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1. 下列函数是二次函数的是 （
A.$y=-3x^2+2$
B.$y=2x-3$
C.$y=3x^2+\frac{1}{x}$
D.$y=\frac{1}{x^2}$
A
）A.$y=-3x^2+2$
B.$y=2x-3$
C.$y=3x^2+\frac{1}{x}$
D.$y=\frac{1}{x^2}$
答案
1.A
解析
【分析】
要解决这道题，首先要明确二次函数的判定标准：形如$y=ax^2+bx+c$（$a、b、c$为常数，且$a≠0$）的函数叫做二次函数，判定需满足三个条件：①等号右边是整式；②自变量的最高次数为2；③二次项系数不为0。接下来我们逐一对照这三个条件分析每个选项，即可选出正确答案。
【解析】
我们结合二次函数的判定条件逐个分析选项：
选项A：$y=-3x^2+2$，等号右侧是整式，自变量$x$的最高次数为2，二次项系数$-3≠0$，完全符合二次函数的定义；
选项B：$y=2x-3$，自变量$x$的最高次数为1，属于一次函数，不符合二次函数要求；
选项C：$y=3x^2+\frac{1}{x}$，等号右侧含有分式$\frac{1}{x}$，不是整式，不符合要求；
选项D：$y=\frac{1}{x^2}$，等号右侧是分式，且自变量$x$的次数为$-2$，不符合二次函数要求。
因此只有A选项是二次函数。
【答案】
A
【知识点】
二次函数的定义；整式的判定；一次函数的定义
【点评】
本题属于基础概念考查题，解题核心是牢记二次函数的三个判定要点，注意不要将含分式的函数误认为二次函数，同时要做好二次函数与一次函数等其他常见函数的区分。
【难度系数】
0.8
要解决这道题，首先要明确二次函数的判定标准：形如$y=ax^2+bx+c$（$a、b、c$为常数，且$a≠0$）的函数叫做二次函数，判定需满足三个条件：①等号右边是整式；②自变量的最高次数为2；③二次项系数不为0。接下来我们逐一对照这三个条件分析每个选项，即可选出正确答案。
【解析】
我们结合二次函数的判定条件逐个分析选项：
选项A：$y=-3x^2+2$，等号右侧是整式，自变量$x$的最高次数为2，二次项系数$-3≠0$，完全符合二次函数的定义；
选项B：$y=2x-3$，自变量$x$的最高次数为1，属于一次函数，不符合二次函数要求；
选项C：$y=3x^2+\frac{1}{x}$，等号右侧含有分式$\frac{1}{x}$，不是整式，不符合要求；
选项D：$y=\frac{1}{x^2}$，等号右侧是分式，且自变量$x$的次数为$-2$，不符合二次函数要求。
因此只有A选项是二次函数。
【答案】
A
【知识点】
二次函数的定义；整式的判定；一次函数的定义
【点评】
本题属于基础概念考查题，解题核心是牢记二次函数的三个判定要点，注意不要将含分式的函数误认为二次函数，同时要做好二次函数与一次函数等其他常见函数的区分。
【难度系数】
0.8
2.(安庆二模)若$y=(a-2)x^2 -3x +2$是二次函数，则a的取值范围是（
A.$a≠0$
B.$a＞0$
C.$a＞2$
D.$a≠2$
D
）A.$a≠0$
B.$a＞0$
C.$a＞2$
D.$a≠2$
答案
2.D
解析
【分析】
要解决这道题，首先要明确二次函数的定义要求：形如$y=ax^2+bx+c$（$a,b,c$为常数）的函数是二次函数，核心限制条件是二次项系数$a$不能为0。因此我们只需要找到题目所给函数的二次项系数，令其不等于0，解不等式即可得到$a$的取值范围。
【解析】
解：根据二次函数的定义，二次函数的二次项系数不得为0。
题中函数$y=(a-2)x^2 -3x +2$的二次项系数为$a-2$，因此可得不等式：
$a-2 ≠ 0$
解得$a ≠ 2$，对应选项为D。
【答案】
D
【知识点】
二次函数的定义
【点评】
这道题是对二次函数基本概念的基础考查，解题的关键是牢记二次项系数不为0的限制条件，掌握定义即可快速得出答案。
【难度系数】
0.9
要解决这道题，首先要明确二次函数的定义要求：形如$y=ax^2+bx+c$（$a,b,c$为常数）的函数是二次函数，核心限制条件是二次项系数$a$不能为0。因此我们只需要找到题目所给函数的二次项系数，令其不等于0，解不等式即可得到$a$的取值范围。
