1 如图是一个正八边形,则它 ()

A.只是轴对称图形
B.只是中心对称图形
C.既是轴对称图形,也是中心对称图形
D.既不是轴对称图形,也不是中心对称图形

1.C 【解析】正八边形既是轴对称图形,也是中心对称图形. 故选C.

【分析】
解题时先明确轴对称图形和中心对称图形的定义，再结合正八边形的特征逐一判断：①轴对称图形：沿一条直线对折后，直线两侧的部分能完全重合的图形；②中心对称图形：绕某一点旋转180°后，能和原图形完全重合的图形。再根据正多边形的对称性规律：所有正多边形都是轴对称图形，边数为偶数的正多边形同时是中心对称图形，即可快速推导结论。
【解析】
首先判断是否为轴对称图形：正八边形共有8条对称轴，沿任意一条对称轴对折，直线两侧的部分都可以完全重合，因此正八边形是轴对称图形。
再判断是否为中心对称图形：将正八边形绕它的中心旋转180°，旋转后的图形与原图形能够完全重合，因此正八边形也是中心对称图形。
综上，正八边形既是轴对称图形，也是中心对称图形，故选C。
【答案】
C
【知识点】
轴对称图形判定，中心对称图形判定，正多边形的性质
【点评】
本题属于基础概念考查题，重点区分轴对称和中心对称图形的定义，掌握正多边形对称性的规律：边数为偶数的正多边形同时具备轴对称性和中心对称性，能帮助快速解题。
【难度系数】
0.9

2 如图，正六边形的面积为6a，则图中阴影部分的面积为.

2. 2a 【解析】如图,连接 AD, BE, CF 交于点 O.
∵ 六边形 ABCDEF 是正六边形,
∴ CF//AB//DE,
∴ S△ABF = S△AOB = 1/6 S正六边形ABCDEF, S△DEF = S△EOD = 1/6 S正六边形ABCDEF,
∴ S阴影 = 1/3 S正六边形ABCDEF = 2a.

【分析】
解决本题首先回忆正六边形的性质：正六边形的三组对边分别平行，且过中心连接各顶点的对角线可将正六边形分为6个面积相等的正三角形。要求阴影部分面积，可利用平行线间距离处处相等的特点，通过等积变换将两个阴影三角形的面积转化为正六边形拆分出的小正三角形的面积，得到阴影面积与正六边形总面积的占比后代入数值计算即可。
【解析】
解：连接AD、BE、CF交于点O。
∵六边形ABCDEF是正六边形，
∴CF//AB//DE，且AD、BE、CF将正六边形分为6个面积相等的正三角形，每个小三角形面积为正六边形总面积的$\frac{1}{6}$。
△ABF与△AOB同底AB，AB与CF平行，因此两个三角形AB边上的高相等，故$S_{△ ABF}=S_{△ AOB}=\frac{1}{6}S_{正六边形ABCDEF}$；
同理可得$S_{△ DEF}=S_{△ EOD}=\frac{1}{6}S_{正六边形ABCDEF}$。
因此阴影部分总面积为：
$S_{阴影}=S_{△ ABF}+S_{△ DEF}=\frac{1}{6}S_{正六边形ABCDEF}+\frac{1}{6}S_{正六边形ABCDEF}=\frac{1}{3}S_{正六边形ABCDEF}$
已知正六边形面积为6a，代入得$S_{阴影}=\frac{1}{3}×6a=2a$。

【答案】
2a
【知识点】
正六边形的性质，等积变换，面积计算
【点评】
本题属于正多边形面积相关的典型基础题，核心考查等积变换的应用，解题的关键是通过辅助线将未知的阴影面积转化为已知正六边形面积的对应占比，解题思路较为常规，容易掌握。
【难度系数】
0.7

3 我们可以只用直尺和圆规作出圆的部分内接正多边形. 在我们目前所学知识的范围内,下列圆的内接正多边形不可以用尺规作图作出的是 ()

A.正三角形
B.正四边形
C.正六边形
D.正七边形

3. D 【解析】取圆上一点为圆心,以已知圆的半径为半径画弧,与已知圆交于一点,以该点为圆心,按上述方法画弧,重复此种作法可得到圆的六等分点,据此可得圆的内接正六边形;在以上所得六等分点中,间隔取点,首尾连接可得圆的内接正三角形;由于圆的直径可以将圆二等分、两条互相垂直的直径可以将圆四等分,据此可作出圆的内接正四边形. 综上可知,不可以用尺规作图作出的是圆的内接正七边形,故选D.

