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9 [2025江苏无锡中考]若函数$y_1$的图象上存在点$P$，函数$y_2$的图象上存在点$Q$，且$P,Q$关于$y$轴对称，则称函数$y_1$和$y_2$具有“对偶关系”，此时点$P$或点$Q$的纵坐标称为“对偶值”。下列结论：
①函数$y_1=2x+3$与函数$y_2=-x+1$不具有“对偶关系”；
②函数$y_1=2x+3$与函数$y_2=-x+1$的“对偶值”为$-1$；
③若1是函数$y_1=kx+3$与函数$y_2=\dfrac{1}{x}$的“对偶值”，则$k=2$；
④若函数$y_1=-2x+b(-2≤ x≤ -1)$与函数$y_2=\dfrac{1}{x}(x＞0)$具有“对偶关系”，则$3≤ b≤ \dfrac{9}{2}$。
其中正确的是 （
A.①④
B.②③
C.①③④
D.②③④
①函数$y_1=2x+3$与函数$y_2=-x+1$不具有“对偶关系”；
②函数$y_1=2x+3$与函数$y_2=-x+1$的“对偶值”为$-1$；
③若1是函数$y_1=kx+3$与函数$y_2=\dfrac{1}{x}$的“对偶值”，则$k=2$；
④若函数$y_1=-2x+b(-2≤ x≤ -1)$与函数$y_2=\dfrac{1}{x}(x＞0)$具有“对偶关系”，则$3≤ b≤ \dfrac{9}{2}$。
其中正确的是 （
B
）A.①④
B.②③
C.①③④
D.②③④
答案
B 【解析】①设函数$y_1=2x+3$上点P坐标为$(m,2m+3)$.若P,Q关于y轴对称,则Q点坐标为$(-m,2m+3)$.
∵点Q在函数$y_2=-x+1$的图象上,
∴$2m+3=m+1$,解得$m=-2$,故存在这样的点P,Q关于y轴对称,即函数$y_1=2x+3$与函数$y_2=-x+1$具有“对偶关系”,
∴①错误.②当$y_1=y_2=-1$时,$x_P=-2$,$x_Q=2$,P,Q的横坐标互为相反数,
∴②正确.③当$y_1=1$时,$\frac{1}{x}=1$,
∴$x=1$.
∵1是函数$y_1=kx+3$与函数$y_2=\frac{1}{x}$的“对偶值”,
∴函数$y_1=kx+3$的图象经过点$(-1,1)$,代入得$1=-k+3$,解得$k=2$,
∴③正确.④设点P坐标为$(n,-2n+b)$,则点Q坐标为$(-n,-\frac{1}{n})$.
∵P,Q横坐标互为相反数,纵坐标相等,
∴$-2n+b=-\frac{1}{n}$,整理得$b=2n-\frac{1}{n}$.
∵$-2≤ n≤-1$,对于函数$y=2n-\frac{1}{n}$,y随n的增大而增大,当$n=-2$时,$b=2×(-2)+\frac{1}{2}=-4+\frac{1}{2}=-\frac{7}{2}$;当$n=-1$时,$b=2×(-1)+1=-2+1=-1$,
∴$-\frac{7}{2}≤ b≤-1$,
∴④错误.综上,②③正确.故选B.
∵点Q在函数$y_2=-x+1$的图象上,
∴$2m+3=m+1$,解得$m=-2$,故存在这样的点P,Q关于y轴对称,即函数$y_1=2x+3$与函数$y_2=-x+1$具有“对偶关系”,
∴①错误.②当$y_1=y_2=-1$时,$x_P=-2$,$x_Q=2$,P,Q的横坐标互为相反数,
∴②正确.③当$y_1=1$时,$\frac{1}{x}=1$,
∴$x=1$.
∵1是函数$y_1=kx+3$与函数$y_2=\frac{1}{x}$的“对偶值”,
∴函数$y_1=kx+3$的图象经过点$(-1,1)$,代入得$1=-k+3$,解得$k=2$,
∴③正确.④设点P坐标为$(n,-2n+b)$,则点Q坐标为$(-n,-\frac{1}{n})$.
∵P,Q横坐标互为相反数,纵坐标相等,
∴$-2n+b=-\frac{1}{n}$,整理得$b=2n-\frac{1}{n}$.
∵$-2≤ n≤-1$,对于函数$y=2n-\frac{1}{n}$,y随n的增大而增大,当$n=-2$时,$b=2×(-2)+\frac{1}{2}=-4+\frac{1}{2}=-\frac{7}{2}$;当$n=-1$时,$b=2×(-1)+1=-2+1=-1$,
∴$-\frac{7}{2}≤ b≤-1$,
∴④错误.综上,②③正确.故选B.
