1.请你帮小明完成用描点法画函数$y=x^2$的图象的有关步骤.
列表:

描点并连线.

1.解:9 4 1 1 4 9 描点并连线如图所示.

【分析】
要完成用描点法画函数$y=x^2$的图象，首先要完成列表步骤：将给定的x取值代入函数解析式$y=x^2$，计算出对应的y值，即可补全列表；之后按照列表得到的坐标在平面直角坐标系中描出各点，最后用平滑的曲线顺次连接所有描出的点，就能得到该函数的图象。
【解析】
1. 计算列表对应的函数值：
分别将$x=-3$、$x=-2$、$x=-1$、$x=1$、$x=2$、$x=3$代入$y=x^2$：
当$x=-3$时，$y=(-3)^2=9$；
当$x=-2$时，$y=(-2)^2=4$；
当$x=-1$时，$y=(-1)^2=1$；
当$x=1$时，$y=1^2=1$；
当$x=2$时，$y=2^2=4$；
当$x=3$时，$y=3^2=9$。
2. 描点：在坐标系中找到$(-3,9)$、$(-2,4)$、$(-1,1)$、$(0,0)$、$(1,1)$、$(2,4)$、$(3,9)$这些坐标对应的点，逐一描出。
3. 连线：用平滑的曲线从左到右顺次连接所有描出的点，即得到$y=x^2$的图象。
【答案】
9 4 1 1 4 9 描点并连线如图所示.
【知识点】
描点法画函数图象，二次函数的图象，求函数值
【点评】
本题是二次函数图象的基础题，考查描点法画函数图象的基本步骤，解题时要注意计算函数值时平方运算的符号问题，连线时需使用平滑曲线，不能画成折线。
【难度系数】
0.9

2. 下列关于抛物线$y=x^2$的说法正确的是（）

A.开口向下
B.顶点坐标为$(0,0)$
C.经过点$(2,2)$
D.最高点是原点

2.B

【分析】
本题考查二次函数$y=x^2$的图象与性质，解题时可先回忆二次函数$y=ax^2$的基本性质，再逐一分析每个选项：①先根据二次项系数的正负判断开口方向，进而判断最值情况；②直接根据解析式确定顶点坐标；③将点的横坐标代入解析式，把计算出的纵坐标和选项给出的纵坐标对比，判断点是否在抛物线上，最后筛选出正确选项。
【解析】
我们逐个分析选项：
选项A：抛物线$y=x^2$的二次项系数为$1＞0$，因此抛物线开口向上，A说法错误；
选项B：对于二次函数$y=x^2$，其顶点式可写为$y=(x-0)^2+0$，因此顶点坐标为$(0,0)$，B说法正确；
选项C：将$x=2$代入$y=x^2$，得$y=2^2=4≠2$，因此抛物线不经过点$(2,2)$，C说法错误；
选项D：因为抛物线开口向上，所以抛物线有最低点，最低点为原点，不存在最高点，D说法错误。
综上，正确的是B选项。
【答案】
B
【知识点】
二次函数$y=x^2$的性质；二次函数图象上点的坐标特征
【点评】
本题属于基础题，核心考查对二次函数$y=x^2$基础性质的识记与简单应用，熟练掌握其开口方向、顶点坐标、最值特点，以及会代入验证点是否在函数图象上即可快速解题。
【难度系数】
0.9

3.已知点$A(-1,y_1),B(-2,y_2)$都在抛物线$y=x^2$上,则$y_1,y_2$的大小关系是 ()

A.$y_1＞y_2$
B.$y_1=y_2$
C.$y_1＜y_2$
D.无法确定

3.C

【分析】
本题有两种常见解题思路：①代入计算法：直接将点A、B的横坐标代入抛物线解析式，分别求出y₁、y₂的数值，再比较大小，思路直观不易出错。②性质判断法：先回忆抛物线y=x²的基本性质，其开口向上，对称轴为y轴，在x＜0的区域，y随x的增大而减小；再判断两点横坐标的大小，结合增减性即可直接推出y值的大小关系，无需计算具体数值，解题更快捷。
【解析】
方法一（代入法）：
将x=-1代入y=x²，得$y_1=(-1)^2=1$；
将x=-2代入y=x²，得$y_2=(-2)^2=4$；
∵$1＜4$，
∴$y_1＜y_2$，故选C。
方法二（性质法）：
抛物线$y=x^2$的开口向上，对称轴为直线$x=0$（y轴），
∴当$x＜0$时，y随x的增大而减小，
∵点$A(-1,y_1)$、$B(-2,y_2)$的横坐标均小于0，且$-1＞-2$，
∴$y_1＜y_2$，故选C。
【答案】
C
【知识点】
二次函数y=x²的性质；二次函数增减性；函数图象上点的坐标特征
【点评】
本题是二次函数性质的基础应用题，既可以通过直接代入计算求解，也可以利用函数增减性快速判断，旨在考查学生对二次函数基本性质的掌握程度。
【难度系数】
0.8

4.(教材P6观察变式)已知$A(5,m)$是抛物线$y=x^2$上的点.
(1)$m$的值为；
(2)抛物线的对称轴是，在其对称轴左侧，$y$随$x$的增大而(填“增大”或“减小”)；
(3)当$x=0$时，该函数有最值(填“大”或“小”)，此时$y$的值为.