【分析】
解题时可逐一分析各选项对应的正多边形能否用尺规将圆等分得到：首先回忆常见的圆内接正多边形的尺规作图方法，判断每个正多边形对应的圆周等分操作是否可通过直尺和圆规实现，排除可作出的选项，最终得到答案。
【解析】
我们对每个选项逐一分析：
1. 正六边形：在圆上取任意一点为圆心，以已知圆的半径为半径画弧，与已知圆交于两点，重复该操作可得到圆的6个等分点，顺次连接这6个点即可作出圆的内接正六边形。
2. 正三角形：在上述六等分点中，间隔选取1个点，共得到3个等分点，顺次连接这3个点即可作出圆的内接正三角形。
3. 正四边形：过圆心作两条互相垂直的直径，直径与圆的4个交点就是圆的四等分点，顺次连接这4个点即可作出圆的内接正四边形。
4. 正七边形：现阶段所学的尺规作图方法无法实现圆的七等分，因此无法作出圆的内接正七边形。
综上，答案选D。
【答案】
D
【知识点】
正多边形尺规作图；圆的等分；正多边形与圆
【点评】
本题考查基础的正多边形尺规作图知识，解题核心是理解“作圆内接正多边形本质是等分圆周”的思路，掌握常见正多边形对应的圆周等分方法即可快速解题。
【难度系数】
0.8

4[2025江苏苏州期末]如图,正五边形ABCDE内接于⊙O,阅读以下作图过程:

①作直径AF;
②以点F为圆心,FO为半径作圆弧,与⊙O交于点M,N;
③连接AM,MN,AN.
结论Ⅰ:△AMN是等边三角形;
结论Ⅱ:从点A开始,以DN长为半径,在⊙O上依次截取点,再依次连接这些点,可以得到正十八边形.
对于结论Ⅰ和结论Ⅱ,下列判断正确的是
()

A.结论Ⅰ和结论Ⅱ都正确
B.结论Ⅰ和结论Ⅱ都错误
C.结论Ⅰ错误,结论Ⅱ正确
D.结论Ⅰ正确,结论Ⅱ错误

4. D 【解析】结论Ⅰ:如图,连接 ON,FN. 由作图可知,FN=FO.
∵ ON=OF,
∴ ON=OF=FN,
∴ △OFN是等边三角形,
∴ ∠OFN = 60°,
∴ ∠AMN = ∠OFN = 60°,同理,∠ANM = 60°,
∴ ∠ANM = ∠AMN = ∠NAM = 60°,
∴ △AMN是等边三角形,
∴ 结论Ⅰ正确. 结论Ⅱ:如图,连接 OD.
∵ ∠AMN = 60°,
∴ ∠AON = 2∠AMN = 120°.
∵ ⌢AD = 2⌢AE, 多边形 ABCDE 为正五边形,
∴ ∠AOD = 2 × 72° = 144°,
∴ ∠NOD = ∠AOD - ∠AON = 144° - 120° = 24°,
∴ 可以得到的正多边形的边数是360°/24°=15,
∴ 结论Ⅱ错误. 故选D.