解析
【分析】
首先明确“对偶关系”的核心逻辑：若函数$y_1$和$y_2$具有“对偶关系”，则存在点$P(a, y_1(a))$在$y_1$图象上，其关于$y$轴对称的点$Q(-a, y_1(a))$恰好落在$y_2$图象上，即满足等式$y_1(a)=y_2(-a)$。解题时对4个结论逐一验证：①②代入两个一次函数表达式，判断是否存在实数$a$使等式成立，同时计算对应纵坐标即可判断正误；③已知对偶值为1，即两点纵坐标为1，先求$y_2$上的点坐标，再根据对称关系得到$y_1$上的点坐标，代入求$k$即可；④结合$y_1$的自变量取值范围，将$b$表示为关于自变量的函数，根据函数单调性求$b$的取值范围，即可判断正误。
【解析】
①设函数$y_1=2x+3$上点$P$坐标为$(m,2m+3)$，若$P,Q$关于$y$轴对称，则$Q$点坐标为$(-m,2m+3)$。
∵点$Q$在函数$y_2=-x+1$的图象上，
∴代入得$2m+3=-(-m)+1$，即$2m+3=m+1$，解得$m=-2$，存在符合条件的点，故两函数具有“对偶关系”，①错误。
②由①得$m=-2$时，两点纵坐标为$2×(-2)+3=-1$，即“对偶值”为$-1$，②正确。
③已知“对偶值”为1，即两点纵坐标为1，代入$y_2=\dfrac{1}{x}$得$1=\dfrac{1}{x}$，解得$x=1$，即$Q$点坐标为$(1,1)$，则关于$y$轴对称的$P$点坐标为$(-1,1)$。
将$P(-1,1)$代入$y_1=kx+3$，得$1=-k+3$，解得$k=2$，③正确。
④设$y_1$上点$P$坐标为$(n, -2n+b)$，其中$-2≤ n≤-1$，则对应$Q$点坐标为$(-n, -2n+b)$。
∵$Q$在$y_2=\dfrac{1}{x}(x＞0)$上，$-n＞0$符合$x＞0$的要求，代入得$-2n+b=\dfrac{1}{-n}$，整理得$b=2n-\dfrac{1}{n}$。
在$-2≤ n≤-1$范围内，$2n$随$n$增大而增大，$-\dfrac{1}{n}$也随$n$增大而增大，故$b$随$n$的增大而增大：当$n=-2$时，$b=2×(-2)-\dfrac{1}{-2}=-\dfrac{7}{2}$；当$n=-1$时，$b=2×(-1)-\dfrac{1}{-1}=-1$，故$b$的取值范围是$-\dfrac{7}{2}≤ b≤-1$，④错误。
综上，②③正确，故选B。
【答案】
B
【知识点】
新定义问题，一次函数的性质，反比例函数的性质
【点评】
本题以新定义“对偶关系”为载体，综合考查一次函数、反比例函数的图象与性质，解题关键是将新定义转化为坐标间的等量关系，转化为常规的函数求值、范围求解问题，要注意自变量取值范围对最终结果的限制。
【难度系数】
0.6
首先明确“对偶关系”的核心逻辑：若函数$y_1$和$y_2$具有“对偶关系”，则存在点$P(a, y_1(a))$在$y_1$图象上，其关于$y$轴对称的点$Q(-a, y_1(a))$恰好落在$y_2$图象上，即满足等式$y_1(a)=y_2(-a)$。解题时对4个结论逐一验证：①②代入两个一次函数表达式，判断是否存在实数$a$使等式成立，同时计算对应纵坐标即可判断正误；③已知对偶值为1，即两点纵坐标为1，先求$y_2$上的点坐标，再根据对称关系得到$y_1$上的点坐标，代入求$k$即可；④结合$y_1$的自变量取值范围，将$b$表示为关于自变量的函数，根据函数单调性求$b$的取值范围，即可判断正误。
【解析】
①设函数$y_1=2x+3$上点$P$坐标为$(m,2m+3)$，若$P,Q$关于$y$轴对称，则$Q$点坐标为$(-m,2m+3)$。
∵点$Q$在函数$y_2=-x+1$的图象上，
∴代入得$2m+3=-(-m)+1$，即$2m+3=m+1$，解得$m=-2$，存在符合条件的点，故两函数具有“对偶关系”，①错误。
②由①得$m=-2$时，两点纵坐标为$2×(-2)+3=-1$，即“对偶值”为$-1$，②正确。
③已知“对偶值”为1，即两点纵坐标为1，代入$y_2=\dfrac{1}{x}$得$1=\dfrac{1}{x}$，解得$x=1$，即$Q$点坐标为$(1,1)$，则关于$y$轴对称的$P$点坐标为$(-1,1)$。
将$P(-1,1)$代入$y_1=kx+3$，得$1=-k+3$，解得$k=2$，③正确。
