1 如图,在平面直角坐标系中,已知点$A(2,4)$,过点A作$AB⊥x$轴于点B,以坐标原点O为位似中心,将$△ AOB$缩小为原图形的$\frac{1}{2}$得到$△ COD$,则CD的长是 ()

A.1
B.2
C.$2\sqrt{5}$
D.$\sqrt{5}$

根据题意,得△COD∽△AOB,相似比是$\frac{1}{2}.∵$点$A(2,4),∴ AB = 4,∴ CD = \frac{1}{2}AB= 2$. 故选B.

【分析】
解题时首先回忆位似图形的性质：位似图形是特殊的相似图形，对应边成比例，比例等于位似比。本题中△COD是△AOB按位似比$\frac{1}{2}$缩小得到的，CD和AB是一组对应边，因此只需要先求出AB的长度，再结合位似比即可求出CD的长度。
【解析】
∵ 以原点O为位似中心，将△AOB缩小为原图形的$\frac{1}{2}$得到△COD，
∴ △COD∽△AOB，且相似比为$\frac{1}{2}$，
∵ AB⊥x轴，点A的坐标为$(2,4)$，
∴ AB的长度为点A的纵坐标值，即$AB=4$，
∵ CD与AB是对应边，
∴ $\frac{CD}{AB}=\frac{1}{2}$，
∴ $CD=\frac{1}{2}AB=\frac{1}{2}×4=2$。
故选B。
【答案】
B
【知识点】
位似的性质，相似三角形的性质，坐标与线段长度
【点评】
本题属于基础题型，解题的关键是掌握位似图形的相似比等于对应边的比，结合平面直角坐标系中点的坐标特征求出对应边的长度即可求解。
【难度系数】
0.8

2 如图，在平面直角坐标系中，正方形ABCD与正方形BEFG是以原点O为位似中心的位似图形，且相似比为$\frac{1}{3}$，点A，B，E在x轴上，若正方形BEFG的边长为6，则D点坐标为（）

A.$( \frac{1}{2},2 )$
B.$( \frac{1}{3},1 )$
C.$(1,2)$
D.$( \frac{1}{4},2 )$

∵ 正方形ABCD与正方形BEFG是以原点O为位似中心的位似图形,且相似比为$\frac{1}{3}$,
∴ $\frac{AD}{BG}=\frac{1}{3},AD// BG.∵ BG=6,∴ AD=AB=2.∵ AD// BG,$
∴ 易证$△OAD ∽ △OBG,∴ \frac{OA}{OB}=\frac{AD}{BG}=\frac{1}{3}$,即$\frac{OA}{OA+2}=\frac{1}{3}$, 解得$OA = 1,∴ D$点坐标为$(1,2)$,故选C.

【分析】
解题思路如下：第一步，根据位似图形的相似比，结合大正方形BEFG的边长，先求出小正方形ABCD的边长；第二步，由位似图形对应边平行的性质，可证得△OAD与△OBG相似，利用相似三角形对应边成比例的性质列出关于OA长度的方程，求解得到OA的长；第三步，结合D点的横纵坐标分别等于OA的长和小正方形的边长，即可得到D点坐标。
【解析】
∵ 正方形ABCD与正方形BEFG是以原点O为位似中心的位似图形，且相似比为$\frac{1}{3}$，
∴ $\frac{AD}{BG}=\frac{1}{3}$，且$AD// BG$。
∵ 正方形BEFG的边长$BG=6$，
∴ 正方形ABCD的边长$AD=AB=6×\frac{1}{3}=2$。
∵ $AD// BG$，
∴ $△ OAD ∽ △ OBG$，
∴ $\frac{OA}{OB}=\frac{AD}{BG}=\frac{1}{3}$。
又
∵ $OB=OA+AB=OA+2$，代入比例式得：
$\frac{OA}{OA+2}=\frac{1}{3}$，
解得$3OA=OA+2$，即$OA=1$。
∵ D点横坐标等于OA的长度，纵坐标等于AD的长度，
∴ D点坐标为$(1,2)$，故选C。
【答案】
C
【知识点】
位似图形的性质；相似三角形的判定与性质；正方形的性质
【点评】
本题将位似变换、相似三角形和正方形的性质相结合，考查平面直角坐标系中点的坐标求解，解题的核心是利用位似的性质得到相似三角形，通过列比例式计算相关线段长度，解题思路清晰，属于基础题型。
【难度系数】
0.7

3[2026江苏盐城质检]如图，$△ ABP$的两个顶点$B,P$在$x$轴上，顶点$A$在$x$轴的上方，以点$P$为位似中心画一个$△ CDP$，使它与$△ ABP$位似，已知点$B,P,D$的横坐标分别为$-3,-1$和$3$.
(1)$△ ABP$与$△ CDP$的相似比为；
(2)若点$A$的纵坐标为$a$，则点$C$的纵坐标为.