【解析】
解：根据二次函数的定义，二次函数的二次项系数不得为0。
题中函数$y=(a-2)x^2 -3x +2$的二次项系数为$a-2$，因此可得不等式：
$a-2 ≠ 0$
解得$a ≠ 2$，对应选项为D。
【答案】
D
【知识点】
二次函数的定义
【点评】
这道题是对二次函数基本概念的基础考查，解题的关键是牢记二次项系数不为0的限制条件，掌握定义即可快速得出答案。
【难度系数】
0.9
3. 二次函数$y=5x(x-1)$的自变量$x$的取值范围是
全体实数
，化成$y=ax^2+bx+c$的形式后，二次项系数是5
，一次项系数是-5
。答案
3. 全体实数 5 -5
解析
【分析】
解题时可分两步思考：第一步求自变量取值范围，先判断函数表达式的类型，整式类函数的自变量没有取值限制，可直接得出取值范围；第二步将原式化为二次函数一般式，只需利用单项式乘多项式法则展开，再对照$y=ax^2+bx+c$的形式，分别找出对应系数即可，注意系数要包含前面的符号。
【解析】
1. 求自变量$x$的取值范围：
二次函数$y=5x(x-1)$的表达式为整式，整式函数的自变量可取任意实数，因此$x$的取值范围是全体实数。
2. 化为一般式并确定系数：
对原式展开化简：
$y=5x(x-1)=5x^2 - 5x$，即$y=5x^2 + (-5)x + 0$，
对照二次函数一般式$y=ax^2+bx+c$，可得二次项系数为5，一次项系数为-5。
【答案】
全体实数；5；-5
【知识点】
二次函数自变量范围；二次函数一般式；整式化简
【点评】
本题属于二次函数的基础考查题，核心是对二次函数基本概念的掌握，解题时要注意展开多项式后各项的符号，避免因粗心漏掉负号导致错误。
【难度系数】
0.9
解题时可分两步思考：第一步求自变量取值范围，先判断函数表达式的类型，整式类函数的自变量没有取值限制，可直接得出取值范围；第二步将原式化为二次函数一般式，只需利用单项式乘多项式法则展开，再对照$y=ax^2+bx+c$的形式，分别找出对应系数即可，注意系数要包含前面的符号。
【解析】
1. 求自变量$x$的取值范围：
二次函数$y=5x(x-1)$的表达式为整式，整式函数的自变量可取任意实数，因此$x$的取值范围是全体实数。
2. 化为一般式并确定系数：
对原式展开化简：
$y=5x(x-1)=5x^2 - 5x$，即$y=5x^2 + (-5)x + 0$，
对照二次函数一般式$y=ax^2+bx+c$，可得二次项系数为5，一次项系数为-5。
【答案】
全体实数；5；-5
【知识点】
二次函数自变量范围；二次函数一般式；整式化简
【点评】
本题属于二次函数的基础考查题，核心是对二次函数基本概念的掌握，解题时要注意展开多项式后各项的符号，避免因粗心漏掉负号导致错误。
【难度系数】
0.9
4. 地方特产/情境化 砀山酥梨是安徽砀山县的特产，已有千年以上的历史.其种植面积广，产量高，品质优良，被誉为“梨中之王”.某网上专卖店第一天的销售额为$ a(a＞0) $元，之后每天的销售额按相同的增长率增长，第三天的销售额为$ y $元.设增长率为$ x $，则$ y $关于$ x $的函数关系式为（
A.$ y=a(1+2x) $
B.$ y=a(1-x)^2 $
C.$ y=a(1+x)^2 $
D.$ y=ax^2 $
C
）A.$ y=a(1+2x) $
B.$ y=a(1-x)^2 $
C.$ y=a(1+x)^2 $
D.$ y=ax^2 $
答案
4.C
解析
【分析】
这是一道平均增长率的实际应用题，解题时首先要明确增长率问题的计算逻辑：每一轮的增长都是在上一轮的数值基础上乘以（1+增长率）。我们可以先推导第二天的销售额，再以第二天的销售额为基础推导第三天的销售额，最终得到y与x的函数关系式。
【解析】
已知第一天销售额为$a$元，日增长率为$x$：
1. 计算第二天的销售额：第二天是在第一天的基础上增长$x$，因此第二天销售额$=$第一天销售额$×(1+x)=a(1+x)$元；
2. 计算第三天的销售额：第三天是在第二天的基础上再增长$x$，因此第三天销售额$=$第二天销售额$×(1+x)=a(1+x)·(1+x)=a(1+x)^2$元；