④设$y_1$上点$P$坐标为$(n, -2n+b)$，其中$-2≤ n≤-1$，则对应$Q$点坐标为$(-n, -2n+b)$。
∵$Q$在$y_2=\dfrac{1}{x}(x＞0)$上，$-n＞0$符合$x＞0$的要求，代入得$-2n+b=\dfrac{1}{-n}$，整理得$b=2n-\dfrac{1}{n}$。
在$-2≤ n≤-1$范围内，$2n$随$n$增大而增大，$-\dfrac{1}{n}$也随$n$增大而增大，故$b$随$n$的增大而增大：当$n=-2$时，$b=2×(-2)-\dfrac{1}{-2}=-\dfrac{7}{2}$；当$n=-1$时，$b=2×(-1)-\dfrac{1}{-1}=-1$，故$b$的取值范围是$-\dfrac{7}{2}≤ b≤-1$，④错误。
综上，②③正确，故选B。
【答案】
B
【知识点】
新定义问题，一次函数的性质，反比例函数的性质
【点评】
本题以新定义“对偶关系”为载体，综合考查一次函数、反比例函数的图象与性质，解题关键是将新定义转化为坐标间的等量关系，转化为常规的函数求值、范围求解问题，要注意自变量取值范围对最终结果的限制。
【难度系数】
0.6
10[2025江苏苏州中考]如图,一次函数$y=2x+4$的图象与$x$轴、$y$轴分别交于$A,B$两点,与反比例函数$y=\frac{k}{x}(k≠0,x＞0)$的图象交于点$C$,过点$B$作$x$轴的平行线与反比例函数$y=\frac{k}{x}(k≠0,x＞0)$的图象交于点$D$,连接$CD$.
(1)求$A,B$两点的坐标;
(2)若$△ BCD$是以$BD$为底边的等腰三角形,求$k$的值.
(1)求$A,B$两点的坐标;
(2)若$△ BCD$是以$BD$为底边的等腰三角形,求$k$的值.
答案
(1)令$y=0$,则$2x+4=0$,解得$x=-2$,
∴点A的坐标为$(-2,0)$.令$x=0$,则$y=4$,
∴点B的坐标为$(0,4)$.(2)如图
,过点C作$CE⊥ BD$,垂足为E.∵$CB=CD$,$CE⊥ BD$,
∴$BE=DE$.根据题意得点D的坐标为$(\frac{1}{4}k,4)$,
∴点C的坐标为$(\frac{1}{8}k,8)$.
∵点C在一次函数$y=2x+4$的图象上,
∴$\frac{1}{4}k+4=8$,解得$k=16$.
解析
【分析】
(1) 求一次函数与坐标轴的交点时，x轴上所有点的纵坐标为0，y轴上所有点的横坐标为0，分别将y=0、x=0代入一次函数解析式计算，即可得到A、B两点的坐标。
(2) 已知△BCD是以BD为底边的等腰三角形，根据等腰三角形三线合一的性质，过C作BD的垂线，垂足E就是BD的中点；首先BD平行于x轴，因此B、D两点纵坐标相同，均为4，将y=4代入反比例函数解析式可求出D点的横坐标；结合B点横坐标为0，可求出BD中点E的横坐标，由于CE垂直于水平的BD，因此C点横坐标与E点横坐标相等；再将C点横坐标代入反比例函数解析式可得到C点的纵坐标，最后把C点坐标代入一次函数解析式即可求出k的值。
【解析】
(1) 对于一次函数$y=2x+4$：
令$y=0$，则$2x+4=0$，解得$x=-2$，
∴点A的坐标为$(-2,0)$。
令$x=0$，则$y=4$，
∴点B的坐标为$(0,4)$。
(2) 如图，过点$C$作$CE⊥ BD$，垂足为$E$。
∵$CB=CD$，$CE⊥ BD$，
∴$BE=DE$，即E为BD的中点。
∵$BD// x$轴，点B纵坐标为4，
∴点D纵坐标也为4，将$y=4$代入$y=\frac{k}{x}$，得$x=\frac{k}{4}$，即点D的坐标为$(\frac{1}{4}k,4)$。
∵E是BD中点，
∴E的横坐标为$\frac{0+\frac{1}{4}k}{2}=\frac{1}{8}k$，又CE垂直BD，BD为水平线段，因此C点横坐标与E相同为$\frac{1}{8}k$，将$x=\frac{1}{8}k$代入反比例函数$y=\frac{k}{x}$，得$y=8$，即点C的坐标为$(\frac{1}{8}k,8)$。
∵点C在一次函数$y=2x+4$的图象上，代入坐标得：
$2×\frac{1}{8}k +4=8$，即$\frac{1}{4}k+4=8$，解得$k=16$。
【答案】