（第3题图）
（第4题图）

(1)
∵ 点 B,P,D 的横坐标分别为-3,-1 和 3,
∴ BP=2,PD=4,
∴ $\frac{BP}{PD}=\frac{1}{2}$,
∴ △ABP 与 △CDP 的相似比为$\frac{1}{2}$. 故答案为$\frac{1}{2}$.
(2)根据题意,作出 △CDP 如图所示,过点 C 作 CM ⊥ x 轴于点 M,过点 A 作 AN ⊥ x 轴于点 N,由(1)可知,△ABP 与 △CDP 的相似比为$\frac{1}{2},∴ \frac{AN}{CM}=\frac{1}{2}$.
∵ 点 A 的纵坐标为 a,
∴ AN=a,
∴ CM=2a.
∵ 点 C 在第四象限,
∴ 点 C 的纵坐标为-2a. 故答案为-2a.

【分析】
(1) 求位似三角形的相似比，可利用位似图形相似比等于对应边的比这一性质求解：由于B、P、D都在x轴上，通过三点的横坐标可直接计算出对应边BP、PD的长度，二者的比值即为△ABP与△CDP的相似比。
(2) 求点C的纵坐标，可通过构造垂线得到两个相似的直角三角形：位似图形对应高的比等于相似比，先结合点A的纵坐标算出点C到x轴的距离，再根据点C所在的象限判断纵坐标的符号，即可得到结果。
【解析】
(1) 已知点B、P、D的横坐标分别为$-3$、$-1$、$3$，
则$BP=|-1-(-3)|=2$，$PD=|3-(-1)|=4$，
因此$\frac{BP}{PD}=\frac{2}{4}=\frac{1}{2}$，即△ABP与△CDP的相似比为$\frac{1}{2}$。
(2) 过点A作$AN⊥ x$轴于点N，过点C作$CM⊥ x$轴于点M，如图所示：

由位似的性质可知$△ ABP ∽ △ CDP$，相似比为$\frac{1}{2}$，因此对应高的比$\frac{AN}{CM}=\frac{1}{2}$。
∵ 点A的纵坐标为$a$，且A在x轴上方，
∴ $AN=a$，
代入得$\frac{a}{CM}=\frac{1}{2}$，解得$CM=2a$。
又
∵ 点C在第四象限，纵坐标为负，因此点C的纵坐标为$-2a$。
【答案】
(1) $\frac{1}{2}$
(2) $-2a$

【知识点】
位似的性质、坐标计算、相似比
【点评】
本题考查位似图形的基础计算，解题核心是掌握位似图形的相似比等于对应边、对应高的比，同时要注意结合点所在的象限判断坐标的符号，属于基础题。
【难度系数】
0.8

4 如图,在直角坐标系中,正方形ABCD的边BC在x轴上,其中点A的坐标为(1,2),正方形EFGH的边FG在x轴上,且H的坐标为(9,4),则正方形ABCD与正方形EFGH的位似中心的坐标是.

如图(1),连接 HD 并延长交 x 轴于点 P,则点 P 为位似中心.
∵ 四边形 ABCD 为正方形,点 A 的坐标为(1,2),
∴ 点 D 的坐标为(3,2).
∵ DC//HG,
∴ 易证 △PCD ∽ △PGH,
∴ $\frac{PC}{PG}=\frac{CD}{HG}$,即$\frac{OP+3}{OP+9}=\frac{2}{4}$, 解得 OP=3,
∴ 正方形 ABCD 与正方形 EFGH 的位似中心的坐标是(-3,0).