已知第三天销售额为$y$元，因此$y$关于$x$的函数关系式为$y=a(1+x)^2$，对应选项C。
【答案】
C
【知识点】
1. 平均增长率计算
2. 二次函数实际应用
【点评】
本题结合地方特产的生活情境考查增长率的实际应用，解题核心是明确增长次数，熟练掌握增长率的计算公式，属于基础类题型。
【难度系数】
0.8
这是一道平均增长率的实际应用题，解题时首先要明确增长率问题的计算逻辑：每一轮的增长都是在上一轮的数值基础上乘以（1+增长率）。我们可以先推导第二天的销售额，再以第二天的销售额为基础推导第三天的销售额，最终得到y与x的函数关系式。
【解析】
已知第一天销售额为$a$元，日增长率为$x$：
1. 计算第二天的销售额：第二天是在第一天的基础上增长$x$，因此第二天销售额$=$第一天销售额$×(1+x)=a(1+x)$元；
2. 计算第三天的销售额：第三天是在第二天的基础上再增长$x$，因此第三天销售额$=$第二天销售额$×(1+x)=a(1+x)·(1+x)=a(1+x)^2$元；
已知第三天销售额为$y$元，因此$y$关于$x$的函数关系式为$y=a(1+x)^2$，对应选项C。
【答案】
C
【知识点】
1. 平均增长率计算
2. 二次函数实际应用
【点评】
本题结合地方特产的生活情境考查增长率的实际应用，解题核心是明确增长次数，熟练掌握增长率的计算公式，属于基础类题型。
【难度系数】
0.8
5.(教材P4习题T6变式)一次篮球邀请赛中，赛制为主客场双循环比赛(每两队之间都进行两场比赛)，共有x支球队参加比赛，比赛总场数为y，则y关于x的关系式为
.
$y=x(x-1)$
.
答案
5.$y=x(x-1)$
解析
【分析】
解题首先要明确主客场双循环赛制的规则：任意两支球队之间需要进行2场比赛，分别在两队的主场举办。我们可以先推导单循环（每两队仅赛1场）的总场数，再结合双循环的场数要求计算总场数：第一步，x支球队中，每支球队需要和除自身外的(x-1)支球队比赛，若直接用x(x-1)计算会导致每场比赛被两个参赛队各统计1次，因此单循环总场数为$\frac{x(x-1)}{2}$；第二步，双循环每两队赛2场，将单循环总场数乘2即可得到总场数y关于x的关系式。
【解析】
解：已知共有x支球队参赛，赛制为主客场双循环，即每两队之间进行2场比赛。
1. 先计算单循环（每两队赛1场）的总场数：
每支球队需和其余(x-1)支球队各赛1场，直接计算得到的$x(x-1)$中，每场比赛被重复统计1次，因此单循环总场数为$\frac{x(x-1)}{2}$。
2. 双循环总场数为单循环的2倍，因此：
$y=2×\frac{x(x-1)}{2}=x(x-1)$
【答案】
$y=x(x-1)$
【知识点】
列函数关系式、双循环比赛计数、二次函数实际应用
【点评】
本题是结合生活场景的基础应用题，解题核心是准确理解赛制的计数规则，避免出现重复计数或漏算的问题，掌握单、双循环的场数计算规律就能快速求解。
【难度系数】
0.8
解题首先要明确主客场双循环赛制的规则：任意两支球队之间需要进行2场比赛，分别在两队的主场举办。我们可以先推导单循环（每两队仅赛1场）的总场数，再结合双循环的场数要求计算总场数：第一步，x支球队中，每支球队需要和除自身外的(x-1)支球队比赛，若直接用x(x-1)计算会导致每场比赛被两个参赛队各统计1次，因此单循环总场数为$\frac{x(x-1)}{2}$；第二步，双循环每两队赛2场，将单循环总场数乘2即可得到总场数y关于x的关系式。
【解析】
解：已知共有x支球队参赛，赛制为主客场双循环，即每两队之间进行2场比赛。
1. 先计算单循环（每两队赛1场）的总场数：
每支球队需和其余(x-1)支球队各赛1场，直接计算得到的$x(x-1)$中，每场比赛被重复统计1次，因此单循环总场数为$\frac{x(x-1)}{2}$。
2. 双循环总场数为单循环的2倍，因此：
$y=2×\frac{x(x-1)}{2}=x(x-1)$
【答案】
$y=x(x-1)$
【知识点】
列函数关系式、双循环比赛计数、二次函数实际应用
【点评】
本题是结合生活场景的基础应用题，解题核心是准确理解赛制的计数规则，避免出现重复计数或漏算的问题，掌握单、双循环的场数计算规律就能快速求解。
【难度系数】
0.8
6.如图，长方体的底面是边长为x cm的正方形，高为20 cm.
