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10.若抛物线$y=(a+3)x^2 -8$不经过第一象限，则a的值可能是（
A.2
B.1
C.-2
D.-4
D
）A.2
B.1
C.-2
D.-4
答案
10.D
解析
【分析】
首先回忆二次函数$y=ax^2+k$的图象性质：该类抛物线的顶点坐标为$(0,k)$，与y轴交于$(0,k)$，开口方向由二次项系数$a$的符号决定，$a＞0$时开口向上，$a＜0$时开口向下。本题中抛物线的常数项为-8，即与y轴交于$(0,-8)$，该点在y轴负半轴。若要抛物线不经过第一象限，需抛物线开口向下，否则开口向上时抛物线向上无限延伸，x取正值时必然会出现$y＞0$的情况，进入第一象限。因此只需列不等式求出$a$的取值范围，再匹配选项即可。
【解析】
解：抛物线$y=(a+3)x^2 -8$的顶点坐标为$(0,-8)$，与y轴交于点$(0,-8)$，该点位于y轴负半轴。
要使抛物线不经过第一象限，需抛物线开口向下，即二次项系数小于0：
$a+3＜0$
解得$a＜-3$
逐一核对选项：
A.$2＞-3$，不符合；B.$1＞-3$，不符合；C.$-2＞-3$，不符合；D.$-4＜-3$，符合要求。
故选D。
【答案】
D
【知识点】
二次函数图象性质，二次项系数与开口方向，象限坐标特征
【点评】
本题是二次函数图象性质的基础应用题，解题的核心是结合抛物线与y轴的交点位置，准确判断开口方向的限制条件，只要熟练掌握二次函数的基本性质就能快速求解。
【难度系数】
0.8
首先回忆二次函数$y=ax^2+k$的图象性质：该类抛物线的顶点坐标为$(0,k)$，与y轴交于$(0,k)$，开口方向由二次项系数$a$的符号决定，$a＞0$时开口向上，$a＜0$时开口向下。本题中抛物线的常数项为-8，即与y轴交于$(0,-8)$，该点在y轴负半轴。若要抛物线不经过第一象限，需抛物线开口向下，否则开口向上时抛物线向上无限延伸，x取正值时必然会出现$y＞0$的情况，进入第一象限。因此只需列不等式求出$a$的取值范围，再匹配选项即可。
【解析】
解：抛物线$y=(a+3)x^2 -8$的顶点坐标为$(0,-8)$，与y轴交于点$(0,-8)$，该点位于y轴负半轴。
要使抛物线不经过第一象限，需抛物线开口向下，即二次项系数小于0：
$a+3＜0$
解得$a＜-3$
逐一核对选项：
A.$2＞-3$，不符合；B.$1＞-3$，不符合；C.$-2＞-3$，不符合；D.$-4＜-3$，符合要求。
故选D。
【答案】
D
【知识点】
二次函数图象性质，二次项系数与开口方向，象限坐标特征
【点评】
本题是二次函数图象性质的基础应用题，解题的核心是结合抛物线与y轴的交点位置，准确判断开口方向的限制条件，只要熟练掌握二次函数的基本性质就能快速求解。
【难度系数】
0.8
11.在同一平面直角坐标系中，一次函数$y=-mx+n^2$与二次函数$y=x^2+m$的图象可能是（
D
）答案
11.D
解析
【分析】
本题为一次函数与二次函数图象匹配类题目，解题思路如下：第一步先根据二次函数的二次项系数判断抛物线开口方向，排除明显错误的选项；第二步根据二次函数与y轴的交点位置确定参数m的正负；第三步结合m的正负推导一次函数的斜率（升降趋势），同时结合一次函数常数项$n^2$的非负性判断一次函数与y轴交点的位置，最终验证剩余选项是否符合所有特征，选出正确答案。
【解析】
1. 分析二次函数$y=x^2+m$的图象特征：
二次项系数$a=1＞0$，因此抛物线开口向上，选项B中抛物线开口向下，直接排除。
2. 分析A、C、D中二次函数与y轴的交点：