4.(1)25 (2)$y$轴 减小 (3)小 0

【分析】
(1) 点在抛物线上时，点的坐标满足抛物线的解析式，因此只需将点A的横坐标代入y=x²，即可计算出m的值；
(2) 回忆二次函数y=x²的图象特征：它是开口向上的抛物线，对称轴为y轴，开口向上的抛物线在对称轴左侧，y随x的增大而减小；
(3) 开口向上的抛物线顶点是最低点，对应函数有最小值，y=x²的顶点在原点，因此x=0时可得到最小的y值。
【解析】
(1) 把$A(5,m)$代入$y=x^2$，得$m=5^2=25$；
(2) 抛物线$y=x^2$的对称轴是y轴（即直线$x=0$），因为二次项系数$1＞0$，抛物线开口向上，所以在对称轴左侧，$y$随$x$的增大而减小；
(3) 由于抛物线开口向上，因此该函数有最小值，其顶点坐标为$(0,0)$，所以当$x=0$时，函数取最小值，此时$y=0$。
【答案】
(1)25 (2)$y$轴 减小 (3)小 0
【知识点】
抛物线上点的坐标特征；二次函数增减性；二次函数最值
【点评】
本题是二次函数的基础题，核心考查$y=x^2$的基本性质，熟练记忆其图象特点、增减性和最值规律即可快速作答。
【难度系数】
0.9

5.已知二次函数$y=x^2$，当$-1≤x≤3$时，y的取值范围是（）

A.$-1≤y≤9$
B.$0≤y≤9$
C.$1≤y≤9$
D.$-1≤y≤3$

5.B

【分析】
要确定二次函数$y=x^2$在$-1≤x≤3$时$y$的取值范围，首先回忆$y=x^2$的基本性质：它是开口向上的抛物线，对称轴为y轴（直线$x=0$），顶点是坐标原点，也是函数的最低点。解题时先判断顶点的横坐标是否在给定的x取值范围内，若在，则顶点处取最小值；再比较区间两个端点到对称轴的距离，离对称轴越远的点对应的函数值越大，即可求出最大值，进而得到y的取值范围。
【解析】
解：二次函数$y=x^2$的图象开口向上，对称轴为直线$x=0$，顶点坐标为$(0,0)$。
∵ $-1≤x≤3$，顶点横坐标$x=0$在该取值范围内，
∴ 当$x=0$时，$y$取得最小值，最小值为$0^2=0$；
分别计算区间端点的函数值：
当$x=-1$时，$y=(-1)^2=1$；
当$x=3$时，$y=3^2=9$；
∵ $9＞1$，
∴ 该区间内$y$的最大值为9。
因此$y$的取值范围是$0≤y≤9$，故选B。
【答案】
B
【知识点】
1. 二次函数$y=x^2$的性质
2. 二次函数区间最值
【点评】
本题属于二次函数基础题，解题核心是掌握二次函数的开口方向、对称轴等性质，结合自变量的取值范围求函数值的范围，注意不要遗漏顶点处可能存在的最值，避免只代入区间端点计算的错误。
【难度系数】
0.9

6.(T3变式)已知二次函数$y=x^2$的图象过$A(-2,y_1),B(1,y_2)$两点，则下列关系式一定正确的是（）

A.$y_1＞0＞y_2$
B.$y_1＞y_2＞0$
C.$y_2＜y_1＜0$
D.$y_1＜y_2＜0$

6.B

【分析】
解题思路如下：第一步，先回忆二次函数$y=x^2$的基本性质：它的图象开口向上，顶点在原点，函数值$y=x^2≥0$，仅当$x=0$时$y=0$，其余$x$对应的$y$都大于0，因此可先排除包含$y$值小于0的错误选项；第二步，比较$y_1$和$y_2$的大小，有两种常用方法：①直接将两点横坐标代入解析式，计算出$y_1$、$y_2$的具体数值再比较；②利用函数的对称性与增减性判断：$y=x^2$的对称轴是$y$轴（$x=0$），对称位置的点函数值相等，且$x＞0$时$y$随$x$的增大而增大，将$A$点对称到对称轴右侧后，比较横坐标大小即可得到函数值大小关系。
【解析】
方法一：代入求值法
将$A(-2,y_1)$代入$y=x^2$，得$y_1=(-2)^2=4$；
将$B(1,y_2)$代入$y=x^2$，得$y_2=1^2=1$；
$\because 4＞1＞0$，$\therefore y_1＞y_2＞0$，故选B。
方法二：性质法
二次函数$y=x^2$的图象开口向上，对称轴为直线$x=0$，函数值$y≥0$，且当$x＞0$时，$y$随$x$的增大而增大。
点$A(-2,y_1)$关于对称轴$x=0$的对称点为$(2,y_1)$，
$\because 2＞1＞0$，$\therefore y_1＞y_2$，
又$\because x=-2$和$x=1$均不为0，$\therefore y_1＞0$，$y_2＞0$，
即$y_1＞y_2＞0$，故选B。
【答案】
B
【知识点】
1. 二次函数$y=x^2$的性质
2. 函数值大小比较
【点评】
本题属于基础题，考查二次函数$y=x^2$的图象与性质，解题方法灵活，既可以直接代入计算求解，也可以利用函数的对称性、增减性快速判断，熟练掌握函数基本性质是解题的关键。
【难度系数】
0.9