(1)点A的坐标为$(-2,0)$，点B的坐标为$(0,4)$；
(2)$k=16$，辅助线图：
【知识点】
一次函数的图象性质，等腰三角形的性质，反比例函数的图象性质
【点评】
本题是一次函数与反比例函数的综合常规题，考查了函数图象与坐标轴交点的求解方法，同时结合等腰三角形的几何性质推导点的坐标关系，解题关键是熟练掌握“函数图象上的点的坐标满足对应函数解析式”这一核心结论，是中考函数模块的常考题型。
【难度系数】
0.7
(1) 求一次函数与坐标轴的交点时，x轴上所有点的纵坐标为0，y轴上所有点的横坐标为0，分别将y=0、x=0代入一次函数解析式计算，即可得到A、B两点的坐标。
(2) 已知△BCD是以BD为底边的等腰三角形，根据等腰三角形三线合一的性质，过C作BD的垂线，垂足E就是BD的中点；首先BD平行于x轴，因此B、D两点纵坐标相同，均为4，将y=4代入反比例函数解析式可求出D点的横坐标；结合B点横坐标为0，可求出BD中点E的横坐标，由于CE垂直于水平的BD，因此C点横坐标与E点横坐标相等；再将C点横坐标代入反比例函数解析式可得到C点的纵坐标，最后把C点坐标代入一次函数解析式即可求出k的值。
【解析】
(1) 对于一次函数$y=2x+4$：
令$y=0$，则$2x+4=0$，解得$x=-2$，
∴点A的坐标为$(-2,0)$。
令$x=0$，则$y=4$，
∴点B的坐标为$(0,4)$。
(2) 如图
，过点$C$作$CE⊥ BD$，垂足为$E$。∵$CB=CD$，$CE⊥ BD$，
∴$BE=DE$，即E为BD的中点。
∵$BD// x$轴，点B纵坐标为4，
∴点D纵坐标也为4，将$y=4$代入$y=\frac{k}{x}$，得$x=\frac{k}{4}$，即点D的坐标为$(\frac{1}{4}k,4)$。
∵E是BD中点，
∴E的横坐标为$\frac{0+\frac{1}{4}k}{2}=\frac{1}{8}k$，又CE垂直BD，BD为水平线段，因此C点横坐标与E相同为$\frac{1}{8}k$，将$x=\frac{1}{8}k$代入反比例函数$y=\frac{k}{x}$，得$y=8$，即点C的坐标为$(\frac{1}{8}k,8)$。
∵点C在一次函数$y=2x+4$的图象上，代入坐标得：
$2×\frac{1}{8}k +4=8$，即$\frac{1}{4}k+4=8$，解得$k=16$。
【答案】
(1)点A的坐标为$(-2,0)$，点B的坐标为$(0,4)$；
(2)$k=16$，辅助线图：
【知识点】
一次函数的图象性质，等腰三角形的性质，反比例函数的图象性质
【点评】
本题是一次函数与反比例函数的综合常规题，考查了函数图象与坐标轴交点的求解方法，同时结合等腰三角形的几何性质推导点的坐标关系，解题关键是熟练掌握“函数图象上的点的坐标满足对应函数解析式”这一核心结论，是中考函数模块的常考题型。
【难度系数】
0.7
11[2025江西中考]如图,直线$ l:y=\frac{2}{3}x+m $与反比例函数$ y=\frac{k}{x}(k≠0) $的图象交于点$ A(6,2) $.
(1)求一次函数和反比例函数表达式;
(2)将直线$ l $向上平移,在$ x $轴上方与反比例函数图象交于点$ C $,连接$ OA,OC $,当$ ∠1=∠2 $时,求点$ C $的坐标及直线$ l $平移的距离.
(1)求一次函数和反比例函数表达式;
(2)将直线$ l $向上平移,在$ x $轴上方与反比例函数图象交于点$ C $,连接$ OA,OC $,当$ ∠1=∠2 $时,求点$ C $的坐标及直线$ l $平移的距离.
答案
(1)
∵反比例函数$y=\frac{k}{x}(k≠0)$的图象经过点$A(6,2)$,
∴$k=6×2=12$.
∵直线$l:y=\frac{2}{3}x+m$经过点$A(6,2)$,
∴$2=\frac{2}{3}×6+m$,解得$m=-2$.
∴一次函数的表达式为$y=\frac{2}{3}x-2$,反比例函数表达式为$y=\frac{12}{x}$.(2)作第一、三象限的角平分线OE,如图
.∵$∠1=∠2$,
∴$∠ COE=45°-∠2=45°-∠1=∠ AOE$.根据双曲线的对称性,知点A和点C关于直线OE对称,
∴$OA=OC$.作$AB⊥ x$轴于点B,$CD⊥ y$轴于点D.