三个选项的抛物线均与y轴交于负半轴，说明常数项$m＜0$。
3. 推导一次函数$y=-mx+n^2$的图象特征：
一次函数的斜率为$-m$，因为$m＜0$，因此$-m＞0$，即一次函数图象应为上升趋势（y随x的增大而增大）；同时$n^2≥0$，因此一次函数与y轴的交点$(0,n^2)$应在y轴非负半轴。
4. 验证剩余选项：
选项A、C中的一次函数呈下降趋势，不符合斜率为正的特征，排除；
选项D中的一次函数呈上升趋势，且与y轴交于正半轴，符合所有特征，因此正确。
【答案】
D
【知识点】
二次函数的图象与性质；一次函数的图象与性质
【点评】
本题是函数图象判断的典型题型，重点考查函数图象与系数符号的对应关系，解题时需要结合两个函数的参数关联逐一验证，掌握两类基本函数的图象性质是解题的核心。
【难度系数】
0.7
本题为一次函数与二次函数图象匹配类题目，解题思路如下：第一步先根据二次函数的二次项系数判断抛物线开口方向，排除明显错误的选项；第二步根据二次函数与y轴的交点位置确定参数m的正负；第三步结合m的正负推导一次函数的斜率（升降趋势），同时结合一次函数常数项$n^2$的非负性判断一次函数与y轴交点的位置，最终验证剩余选项是否符合所有特征，选出正确答案。
【解析】
1. 分析二次函数$y=x^2+m$的图象特征：
二次项系数$a=1＞0$，因此抛物线开口向上，选项B中抛物线开口向下，直接排除。
2. 分析A、C、D中二次函数与y轴的交点：
三个选项的抛物线均与y轴交于负半轴，说明常数项$m＜0$。
3. 推导一次函数$y=-mx+n^2$的图象特征：
一次函数的斜率为$-m$，因为$m＜0$，因此$-m＞0$，即一次函数图象应为上升趋势（y随x的增大而增大）；同时$n^2≥0$，因此一次函数与y轴的交点$(0,n^2)$应在y轴非负半轴。
4. 验证剩余选项：
选项A、C中的一次函数呈下降趋势，不符合斜率为正的特征，排除；
选项D中的一次函数呈上升趋势，且与y轴交于正半轴，符合所有特征，因此正确。
【答案】
D
【知识点】
二次函数的图象与性质；一次函数的图象与性质
【点评】
本题是函数图象判断的典型题型，重点考查函数图象与系数符号的对应关系，解题时需要结合两个函数的参数关联逐一验证，掌握两类基本函数的图象性质是解题的核心。
【难度系数】
0.7
12.如图,在平面直角坐标系中,抛物线$y=ax^2+3$与y轴交于点A,过点A与x轴平行的直线交抛物线$y=\frac{1}{3}x^2$于点B,C,则BC的长为
6
。答案
12.6
解析
【分析】
解题时首先确定点A的坐标：抛物线与y轴交点的横坐标为0，代入解析式即可得到A点纵坐标，也就是BC所在直线的纵坐标（因为BC平行于x轴，直线上所有点纵坐标相等）；再将该纵坐标代入抛物线$y=\frac{1}{3}x^2$，求出B、C两点的横坐标，最后根据两点纵坐标相同，距离等于横坐标差的绝对值，计算BC长度即可。
【解析】
1. 求点A的坐标：
对于抛物线$y=ax^2+3$，当$x=0$时，$y=3$，因此点A的坐标为$(0,3)$。
2. 确定B、C两点的纵坐标：
∵直线BC过点A且与x轴平行，
∴B、C两点的纵坐标均为3。
3. 求B、C的横坐标：
将$y=3$代入$y=\frac{1}{3}x^2$，得：
$3=\frac{1}{3}x^2$，解得$x^2=9$，即$x=3$或$x=-3$。
∴点B坐标为$(-3,3)$，点C坐标为$(3,3)$。
4. 计算BC长度：
$BC=|3 - (-3)|=6$。
【答案】
6
【知识点】
二次函数点坐标特征；平行于x轴直线的坐标性质；两点间距离计算
【点评】