7. 转化思想新理念 如图，正方形ABCD的边长为2，其对称轴的交点为原点O，AD//x轴，一条抛物线的顶点为原点且经过点A，D，则图中阴影部分的面积是。

7.1

【分析】
解题时首先利用二次函数图像的轴对称性，抛物线$y=x^2$关于y轴对称，结合正方形也关于y轴对称的特点，考虑用割补法将不规则的阴影部分转化为规则图形计算面积。首先确定正方形的顶点坐标：正方形边长为2，中心为原点，AD平行x轴，可得$A(-1,1)$、$D(1,1)$，正方形上下边界为$y=\pm1$，左右边界为$x=\pm1$。观察阴影部分：y轴左侧阴影是抛物线与AD、y轴围成的区域，y轴右侧阴影是抛物线与x轴、直线$x=1$围成的区域，根据对称性，右侧阴影面积和左侧抛物线下方与x轴、直线$x=-1$围成的空白区域面积相等，将右侧阴影对称移到左侧空白处，阴影部分就拼成了一个边长为1的正方形，直接计算该正方形面积即可。
【解析】
解：
∵ 抛物线顶点为原点且关于y轴对称，正方形ABCD的中心为原点，边长为2，$AD// x$轴
∴ 点A坐标为$(-1,1)$，点D坐标为$(1,1)$，正方形的水平范围是$x=-1$到$x=1$，竖直范围是$y=-1$到$y=1$
根据二次函数的轴对称性，y轴右侧的阴影部分与y轴左侧抛物线下方、x轴上方的空白区域面积完全相等
利用割补法，将右侧阴影移到左侧对应空白位置，阴影部分可拼接为一个长为1、宽为1的正方形
∴ 阴影部分面积$S=1×1=1$
【答案】
1
【知识点】
二次函数的对称性，割补法求面积，正方形的性质
【点评】
本题借助二次函数的轴对称性，把不规则的阴影面积转化为规则的正方形面积求解，渗透了转化的数学思想，解题关键是准确找到对称的对应区域，避免复杂的面积计算。
【难度系数】
0.7

8.如图，已知二次函数$y=x^2$的图象上有一点A，点A的横坐标是－1，过点A作AB//x轴，交函数图象于另一点B，求△AOB的面积。

8.解:把$x=-1$代入$y=x^2$,得$y=1. \therefore$点$A$的坐标为$(-1,1). \because AB// x$轴,点$B$在二次函数$y=x^2$的图象上,$\therefore$点$B$与点$A$关于$y$轴对称. $\therefore$点$B$的坐标为$(1,1). \therefore AB=2. \therefore S_{△ AOB}=\frac{1}{2}AB · y_A=\frac{1}{2} × 2 × 1=1.$

【分析】
要求△AOB的面积，需先确定三角形的底和高。首先，点A在二次函数$y=x^2$的图象上，已知横坐标可代入解析式求出A点坐标；再结合AB平行x轴、二次函数$y=x^2$的图象关于y轴对称的性质，可推出B点与A点关于y轴对称，得到B点坐标，进而求出底AB的长度；AB到原点O的竖直距离就是A点的纵坐标长度，即三角形的高，最后代入三角形面积公式计算即可。
【解析】
解：把$x=-1$代入$y=x^2$，得$y=(-1)^2=1$，$\therefore$点$A$的坐标为$(-1,1)$。
$\because AB// x$轴，点$B$在二次函数$y=x^2$的图象上，二次函数$y=x^2$的图象关于$y$轴对称，
$\therefore$点$B$与点$A$关于$y$轴对称，
$\therefore$点$B$的坐标为$(1,1)$，
$\therefore AB$的长度为$1-(-1)=2$，
$△ AOB$中AB边上的高等于点A的纵坐标1，
$\therefore S_{△ AOB}=\frac{1}{2}× AB × \mathrm{高}=\frac{1}{2}×2×1=1$。
【答案】
$1$
【知识点】
二次函数图象性质，轴对称的坐标特征，三角形面积计算
【点评】
本题属于基础题型，解题核心是利用二次函数$y=x^2$的对称性快速得到B点坐标，再结合平面内点的坐标的几何意义求出三角形的底和高，代入公式求解即可，掌握二次函数的基本性质是解题的关键。
【难度系数】
0.8