∵$OA=OC$,$∠1=∠2$,$∠ ABO=∠ CDO=90°$,
∴$△ ABO≌△ CDO(AAS)$.又
∵$A(6,2)$,
∴$CD=AB=2$,$OD=OB=6$,
∴点$C(2,6)$.设直线l向上平移n个单位后经过点$C(2,6)$,
∴平移后的直线为$y=\frac{2}{3}x-2+n$,
∴$6=\frac{2}{3}×2-2+n$,解得$n=\frac{20}{3}$,
∴直线l平移的距离为$\frac{20}{3}$.
解析
【分析】
(1) 第一问求两个函数的表达式，已知两个函数均经过点A(6,2)，采用待定系数法即可求解：将点A坐标分别代入反比例函数、一次函数的解析式，计算对应参数的值就能得到函数表达式。
(2) 第二问已知∠1=∠2，结合x轴和y轴的夹角为90°，作第一、三象限的角平分线OE后可推导出∠AOE=∠COE，结合反比例函数关于直线y=x对称的性质，可知点A和点C关于OE对称，也可构造垂直于坐标轴的直角三角形证明全等，得到点C的坐标；再根据一次函数平移“上加下减”的规律，设平移距离为n，写出平移后的解析式，代入点C坐标即可求出平移距离。
【解析】
(1) 求一次函数和反比例函数表达式：
将点$A(6,2)$代入反比例函数$y=\frac{k}{x}(k≠0)$，得$k=6×2=12$，因此反比例函数表达式为$y=\frac{12}{x}$。
将点$A(6,2)$代入直线$l:y=\frac{2}{3}x+m$，得$2=\frac{2}{3}×6+m$，解得$m=-2$，因此一次函数的表达式为$y=\frac{2}{3}x-2$。
(2) 求点C的坐标及直线l的平移距离：
作第一、三象限的角平分线OE，如图。
由$∠1=∠2$，$∠EOx=∠EOy=45°$，可得$∠COE=45°-∠2=45°-∠1=∠AOE$，结合反比例函数关于直线$y=x$（即OE）对称的性质，可知点A和点C关于直线OE对称，即$OA=OC$。
过点A作$AB⊥x$轴于点B，过点C作$CD⊥y$轴于点D，可得$∠ABO=∠CDO=90°$。
在$△ ABO$和$△ CDO$中：
$\begin{cases}∠ABO=∠CDO \\∠1=∠2 \\OA=OC\end{cases}$
因此$△ ABO≌△ CDO(AAS)$。
已知$A(6,2)$，则$AB=2$，$OB=6$，由全等的性质可得$CD=AB=2$，$OD=OB=6$，因此点C的坐标为$(2,6)$。
设直线$l$向上平移$n$个单位后经过点$C$，根据一次函数平移规律，平移后的直线解析式为$y=\frac{2}{3}x-2+n$，将$C(2,6)$代入得：
$6=\frac{2}{3}×2-2+n$，解得$n=\frac{20}{3}$，即直线$l$平移的距离为$\frac{20}{3}$。
【答案】
(1) 一次函数的表达式为$\boldsymbol{y=\frac{2}{3}x-2}$，反比例函数表达式为$\boldsymbol{y=\frac{12}{x}}$；
(2) 点$C$的坐标为$\boldsymbol{(2,6)}$，直线$l$平移的距离为$\boldsymbol{\frac{20}{3}}$。
【知识点】
待定系数法求解析式、反比例函数对称性、一次函数平移
【点评】
本题是一次函数与反比例函数的综合题，第一问属于基础题，考查待定系数法的基础应用；第二问需要结合角相等的条件，通过构造全等三角形或利用函数对称性确定未知点坐标，较好地考查了数形结合思想和几何推理能力。
【难度系数】
0.6
(1) 第一问求两个函数的表达式，已知两个函数均经过点A(6,2)，采用待定系数法即可求解：将点A坐标分别代入反比例函数、一次函数的解析式，计算对应参数的值就能得到函数表达式。
(2) 第二问已知∠1=∠2，结合x轴和y轴的夹角为90°，作第一、三象限的角平分线OE后可推导出∠AOE=∠COE，结合反比例函数关于直线y=x对称的性质，可知点A和点C关于OE对称，也可构造垂直于坐标轴的直角三角形证明全等，得到点C的坐标；再根据一次函数平移“上加下减”的规律，设平移距离为n，写出平移后的解析式，代入点C坐标即可求出平移距离。