(1)这个长方体的体积V=
(2)这个长方体的表面积S=
(1)这个长方体的体积V=
$20x^2$
，它是x的二次
函数；(2)这个长方体的表面积S=
$2x^2+80x$
，它是x的二次
函数.答案
6.(1)$20x^2$ 二次 (2)$2x^2+80x$ 二次
解析
【分析】
(1) 求解长方体体积需运用体积公式：体积=底面积×高。先计算边长为x的正方形底面积，再乘高20即可得到体积V的表达式，再根据表达式的最高次数判断函数类型；(2) 长方体表面积为6个面的面积之和，分别计算2个正方形底面、4个长方形侧面的面积求和得到S的表达式，再根据表达式最高次数判断函数类型。
【解析】
(1) 长方体底面正方形面积为$x^2\ \mathrm{cm}^2$，高为20cm，根据体积公式可得：
$V = x^2 × 20 = 20x^2$
该表达式中x的最高次数为2，符合二次函数的定义，因此它是x的二次函数。
(2) 长方体2个底面的总面积为$2× x^2=2x^2$，4个侧面都是长20cm、宽x cm的长方形，侧面总面积为$4× 20x=80x$，因此表面积：
$S=2x^2 + 80x$
该表达式中x的最高次数为2，因此它是x的二次函数。
【答案】
(1)$20x^2$；二次 (2)$2x^2+80x$；二次
【知识点】
长方体体积计算、长方体表面积计算、二次函数的定义
【点评】
本题是几何公式与函数概念结合的基础题，只要熟练掌握长方体的体积、表面积计算公式，明确二次函数的特征（自变量最高次数为2）就能顺利解题。
【难度系数】
0.8
(1) 求解长方体体积需运用体积公式：体积=底面积×高。先计算边长为x的正方形底面积，再乘高20即可得到体积V的表达式，再根据表达式的最高次数判断函数类型；(2) 长方体表面积为6个面的面积之和，分别计算2个正方形底面、4个长方形侧面的面积求和得到S的表达式，再根据表达式最高次数判断函数类型。
【解析】
(1) 长方体底面正方形面积为$x^2\ \mathrm{cm}^2$，高为20cm，根据体积公式可得：
$V = x^2 × 20 = 20x^2$
该表达式中x的最高次数为2，符合二次函数的定义，因此它是x的二次函数。
(2) 长方体2个底面的总面积为$2× x^2=2x^2$，4个侧面都是长20cm、宽x cm的长方形，侧面总面积为$4× 20x=80x$，因此表面积：
$S=2x^2 + 80x$
该表达式中x的最高次数为2，因此它是x的二次函数。
【答案】
(1)$20x^2$；二次 (2)$2x^2+80x$；二次
【知识点】
长方体体积计算、长方体表面积计算、二次函数的定义
【点评】
本题是几何公式与函数概念结合的基础题，只要熟练掌握长方体的体积、表面积计算公式，明确二次函数的特征（自变量最高次数为2）就能顺利解题。
【难度系数】
0.8
7.已知$y=(m+1)x^{|m-1|}+2m$是y关于x的二次函数，则m的值是（
A.$-1$
B.$3$
C.$-1$或$3$
D.$0$
B
）A.$-1$
B.$3$
C.$-1$或$3$
D.$0$
答案
7.B
解析
【分析】
要确定m的取值，需结合二次函数的定义推导：二次函数有两个核心判定条件，一是自变量x的最高次数为2，二是二次项的系数不能为0。我们先根据x的最高次数为2列方程求出m的所有可能值，再根据二次项系数不为0排除不符合要求的取值，即可得到最终结果。
【解析】
解：
∵$y=(m+1)x^{|m-1|}+2m$是y关于x的二次函数
∴需同时满足以下两个条件：
1. 自变量x的次数为2，即：
$|m-1|=2$
去绝对值得：$m-1=2$或$m-1=-2$
解得：$m=3$或$m=-1$
2. 二次项系数不为0，即：
$m+1≠0$，解得$m≠-1$
综上，排除不符合要求的$m=-1$，可得$m=3$。
【答案】
B
【知识点】