本题属于二次函数的基础应用题，解题核心是利用“平行于x轴的直线上点纵坐标相等”的性质，结合二次函数图象上的点满足解析式求出B、C的坐标，计算过程简单，掌握基础性质即可顺利求解。
【难度系数】
0.8
解题时首先确定点A的坐标：抛物线与y轴交点的横坐标为0，代入解析式即可得到A点纵坐标，也就是BC所在直线的纵坐标（因为BC平行于x轴，直线上所有点纵坐标相等）；再将该纵坐标代入抛物线$y=\frac{1}{3}x^2$，求出B、C两点的横坐标，最后根据两点纵坐标相同，距离等于横坐标差的绝对值，计算BC长度即可。
【解析】
1. 求点A的坐标：
对于抛物线$y=ax^2+3$，当$x=0$时，$y=3$，因此点A的坐标为$(0,3)$。
2. 确定B、C两点的纵坐标：
∵直线BC过点A且与x轴平行，
∴B、C两点的纵坐标均为3。
3. 求B、C的横坐标：
将$y=3$代入$y=\frac{1}{3}x^2$，得：
$3=\frac{1}{3}x^2$，解得$x^2=9$，即$x=3$或$x=-3$。
∴点B坐标为$(-3,3)$，点C坐标为$(3,3)$。
4. 计算BC长度：
$BC=|3 - (-3)|=6$。
【答案】
6
【知识点】
二次函数点坐标特征；平行于x轴直线的坐标性质；两点间距离计算
【点评】
本题属于二次函数的基础应用题，解题核心是利用“平行于x轴的直线上点纵坐标相等”的性质，结合二次函数图象上的点满足解析式求出B、C的坐标，计算过程简单，掌握基础性质即可顺利求解。
【难度系数】
0.8
13.已知二次函数$y=ax^2+a^2-4$有最小值5.
(1)求$a$的值；
(2)若$-1≤x≤2$，求$y$的最大值和最小值.
(1)求$a$的值；
(2)若$-1≤x≤2$，求$y$的最大值和最小值.
答案
13.解:(1)由题意,得$\begin{cases}a＞0,\\a^2-4=5,\end{cases}$ 解得$a=3$. (2)由(1),得二次函数的表达式为$y=3x^2+5$. $\because 3＞0,-1≤ x≤2,\therefore$ 当$x=0$时,$y$有最小值,最小值为5;当$x=2$时,$y$有最大值,最大值为$3×2^2+5=17$.
解析
【分析】
(1) 对于二次函数$y=ax^2+k$，当$a＞0$时抛物线开口向上，函数有最小值，最小值为常数项$k$。本题中函数有最小值5，因此首先确定$a＞0$，再列方程$a^2-4=5$，求解后舍去负的$a$值即可。
(2) 先根据(1)的结果得到二次函数解析式，明确其开口向上、对称轴为y轴（$x=0$）；结合给定的x取值范围$-1≤x≤2$，对称轴在区间内，因此最小值在顶点（$x=0$）处取得，最大值在离对称轴最远的区间端点处取得，代入计算即可。
【解析】
(1) 由二次函数有最小值可知，抛物线开口向上，即$a＞0$，且最小值为常数项，因此列方程组：
$\begin{cases}a＞0,\\a^2-4=5,\end{cases}$
解$a^2-4=5$得$a^2=9$，$a=\pm3$，结合$a＞0$，解得$a=3$。
(2) 把$a=3$代入原式，得二次函数的表达式为$y=3x^2+5$。
$\because 3＞0$，抛物线开口向上，对称轴为$x=0$，且$-1≤ x≤2$，
$\therefore$ 当$x=0$时，$y$取得最小值，最小值为$3×0^2+5=5$；
比较区间端点到对称轴的距离：$|-1-0|=1$，$|2-0|=2$，$2＞1$，因此$x=2$时$y$取得最大值，最大值为$3×2^2+5=17$。
【答案】
(1) $a=3$；(2) $y$的最大值为17，最小值为5。
【知识点】
1. 二次函数最值性质
2. $y=ax²+k$的图象性质