【解析】
(1) 求一次函数和反比例函数表达式：
将点$A(6,2)$代入反比例函数$y=\frac{k}{x}(k≠0)$，得$k=6×2=12$，因此反比例函数表达式为$y=\frac{12}{x}$。
将点$A(6,2)$代入直线$l:y=\frac{2}{3}x+m$，得$2=\frac{2}{3}×6+m$，解得$m=-2$，因此一次函数的表达式为$y=\frac{2}{3}x-2$。
(2) 求点C的坐标及直线l的平移距离：
作第一、三象限的角平分线OE，如图
。由$∠1=∠2$，$∠EOx=∠EOy=45°$，可得$∠COE=45°-∠2=45°-∠1=∠AOE$，结合反比例函数关于直线$y=x$（即OE）对称的性质，可知点A和点C关于直线OE对称，即$OA=OC$。
过点A作$AB⊥x$轴于点B，过点C作$CD⊥y$轴于点D，可得$∠ABO=∠CDO=90°$。
在$△ ABO$和$△ CDO$中：
$\begin{cases}∠ABO=∠CDO \\∠1=∠2 \\OA=OC\end{cases}$
因此$△ ABO≌△ CDO(AAS)$。
已知$A(6,2)$，则$AB=2$，$OB=6$，由全等的性质可得$CD=AB=2$，$OD=OB=6$，因此点C的坐标为$(2,6)$。
设直线$l$向上平移$n$个单位后经过点$C$，根据一次函数平移规律，平移后的直线解析式为$y=\frac{2}{3}x-2+n$，将$C(2,6)$代入得：
$6=\frac{2}{3}×2-2+n$，解得$n=\frac{20}{3}$，即直线$l$平移的距离为$\frac{20}{3}$。
【答案】
(1) 一次函数的表达式为$\boldsymbol{y=\frac{2}{3}x-2}$，反比例函数表达式为$\boldsymbol{y=\frac{12}{x}}$；
(2) 点$C$的坐标为$\boldsymbol{(2,6)}$，直线$l$平移的距离为$\boldsymbol{\frac{20}{3}}$。
【知识点】
待定系数法求解析式、反比例函数对称性、一次函数平移
【点评】
本题是一次函数与反比例函数的综合题，第一问属于基础题，考查待定系数法的基础应用；第二问需要结合角相等的条件，通过构造全等三角形或利用函数对称性确定未知点坐标，较好地考查了数形结合思想和几何推理能力。
【难度系数】
0.6
12 新考法[2025重庆中考]如图,点O为矩形ABCD的对角线AC的中点,AB=3,BC=4.E,F是AC上的点(E,F均不与A,C重合),且AE=CF,连接BE,DF.用x表示线段AE的长度,点E与点F的距离为$y_1$.矩形ABCD的面积为S,$△ ABE$的面积为$S_1$,$△ CDF$的面积为$S_2$,$y_2=\frac{S}{S_1+S_2}$.
(1)请直接写出$y_1,y_2$分别关于x的函数表达式,并写出自变量x的取值范围;
(2)在给定的平面直角坐标系中画出函数$y_1,y_2$的图象,并分别写出函数$y_1,y_2$的一条性质;
(3)结合函数图象,请直接写出$y_1＜y_2$时x的取值范围(近似值保留小数点后一位,误差不超过0.2).
(1)请直接写出$y_1,y_2$分别关于x的函数表达式,并写出自变量x的取值范围;
(2)在给定的平面直角坐标系中画出函数$y_1,y_2$的图象,并分别写出函数$y_1,y_2$的一条性质;
(3)结合函数图象,请直接写出$y_1＜y_2$时x的取值范围(近似值保留小数点后一位,误差不超过0.2).
答案
(1)$y_1=\begin{cases}5-2x(0＜x≤\frac{5}{2}),\\2x-5(\frac{5}{2}＜x＜5),\end{cases}$ $y_2=\frac{5}{x}(0＜x＜5)$.