【分析】
要判断两个结论的正误，需分别推导验证：1. 验证结论Ⅰ：结合作图条件和同圆半径相等的性质，构造辅助线证明△OFN为等边三角形，再利用圆周角定理推导△AMN的三个内角均为60°，即可判断是否为等边三角形；2. 验证结论Ⅱ：先计算正五边形的中心角得到∠AOD的度数，结合结论Ⅰ得到的∠AON的度数求出$\overset{\frown}{DN}$对应的圆心角，再用圆周总度数360°除以该圆心角得到对应正多边形的边数，即可判断结论正误。
【解析】
验证结论Ⅰ：
如图，连接ON，FN。由作图过程可知，FN=FO。
∵ON、OF均为⊙O的半径，
∴ON=OF，
∴ON=OF=FN，即△OFN为等边三角形，
∴∠OFN=60°。
根据同弧所对的圆周角相等，可得∠AMN=∠OFN=60°，同理可得∠ANM=60°，
∴∠NAM=180°-60°-60°=60°，即△AMN的三个内角均为60°，
∴△AMN是等边三角形，结论Ⅰ正确。
验证结论Ⅱ：
如图，连接OD。
∵正五边形ABCDE内接于⊙O，
∴正五边形的中心角为$\frac{360°}{5}=72°$，
$\overset{\frown}{AD}$对应2份正五边形的中心角，
∴∠AOD=2×72°=144°。
∵∠AMN=60°，根据“同弧所对的圆心角是圆周角的2倍”，可得∠AON=2∠AMN=120°，
∴∠NOD=∠AOD - ∠AON=144°-120°=24°，即$\overset{\frown}{DN}$对应的圆心角为24°，
因此可得到的正多边形的边数为$\frac{360°}{24°}=15$，是正十五边形，不是正十八边形，结论Ⅱ错误。
综上，结论Ⅰ正确，结论Ⅱ错误。
【答案】
D

【知识点】
正多边形和圆；圆周角定理；等边三角形的判定
【点评】
本题结合尺规作图考查圆与正多边形的综合应用，解题的核心是熟练掌握圆周角定理、正多边形中心角的计算方法，通过构造辅助线推导对应角度即可判断结论，同时要注意正多边形边数和对应中心角的换算关系。
【难度系数】
0.6

5 如图,已知$\odot O$和$\odot O$上的一点A.
(1)作$\odot O$的内接正方形ABCD和内接正六边形AEFCGH(写出作法,保留作图痕迹).
(2)在(1)题的作图中,如果点E在弧AD上,求证:DE是$\odot O$内接正十二边形的一边.

5.(1)【解】如图所示,即为所作. 作法:
①连接 AO 并延长,交⊙O 于另一点 C;
②作 AC 的垂直平分线,交⊙O 于点 B,D;
③顺次连接 A,B,C,D 四点. 四边形 ABCD 即为⊙O 的内接正方形.
④分别以 A,C 为圆心,以 OA 长为半径作弧,交⊙O 于点 E,H,F,G;
⑤顺次连接 A,E,F,C,G,H 各点. 六边形 AEFCGH 即为⊙O 的内接正六边形.
(2)【证明】连接 OE,DE,如图.
∵ ∠AOD = 360°/4 = 90°, ∠AOE = 360°/6 = 60°,
∴ ∠DOE = ∠AOD - ∠AOE = 90° - 60° = 30°.
∵ 360°/30° = 12,
∴ DE 为⊙O 的内接正十二边形的一边.

【分析】
(1) 作圆内接正方形时，利用正方形中心角为90°的特点，先作出一条直径，再作该直径的垂直平分线得到另一条互相垂直的直径，四个端点顺次连接即可得到内接正方形；作圆内接正六边形时，利用正六边形边长等于圆半径的特点，以直径两端点为圆心、半径长为半径画弧，与圆的交点加上直径端点即为正六边形的6个顶点，顺次连接即可。
(2) 要证明DE是圆内接正十二边形的一边，只需证明DE对应的圆心角为30°（因为正十二边形的中心角为$360°÷12=30°$），因此先分别求出正方形、正六边形的中心角，再计算$∠ DOE$的度数，验证其等于30°即可得证。
【解析】
(1) 作法：
① 连接AO并延长，交$\odot O$于另一点C，得到直径AC；
② 作AC的垂直平分线，交$\odot O$于点B、D，得到与AC垂直的直径BD；
③ 顺次连接A、B、C、D四点，四边形ABCD即为$\odot O$的内接正方形。
④ 分别以A、C为圆心，以OA的长为半径作弧，交$\odot O$于点E、H、F、G；
⑤ 顺次连接A、E、F、C、G、H各点，六边形AEFCGH即为$\odot O$的内接正六边形。
(2) 证明：连接OE、DE。
∵ 正方形ABCD的中心角$∠ AOD = \frac{360°}{4}=90°$，
正六边形AEFCGH的中心角$∠ AOE = \frac{360°}{6}=60°$，
∴ $∠ DOE = ∠ AOD - ∠ AOE = 90° - 60° = 30°$，
∵ 正十二边形的中心角为$\frac{360°}{12}=30°$，即DE所对的圆心角恰好等于正十二边形的中心角，
∴ DE是$\odot O$内接正十二边形的一边。
【答案】
(1) 作法见上述解析，作图如下：