二次函数的定义、绝对值方程求解
【点评】
本题属于二次函数定义的基础应用题型，易错点是容易忽略二次项系数不为0的限制条件，误选C选项，解题时需要结合两个判定条件逐一验证，避免出现多解错误。
【难度系数】
0.7
要确定m的取值，需结合二次函数的定义推导：二次函数有两个核心判定条件，一是自变量x的最高次数为2，二是二次项的系数不能为0。我们先根据x的最高次数为2列方程求出m的所有可能值，再根据二次项系数不为0排除不符合要求的取值，即可得到最终结果。
【解析】
解：
∵$y=(m+1)x^{|m-1|}+2m$是y关于x的二次函数
∴需同时满足以下两个条件：
1. 自变量x的次数为2，即：
$|m-1|=2$
去绝对值得：$m-1=2$或$m-1=-2$
解得：$m=3$或$m=-1$
2. 二次项系数不为0，即：
$m+1≠0$，解得$m≠-1$
综上，排除不符合要求的$m=-1$，可得$m=3$。
【答案】
B
【知识点】
二次函数的定义、绝对值方程求解
【点评】
本题属于二次函数定义的基础应用题型，易错点是容易忽略二次项系数不为0的限制条件，误选C选项，解题时需要结合两个判定条件逐一验证，避免出现多解错误。
【难度系数】
0.7
8. 行车安全情境化研究数据表明，汽车刹车的距离$s(\mathrm{m})$与速度$v(\mathrm{km/h})$之间近似满足关系式$s=\frac{1}{100}v^2$，它
是
（填“是”或“不是”）二次函数.若一辆速度为$100\ \mathrm{km/h}$的汽车发现正前方$80\ \mathrm{m}$处停着一辆故障车，此时不变道只刹车会
（填“会”或“不会”）产生危险.答案
8.是 会
解析
【分析】
首先解决第一个空，我们需要回忆二次函数的定义，判断给出的s和v的关系式是否符合二次函数的形式即可得出结论；第二个空需要将速度v=100km/h代入已知的关系式，计算出对应的刹车距离s，再将计算结果和80m比较大小，若s大于80m则会产生危险，反之则不会。
【解析】
1. 判断是否为二次函数：
根据二次函数的定义：形如$y=ax^2+bx+c$（$a,b,c$为常数，且$a≠0$）的函数叫做二次函数。
本题中关系式为$s=\frac{1}{100}v^2$，其中$a=\frac{1}{100}≠0$，$b=0$，$c=0$，完全符合二次函数的定义，因此它是二次函数。
2. 判断是否会产生危险：
将$v=100\mathrm{km/h}$代入$s=\frac{1}{100}v^2$得：
$s=\frac{1}{100}×100^2=\frac{1}{100}×10000=100\mathrm{m}$
因为$100\mathrm{m}＞80\mathrm{m}$，即刹车距离大于汽车与故障车的距离，所以只刹车会产生危险。
【答案】
是；会
【知识点】
二次函数的定义；二次函数的实际应用
【点评】
本题结合行车安全的生活情境出题，既考查了二次函数的基础概念，又考查了利用函数关系式解决实际问题的能力，题型基础，注重对基础知识的运用。
【难度系数】
0.9
首先解决第一个空，我们需要回忆二次函数的定义，判断给出的s和v的关系式是否符合二次函数的形式即可得出结论；第二个空需要将速度v=100km/h代入已知的关系式，计算出对应的刹车距离s，再将计算结果和80m比较大小，若s大于80m则会产生危险，反之则不会。
【解析】
1. 判断是否为二次函数：
根据二次函数的定义：形如$y=ax^2+bx+c$（$a,b,c$为常数，且$a≠0$）的函数叫做二次函数。
本题中关系式为$s=\frac{1}{100}v^2$，其中$a=\frac{1}{100}≠0$，$b=0$，$c=0$，完全符合二次函数的定义，因此它是二次函数。
2. 判断是否会产生危险：
将$v=100\mathrm{km/h}$代入$s=\frac{1}{100}v^2$得：