3. 定区间二次函数最值求解
【点评】
本题是二次函数基础题型，核心考查$y=ax^2+k$的性质应用，解题时需注意先由最值的存在性确定二次项系数的符号，求定区间最值时要结合对称轴与区间的位置关系判断最值点，避免直接代入端点计算出错。
【难度系数】
0.8
(1) 对于二次函数$y=ax^2+k$，当$a＞0$时抛物线开口向上，函数有最小值，最小值为常数项$k$。本题中函数有最小值5，因此首先确定$a＞0$，再列方程$a^2-4=5$，求解后舍去负的$a$值即可。
(2) 先根据(1)的结果得到二次函数解析式，明确其开口向上、对称轴为y轴（$x=0$）；结合给定的x取值范围$-1≤x≤2$，对称轴在区间内，因此最小值在顶点（$x=0$）处取得，最大值在离对称轴最远的区间端点处取得，代入计算即可。
【解析】
(1) 由二次函数有最小值可知，抛物线开口向上，即$a＞0$，且最小值为常数项，因此列方程组：
$\begin{cases}a＞0,\\a^2-4=5,\end{cases}$
解$a^2-4=5$得$a^2=9$，$a=\pm3$，结合$a＞0$，解得$a=3$。
(2) 把$a=3$代入原式，得二次函数的表达式为$y=3x^2+5$。
$\because 3＞0$，抛物线开口向上，对称轴为$x=0$，且$-1≤ x≤2$，
$\therefore$ 当$x=0$时，$y$取得最小值，最小值为$3×0^2+5=5$；
比较区间端点到对称轴的距离：$|-1-0|=1$，$|2-0|=2$，$2＞1$，因此$x=2$时$y$取得最大值，最大值为$3×2^2+5=17$。
【答案】
(1) $a=3$；(2) $y$的最大值为17，最小值为5。
【知识点】
1. 二次函数最值性质
2. $y=ax²+k$的图象性质
3. 定区间二次函数最值求解
【点评】
本题是二次函数基础题型，核心考查$y=ax^2+k$的性质应用，解题时需注意先由最值的存在性确定二次项系数的符号，求定区间最值时要结合对称轴与区间的位置关系判断最值点，避免直接代入端点计算出错。
【难度系数】
0.8
14. 实践探究 新趋势 某数学兴趣小组对函数$y=|x^2 -1|$的图象与性质进行探究的过程如下,请你补充完整.
(1)函数$y=|x^2 -1|$的自变量$x$的取值范围是
(2)①列表:将表格补充完整；
②描点；
③连线:用平滑的曲线顺次连接各点,请把图象补充完整；
(3)下列关于该函数的说法错误的是
A. 函数图象是轴对称图形
B. 当$x＞0$时,函数值$y$随$x$的增大而增大
C. 函数值$y$都是非负数
D. 若函数图象经过点$(m,a)$与$(-m,b)$,则$a=b$
(4)若点$(x_1,y_1)$与$(x_2,y_2)$在该函数图象上,且$|x_2|＜|x_1|＜1$,则$y_1$与$y_2$的大小关系是
(1)函数$y=|x^2 -1|$的自变量$x$的取值范围是
任意实数
；(2)①列表:将表格补充完整；
②描点；
③连线:用平滑的曲线顺次连接各点,请把图象补充完整；
(3)下列关于该函数的说法错误的是
B
；A. 函数图象是轴对称图形
B. 当$x＞0$时,函数值$y$随$x$的增大而增大
C. 函数值$y$都是非负数
D. 若函数图象经过点$(m,a)$与$(-m,b)$,则$a=b$
(4)若点$(x_1,y_1)$与$(x_2,y_2)$在该函数图象上,且$|x_2|＜|x_1|＜1$,则$y_1$与$y_2$的大小关系是
$y_1＜y_2$
.(用“＜”连接)答案
14.解:(1)任意实数 (2)①$\dfrac{3}{4}$ $\dfrac{3}{4}$ ②③如图所示.