(2) DE是$\odot O$内接正十二边形的一边，证明成立。
【知识点】
正多边形的画法，正多边形与圆，圆心角计算
【点评】
本题考查正多边形的尺规作图以及正多边形和圆的对应关系，解题核心是掌握正n边形的中心角为$\frac{360°}{n}$的结论，作图时要明确不同正多边形的作图原理，证明部分只需验证对应弦的圆心角符合要求即可，属于基础题型。
【难度系数】
0.7

6[2026江苏盐城调研]如图,等腰△ABC内接于⊙O,AB=AC.

(1)如图(1),若∠B=60°,连接AO并延长交⊙O于点D,交BC于点H.
①弧BD的度数为;BH与CH的数量关系是.
②请你仅使用无刻度的直尺在图(1)中作出一个正六边形,不写作法,保留作图痕迹(作图过程用虚线表示,作图结果用实线表示).
(2)如图(2),若∠BAC=36°,E是AB的中点,请你仅使用无刻度的直尺在图(2)中作一个⊙O的内接正五边形.不写作法,保留作图痕迹(作图过程用虚线表示,作图结果用实线表示).

6.【解】(1)①如图(1),连接 BO.
∵ AB=AC,
∴ ⌢AB = ⌢AC. 又
∵ AD 是⊙O 的直径,
∴ AD ⊥ BC, BH = CH.
∵ AB=AC, ∠ABC = 60°,
∴ △ABC 是等边三角形,
∴ ∠BAC = 60°.
∵ AH ⊥ BC,
∴ ∠BAD = ∠CAD = 1/2 ∠BAC = 30°,
∴ ∠BOD = 2 ∠BAD = 60°. 故答案为60°, BH = CH.
②如图(2),正六边形 AFBDCE 即为所作.
(2)如图(3),正五边形 AHBCD 即为所求作.

【分析】
(1)①先由AB=AC且∠B=60°判定△ABC为等边三角形，再结合AD是⊙O的直径，根据垂径定理可得AD垂直平分BC，即可得到BH与CH的数量关系；再利用等边三角形三线合一求出∠BAD的度数，根据圆心角是同弧所对圆周角的2倍求出∠BOD的度数，即可得到弧BD的度数。②正六边形的边长等于外接圆半径，每个中心角为60°，结合图中已有的60°圆心角，在圆上依次截取与半径等长的弦，连接对应顶点即可得到正六边形。
(2)正五边形每个中心角为72°，对应圆周角为36°，结合已知∠BAC=36°和AB中点E的条件，借助无刻度直尺找出将圆五等分的点，依次连接各等分点即可得到⊙O的内接正五边形。
【解析】
(1)①连接BO，如图(1)：
∵ AB=AC，
∴ ⌢AB = ⌢AC，
∵ AD是⊙O的直径，由垂径定理可得AD⊥BC，
∴ BH=CH。
∵ AB=AC，∠ABC=60°，
∴ △ABC是等边三角形，
∴ ∠BAC=60°。
∵ AH⊥BC，由等腰三角形三线合一得∠BAD=∠CAD=$\frac{1}{2}$∠BAC=30°，
根据圆周角定理，同弧所对的圆心角是圆周角的2倍，可得∠BOD=2∠BAD=60°，因此弧BD的度数为60°。
②按要求作图，正六边形AFBDCE即为所作，如图(2)。
(2)结合已知条件找出圆的五等分点，依次连接得到正五边形AHBCD，如图(3)。
【答案】
(1)①$\boldsymbol{60°}$；$\boldsymbol{BH=CH}$
②
(2)
【知识点】
垂径定理；圆周角定理；正多边形与圆
【点评】
本题综合考查圆的性质和正多边形的作图，既需要熟练掌握相关定理进行推理计算，也需要理解正多边形和圆的对应关系，能有效考查几何逻辑思维和动手操作能力。
【难度系数】
0.6