意平移方向的对应，避免混淆加减规则。
【解析】
方法1：等价图象平移法
将x轴向上平移4个单位，等价于二次函数图象在原坐标系基础上向下平移4个单位。
根据二次函数图象平移“上加下减”的规律，原函数为$y=x^2-4$，向下平移4个单位后，函数表达式为：
$y=x^2-4-4=x^2-8$
方法2：坐标变换法
设新坐标系下点的坐标为$(x,y)$，对应原坐标系的纵坐标为$y_原$，由于x轴向上平移4个单位，横坐标不变，纵坐标满足$y_原=y+4$。
将$y_原=y+4$代入原函数$y_原=x^2-4$，得：
$y+4=x^2-4$
整理得$y=x^2-8$
【答案】
$y=x^2-8$
【知识点】
二次函数平移规律、坐标变换
【点评】
本题核心是坐标轴平移和函数图象平移的转换，易错点是混淆坐标轴平移方向和函数平移方向的对应关系，掌握平移的规则即可准确求解。
【难度系数】
0.7
解题思路可从两个方向入手：一是理解坐标轴平移与函数图象平移的等价关系，x轴向上平移4个单位，相当于函数图象相对向下平移4个单位，结合二次函数平移规律即可求解；二是通过坐标变换推导，明确新旧坐标系的纵坐标对应关系，代入原函数表达式化简得到结果。解题时需注意平移方向的对应，避免混淆加减规则。
【解析】
方法1：等价图象平移法
将x轴向上平移4个单位，等价于二次函数图象在原坐标系基础上向下平移4个单位。
根据二次函数图象平移“上加下减”的规律，原函数为$y=x^2-4$，向下平移4个单位后，函数表达式为：
$y=x^2-4-4=x^2-8$
方法2：坐标变换法
设新坐标系下点的坐标为$(x,y)$，对应原坐标系的纵坐标为$y_原$，由于x轴向上平移4个单位，横坐标不变，纵坐标满足$y_原=y+4$。
将$y_原=y+4$代入原函数$y_原=x^2-4$，得：
$y+4=x^2-4$
整理得$y=x^2-8$
【答案】
$y=x^2-8$
【知识点】
二次函数平移规律、坐标变换
【点评】
本题核心是坐标轴平移和函数图象平移的转换，易错点是混淆坐标轴平移方向和函数平移方向的对应关系，掌握平移的规则即可准确求解。
【难度系数】
0.7