$s=\frac{1}{100}×100^2=\frac{1}{100}×10000=100\mathrm{m}$
因为$100\mathrm{m}＞80\mathrm{m}$，即刹车距离大于汽车与故障车的距离，所以只刹车会产生危险。
【答案】
是；会
【知识点】
二次函数的定义；二次函数的实际应用
【点评】
本题结合行车安全的生活情境出题，既考查了二次函数的基础概念，又考查了利用函数关系式解决实际问题的能力，题型基础，注重对基础知识的运用。
【难度系数】
0.9
9.若菱形的两条对角线的和为26 cm,则菱形的面积 S(cm²)与其中一条对角线的长 x(cm)之间的函数关系式为
$S=\frac{1}{2}x(26-x)$
，自变量 x 的取值范围是$0＜x＜26$
。答案
9. $S=\frac{1}{2}x(26-x)$ $0＜x＜26$
解析
【分析】
首先回忆菱形的面积计算公式：菱形的面积等于两条对角线乘积的$\frac{1}{2}$。已知两条对角线的和为26cm，其中一条对角线长为x cm，可先表示出另一条对角线的长度为$(26-x)$cm，将两条对角线长度代入面积公式即可得到函数关系式。再结合对角线长度为正数的实际意义，列出不等式求解即可得到自变量x的取值范围。
【解析】
已知其中一条对角线的长为$x$ cm，两条对角线的和为26 cm，则另一条对角线的长为$(26-x)$ cm。
根据菱形的面积公式：$S=\frac{1}{2} × 对角线\_\_\_\_\_\_1 × 对角线\_\_\_\_\_\_2$，代入得：
$S=\frac{1}{2}x(26-x)$
因为对角线长度必须为正数，所以：
$\begin{cases}x＞0 \\26-x＞0\end{cases}$
解得$0＜x＜26$
【答案】
$S=\frac{1}{2}x(26-x)$；$0＜x＜26$
【知识点】
1.菱形面积计算
2.函数关系式列写
3.自变量取值范围确定
【点评】
本题是二次函数在几何问题中的基础应用，解题的关键是熟练掌握菱形的面积公式，同时注意实际问题中自变量的取值范围要符合几何图形的性质，不能仅考虑代数式有意义。
【难度系数】
0.8
首先回忆菱形的面积计算公式：菱形的面积等于两条对角线乘积的$\frac{1}{2}$。已知两条对角线的和为26cm，其中一条对角线长为x cm，可先表示出另一条对角线的长度为$(26-x)$cm，将两条对角线长度代入面积公式即可得到函数关系式。再结合对角线长度为正数的实际意义，列出不等式求解即可得到自变量x的取值范围。
【解析】
已知其中一条对角线的长为$x$ cm，两条对角线的和为26 cm，则另一条对角线的长为$(26-x)$ cm。
根据菱形的面积公式：$S=\frac{1}{2} × 对角线\_\_\_\_\_\_1 × 对角线\_\_\_\_\_\_2$，代入得：
$S=\frac{1}{2}x(26-x)$
因为对角线长度必须为正数，所以：
$\begin{cases}x＞0 \\26-x＞0\end{cases}$
解得$0＜x＜26$
【答案】
$S=\frac{1}{2}x(26-x)$；$0＜x＜26$
【知识点】
1.菱形面积计算
2.函数关系式列写
3.自变量取值范围确定
【点评】
本题是二次函数在几何问题中的基础应用，解题的关键是熟练掌握菱形的面积公式，同时注意实际问题中自变量的取值范围要符合几何图形的性质，不能仅考虑代数式有意义。
【难度系数】
0.8
10.学校准备将一块长 20 m、宽 14 m 的矩形绿地扩建,如果长和宽都增加 x m,设增加的面积是 y m².
(1)求 y 与 x 之间的函数关系式;
(2)若要使绿地面积增加 72 m²,则长与宽都要增加多少米?
(1)求 y 与 x 之间的函数关系式;
(2)若要使绿地面积增加 72 m²,则长与宽都要增加多少米?