(3)B (4)$y_1＜y_2$解析
【分析】
1. 第(1)问：该函数是含绝对值的整式类函数，整式函数对自变量无额外限制，可直接确定自变量取值范围。
2. 第(2)问：表格空缺值可将对应x值代入函数解析式，结合绝对值运算求出；描点连线按坐标顺序绘制即可。
3. 第(3)问：逐个分析选项，结合函数的对称性、分段增减性、绝对值的非负性判断说法正误。
4. 第(4)问：先明确|x|＜1时函数随|x|的变化规律，再结合已知的|x₁|、|x₂|的大小关系，比较y值大小。
【解析】
(1) 函数$y=|x^2-1|$为整式类函数，自变量$x$没有取值限制，因此$x$的取值范围是任意实数。
(2) ① 当$x=-\frac{1}{2}$时，代入得$y=|(-\frac{1}{2})^2-1|=|\frac{1}{4}-1|=\frac{3}{4}$；当$x=\frac{1}{2}$时，代入得$y=|(\frac{1}{2})^2-1|=\frac{3}{4}$，故空缺值依次为$\frac{3}{4}$、$\frac{3}{4}$。②③描点连线后图象如下：
(3) 逐一分析选项：
A. 代入$-x$可得$y=|(-x)^2-1|=|x^2-1|$，函数图象关于y轴对称，属于轴对称图形，该说法正确；
B. 当$0＜x＜1$时，$y=1-x^2$，$y$随$x$增大而减小，当$x＞1$时，$y=x^2-1$，$y$随$x$增大而增大，因此“x＞0时y随x增大而增大”的说法错误；
C. 绝对值的结果非负，因此$y=|x^2-1|≥0$，函数值都是非负数，该说法正确；
D. 由函数关于y轴对称可知，横坐标互为相反数的点函数值相等，即$a=b$，该说法正确。
因此错误选项为B。
(4) 当$|x|＜1$时，$y=1-x^2$，此时$|x|$越大，$x^2$越大，对应的$y$值越小。已知$|x_2|＜|x_1|＜1$，因此$y_1＜y_2$。
【答案】
(1) 任意实数
(2) ①$\dfrac{3}{4}$；$\dfrac{3}{4}$ ②③
(3) B
(4) $y_1＜y_2$
【知识点】
绝对值的性质；二次函数的图象与性质；函数自变量取值范围
【点评】
本题结合含绝对值的二次函数考查函数的基本性质，解题时可结合分段函数和图象分析增减性、对称性，能有效锻炼数形结合的思维能力。
【难度系数】
0.7
1. 第(1)问：该函数是含绝对值的整式类函数，整式函数对自变量无额外限制，可直接确定自变量取值范围。
2. 第(2)问：表格空缺值可将对应x值代入函数解析式，结合绝对值运算求出；描点连线按坐标顺序绘制即可。
3. 第(3)问：逐个分析选项，结合函数的对称性、分段增减性、绝对值的非负性判断说法正误。
4. 第(4)问：先明确|x|＜1时函数随|x|的变化规律，再结合已知的|x₁|、|x₂|的大小关系，比较y值大小。
【解析】
(1) 函数$y=|x^2-1|$为整式类函数，自变量$x$没有取值限制，因此$x$的取值范围是任意实数。
(2) ① 当$x=-\frac{1}{2}$时，代入得$y=|(-\frac{1}{2})^2-1|=|\frac{1}{4}-1|=\frac{3}{4}$；当$x=\frac{1}{2}$时，代入得$y=|(\frac{1}{2})^2-1|=\frac{3}{4}$，故空缺值依次为$\frac{3}{4}$、$\frac{3}{4}$。②③描点连线后图象如下：
(3) 逐一分析选项：
A. 代入$-x$可得$y=|(-x)^2-1|=|x^2-1|$，函数图象关于y轴对称，属于轴对称图形，该说法正确；
B. 当$0＜x＜1$时，$y=1-x^2$，$y$随$x$增大而减小，当$x＞1$时，$y=x^2-1$，$y$随$x$增大而增大，因此“x＞0时y随x增大而增大”的说法错误；
C. 绝对值的结果非负，因此$y=|x^2-1|≥0$，函数值都是非负数，该说法正确；
D. 由函数关于y轴对称可知，横坐标互为相反数的点函数值相等，即$a=b$，该说法正确。
因此错误选项为B。
(4) 当$|x|＜1$时，$y=1-x^2$，此时$|x|$越大，$x^2$越大，对应的$y$值越小。已知$|x_2|＜|x_1|＜1$，因此$y_1＜y_2$。
【答案】
(1) 任意实数
(2) ①$\dfrac{3}{4}$；$\dfrac{3}{4}$ ②③
(3) B
(4) $y_1＜y_2$
【知识点】
绝对值的性质；二次函数的图象与性质；函数自变量取值范围
【点评】
本题结合含绝对值的二次函数考查函数的基本性质，解题时可结合分段函数和图象分析增减性、对称性，能有效锻炼数形结合的思维能力。
【难度系数】
0.7