∵O为矩形ABCD的对角线AC的中点,$AB=3$,$BC=4$,
∴$∠ ABC=90°$,
∴$AC=\sqrt{AB^2+BC^2}=5$,
∴$AO=CO=\frac{5}{2}$.当$0＜x≤\frac{5}{2}$时,$AE=CF=x$,
∴$y_1=EF=AC-AE-CF=5-x-x=5-2x$;当$\frac{5}{2}＜x＜5$时,$AE=CF=x$,
∴$y_1=EF=AE+CF-AC=x+x-5=2x-5$,
∴$y_1=\begin{cases}5-2x(0＜x≤\frac{5}{2}),\\2x-5(\frac{5}{2}＜x＜5).\end{cases}$如图
,过点B作$BM⊥ AC$于点M.∵$S_{△ ABC}=\frac{1}{2}AB· BC=\frac{1}{2}AC· BM$,
∴$BM=\frac{AB· BC}{AC}=\frac{12}{5}$,
∴$△ ABE$的面积$S_1=\frac{1}{2}AE· BM=\frac{1}{2}x×\frac{12}{5}=\frac{6}{5}x$,同理可得$△ CDF$的面积$S_2=\frac{6}{5}x$.又
∵矩形ABCD的面积$S=3×4=12$,
∴$y_2=\frac{S}{S_1+S_2}=\frac{12}{\frac{6}{5}x+\frac{6}{5}x}=\frac{5}{x}$,
∴$y_2=\frac{5}{x}(0＜x＜5)$.(2)作图如图
.性质:当$0＜x≤\frac{5}{2}$时,$y_1$随x的增大而减小;当$\frac{5}{2}＜x＜5$时,$y_1$随x的增大而增大(函数$y_1$的性质不唯一).当$0＜x＜5$时,$y_2$随x的增大而减小.(3)结合函数图象,可得$y_1＜y_2$时x的取值范围为$0＜x＜3.3$(或$0＜x＜3.1$或$0＜x＜3.2$或$0＜x＜3.4$或$0＜x＜3.5$).解析
【分析】
解答本题可按以下思路思考：
1. 求解(1)问：首先利用勾股定理计算矩形对角线AC的长度，再根据AE=CF=x，以AC中点O为分界，分E在O左侧、右侧两种情况表示线段EF的长度得到$y_1$的表达式；再通过等面积法求出AC边上的高，分别计算△ABE、△CDF的面积，结合矩形面积推导$y_2$的表达式，同时根据E、F均不与A、C重合确定x的取值范围。
2. 求解(2)问：根据(1)得到的函数表达式，分段描点画出$y_1$的图象，画出反比例函数$y_2$在0＜x＜5范围内的图象，再从增减性、最值等角度归纳两个函数的性质。
3. 求解(3)问：找到两个函数图象交点的横坐标，结合图象判断$y_1$位于$y_2$下方时对应的x的取值范围即可。
【解析】
(1)
∵四边形ABCD是矩形，AB=3，BC=4，∠ABC=90°，
∴由勾股定理得$AC=\sqrt{AB^2+BC^2}=\sqrt{3^2+4^2}=5$。
∵AE=CF=x，且E、F均不与A、C重合，
∴0＜x＜5：
①当$0＜x≤\frac{5}{2}$时，点E在O左侧、点F在O右侧，两点未重合，
∴$y_1=EF=AC-AE-CF=5-x-x=5-2x$；
②当$\frac{5}{2}＜x＜5$时，E、F重合后分别向C、A方向移动，
∴$y_1=EF=AE+CF-AC=x+x-5=2x-5$。
过点B作$BM⊥AC$于点M，
∵$S_{△ABC}=\frac{1}{2}AB·BC=\frac{1}{2}AC·BM$，
代入数值得$\frac{1}{2}×3×4=\frac{1}{2}×5×BM$，解得$BM=\frac{12}{5}$。
∴$△ABE$的面积$S_1=\frac{1}{2}·AE·BM=\frac{1}{2}x×\frac{12}{5}=\frac{6}{5}x$，
同理可得$△CDF$的面积$S_2=\frac{6}{5}x$。
又
∵矩形ABCD的面积$S=3×4=12$，
∴$y_2=\frac{S}{S_1+S_2}=\frac{12}{\frac{6}{5}x+\frac{6}{5}x}=\frac{5}{x}$。
(2) 按照函数表达式描点作图，结果如图。
函数$y_1$的性质可从增减性、最值角度描述，比如：当$0＜x≤\frac{5}{2}$时，$y_1$随x的增大而减小；当$\frac{5}{2}＜x＜5$时，$y_1$随x的增大而增大。
函数$y_2$的性质可从增减性描述：当$0＜x＜5$时，$y_2$随x的增大而减小。
(3) 联立$\begin{cases}y=2x-5\\y=\frac{5}{x}\end{cases}$（交点位于$x＞\frac{5}{2}$区间），整理得$2x^2-5x-5=0$，
解得正根$x=\frac{5+\sqrt{65}}{4}\approx3.3$，结合图象可得$y_1＜y_2$时x的取值范围为$0＜x＜3.3$（误差不超过0.2即可）。