答案
10.解:(1)由题意,得 $y=(20+x)(14+x)-20×14=x^2+34x.∴y$ 与 $x$ 之间的函数关系式是 $y=x^2+34x.$ (2)把 $y=72$ 代入 $y=x^2+34x$,得 $72=x^2+34x$,解得 $x_1=-36$(舍去),$x_2=2.∴$ 要使绿地面积增加 72 m²,长与宽都要增加 2 m.
解析
【分析】
（1）要推导y与x的函数关系式，首先明确核心等量关系：增加的面积=扩建后矩形的面积-原矩形的面积。先分别表示出扩建后矩形的长为(20+x)m、宽为(14+x)m，计算出扩建前后的面积，相减后化简即可得到函数关系式，注意x为长度增加量，取值应为非负数。
（2）已知增加的面积为72m²，即y=72，将其代入第一问得到的函数关系式中，即可得到关于x的一元二次方程，求解方程后结合x的实际意义舍去不符合要求的根，就能得到所求的增加长度。
【解析】
(1) 根据题意，增加的面积等于扩建后矩形面积减去原矩形面积：
原矩形面积 = $20×14 = 280\ \mathrm{m}^2$
扩建后矩形的长为$(20+x)\ \mathrm{m}$，宽为$(14+x)\ \mathrm{m}$，面积为$(20+x)(14+x)\ \mathrm{m}^2$
因此 $y=(20+x)(14+x)-20×14$
展开化简得：$y=280+34x+x^2-280=x^2+34x$
即y与x的函数关系式为 $y=x^2+34x$（$x≥0$）
(2) 当绿地面积增加$72\ \mathrm{m}^2$时，$y=72$，代入函数关系式得：
$72=x^2+34x$
整理为标准一元二次方程形式：$x^2+34x-72=0$
因式分解得：$(x+36)(x-2)=0$
解得 $x_1=-36$，$x_2=2$
由于x为长和宽增加的长度，不能为负数，故舍去$x=-36$，得$x=2$
【答案】
(1) $y=x^2+34x$；(2) $2\ \mathrm{m}$
【知识点】
二次函数关系式建立，一元二次方程的应用，矩形面积计算
【点评】
本题是二次函数与一元二次方程结合的基础应用题，解题核心是找准面积的等量关系列表达式，求解方程后要注意结合实际场景对根进行合理性取舍，夯实基础即可顺利解答。
【难度系数】
0.8
（1）要推导y与x的函数关系式，首先明确核心等量关系：增加的面积=扩建后矩形的面积-原矩形的面积。先分别表示出扩建后矩形的长为(20+x)m、宽为(14+x)m，计算出扩建前后的面积，相减后化简即可得到函数关系式，注意x为长度增加量，取值应为非负数。
（2）已知增加的面积为72m²，即y=72，将其代入第一问得到的函数关系式中，即可得到关于x的一元二次方程，求解方程后结合x的实际意义舍去不符合要求的根，就能得到所求的增加长度。
【解析】
(1) 根据题意，增加的面积等于扩建后矩形面积减去原矩形面积：
原矩形面积 = $20×14 = 280\ \mathrm{m}^2$
扩建后矩形的长为$(20+x)\ \mathrm{m}$，宽为$(14+x)\ \mathrm{m}$，面积为$(20+x)(14+x)\ \mathrm{m}^2$
因此 $y=(20+x)(14+x)-20×14$
展开化简得：$y=280+34x+x^2-280=x^2+34x$
即y与x的函数关系式为 $y=x^2+34x$（$x≥0$）
(2) 当绿地面积增加$72\ \mathrm{m}^2$时，$y=72$，代入函数关系式得：
$72=x^2+34x$
整理为标准一元二次方程形式：$x^2+34x-72=0$
因式分解得：$(x+36)(x-2)=0$
解得 $x_1=-36$，$x_2=2$
由于x为长和宽增加的长度，不能为负数，故舍去$x=-36$，得$x=2$
【答案】
(1) $y=x^2+34x$；(2) $2\ \mathrm{m}$
【知识点】
二次函数关系式建立，一元二次方程的应用，矩形面积计算
【点评】
本题是二次函数与一元二次方程结合的基础应用题，解题核心是找准面积的等量关系列表达式，求解方程后要注意结合实际场景对根进行合理性取舍，夯实基础即可顺利解答。
【难度系数】
0.8