【答案】
(1)$y_1=\begin{cases}5-2x(0＜x≤\frac{5}{2}),\\2x-5(\frac{5}{2}＜x＜5),\end{cases}$ $y_2=\frac{5}{x}(0＜x＜5)$。
(2) 作图如图。$y_1$性质示例：当$0＜x≤\frac{5}{2}$时，$y_1$随x的增大而减小，当$\frac{5}{2}＜x＜5$时，$y_1$随x的增大而增大；$y_2$性质示例：当$0＜x＜5$时，$y_2$随x的增大而减小。
(3)$0＜x＜3.3$(或$0＜x＜3.1$或$0＜x＜3.2$或$0＜x＜3.4$或$0＜x＜3.5$)。
【知识点】
勾股定理；分段函数；反比例函数的图象与性质
【点评】
本题结合矩形的性质，综合考查了函数表达式求解、图象绘制及性质应用，同时渗透了分类讨论、数形结合的数学思想，解题时注意分类讨论E点的位置，结合函数图象求解不等式更为直观。
【难度系数】
0.6
解答本题可按以下思路思考：
1. 求解(1)问：首先利用勾股定理计算矩形对角线AC的长度，再根据AE=CF=x，以AC中点O为分界，分E在O左侧、右侧两种情况表示线段EF的长度得到$y_1$的表达式；再通过等面积法求出AC边上的高，分别计算△ABE、△CDF的面积，结合矩形面积推导$y_2$的表达式，同时根据E、F均不与A、C重合确定x的取值范围。
2. 求解(2)问：根据(1)得到的函数表达式，分段描点画出$y_1$的图象，画出反比例函数$y_2$在0＜x＜5范围内的图象，再从增减性、最值等角度归纳两个函数的性质。
3. 求解(3)问：找到两个函数图象交点的横坐标，结合图象判断$y_1$位于$y_2$下方时对应的x的取值范围即可。
【解析】
(1)
∵四边形ABCD是矩形，AB=3，BC=4，∠ABC=90°，
∴由勾股定理得$AC=\sqrt{AB^2+BC^2}=\sqrt{3^2+4^2}=5$。
∵AE=CF=x，且E、F均不与A、C重合，
∴0＜x＜5：
①当$0＜x≤\frac{5}{2}$时，点E在O左侧、点F在O右侧，两点未重合，
∴$y_1=EF=AC-AE-CF=5-x-x=5-2x$；
②当$\frac{5}{2}＜x＜5$时，E、F重合后分别向C、A方向移动，
∴$y_1=EF=AE+CF-AC=x+x-5=2x-5$。
过点B作$BM⊥AC$于点M，
∵$S_{△ABC}=\frac{1}{2}AB·BC=\frac{1}{2}AC·BM$，
代入数值得$\frac{1}{2}×3×4=\frac{1}{2}×5×BM$，解得$BM=\frac{12}{5}$。
∴$△ABE$的面积$S_1=\frac{1}{2}·AE·BM=\frac{1}{2}x×\frac{12}{5}=\frac{6}{5}x$，
同理可得$△CDF$的面积$S_2=\frac{6}{5}x$。
又
∵矩形ABCD的面积$S=3×4=12$，
∴$y_2=\frac{S}{S_1+S_2}=\frac{12}{\frac{6}{5}x+\frac{6}{5}x}=\frac{5}{x}$。
(2) 按照函数表达式描点作图，结果如图
。函数$y_1$的性质可从增减性、最值角度描述，比如：当$0＜x≤\frac{5}{2}$时，$y_1$随x的增大而减小；当$\frac{5}{2}＜x＜5$时，$y_1$随x的增大而增大。
函数$y_2$的性质可从增减性描述：当$0＜x＜5$时，$y_2$随x的增大而减小。
(3) 联立$\begin{cases}y=2x-5\\y=\frac{5}{x}\end{cases}$（交点位于$x＞\frac{5}{2}$区间），整理得$2x^2-5x-5=0$，
解得正根$x=\frac{5+\sqrt{65}}{4}\approx3.3$，结合图象可得$y_1＜y_2$时x的取值范围为$0＜x＜3.3$（误差不超过0.2即可）。
【答案】
(1)$y_1=\begin{cases}5-2x(0＜x≤\frac{5}{2}),\\2x-5(\frac{5}{2}＜x＜5),\end{cases}$ $y_2=\frac{5}{x}(0＜x＜5)$。
(2) 作图如图
。$y_1$性质示例：当$0＜x≤\frac{5}{2}$时，$y_1$随x的增大而减小，当$\frac{5}{2}＜x＜5$时，$y_1$随x的增大而增大；$y_2$性质示例：当$0＜x＜5$时，$y_2$随x的增大而减小。(3)$0＜x＜3.3$(或$0＜x＜3.1$或$0＜x＜3.2$或$0＜x＜3.4$或$0＜x＜3.5$)。
【知识点】
勾股定理；分段函数；反比例函数的图象与性质
【点评】
本题结合矩形的性质，综合考查了函数表达式求解、图象绘制及性质应用，同时渗透了分类讨论、数形结合的数学思想，解题时注意分类讨论E点的位置，结合函数图象求解不等式更为直观。
【难度系数】
0.6