如图(2),连接 CE,DF 交于点 P',则点 P' 为位似中心. 由题意得 C(3,0),E(5,4),D(3,2),F(5,0),则易求出 DF 所在直线表达式为 y=-x+5,CE 所在直线表达式为 y= 2x-6. 联立两个表达式得
$\begin{cases} y=-x+5, \\ y=2x-6, \end{cases}$解得$\begin{cases} x=\frac{11}{3}, \\ y=\frac{4}{3}, \end{cases}$
∴ DF,CE 的交点 P' 的坐标为$(\frac{11}{3},\frac{4}{3})$,
∴ 正方形 ABCD 与正方形 EFGH 的位似中心的坐标是$(\frac{11}{3},\frac{4}{3})$. 故答案为$(-3,0)或(\frac{11}{3},\frac{4}{3})$.

【分析】
位似中心是位似图形对应顶点连线的公共交点，本题需分两种情况讨论：①位似中心在两个正方形的左侧x轴上，此时D与H、A与E等对应顶点连线的交点在x轴负半轴；②位似中心在两个正方形之间，此时C与E、D与F等对应顶点连线的交点在两正方形内部区域。结合正方形坐标特征，分别用相似三角形性质、一次函数交点计算即可求出两种情况的位似中心坐标。
【解析】
分两种情况求解：
情况1：位似中心在两个正方形左侧，如图(1)，连接HD并延长交x轴于点P，点P即为位似中心。
∵正方形ABCD的点A坐标为(1,2)，
∴正方形边长为2，可得D(3,2)，C(3,0)；
∵正方形EFGH的点H坐标为(9,4)，
∴正方形边长为4，可得G(9,0)。
∵DC//HG，
∴△PCD∽△PGH，因此$\frac{PC}{PG}=\frac{CD}{HG}$。
设OP长度为$x$（P在x轴负半轴），则$PC=x+3$，$PG=x+9$，代入得$\frac{x+3}{x+9}=\frac{2}{4}$，解得$x=3$，即P点坐标为$(-3,0)$。

情况2：位似中心在两个正方形之间，如图(2)，连接CE、DF，两直线交点$P'$即为位似中心。
由已知坐标可得C(3,0)、E(5,4)、D(3,2)、F(5,0)：
设DF所在直线解析式为$y=kx+b$，代入D、F坐标得$\begin{cases}3k+b=2 \\5k+b=0 \end{cases}$，解得$\begin{cases}k=-1 \\b=5 \end{cases}$，即$y=-x+5$；
设CE所在直线解析式为$y=mx+n$，代入C、E坐标得$\begin{cases}3m+n=0 \\5m+n=4 \end{cases}$，解得$\begin{cases}m=2 \\n=-6 \end{cases}$，即$y=2x-6$。
联立两个解析式$\begin{cases}y=-x+5 \\y=2x-6 \end{cases}$，解得$\begin{cases}x=\frac{11}{3} \\y=\frac{4}{3} \end{cases}$，即$P'$坐标为$(\frac{11}{3},\frac{4}{3})$。

【答案】
$(-3,0)$或$(\frac{11}{3},\frac{4}{3})$
【知识点】
位似图形的性质，相似三角形的应用，一次函数交点求解
【点评】
本题重点考查分类讨论思想，需注意位似中心存在两种位置情况，避免漏解，解题过程结合了正方形坐标特征、相似性质和一次函数相关知识，综合性较强。
【难度系数】
0.6

5[2025山东潍坊期末]如图所示,在平面直角坐标系中,有两点$A(4,2)$,$B(3,0)$,以原点为位似中心,$A'B'$与$AB$的相似比为$\frac{1}{2}$,得到线段$A'B'$.正确的画法是 ()

画出图形,如图所示. 故选 D.

【分析】
解题时首先明确题干条件：位似中心为原点，$A'B'$与$AB$的相似比为$\frac{1}{2}$。首先回忆平面直角坐标系中位似变换的坐标规律：以原点为位似中心的位似变换，相似比为$k$时，原图形上的点$(x,y)$对应的位似点坐标为$(kx,ky)$（与原图形在位似中心同侧）或$(-kx,-ky)$（与原图形在位似中心异侧），因此本题存在两种位似图形的情况。我们可以先计算$A$、$B$对应点的坐标，再结合“位似图形对应点连线均经过位似中心”的性质，逐一比对选项即可选出正确答案。
【解析】
已知点$A(4,2)$，$B(3,0)$，以原点为位似中心，相似比为$\frac{1}{2}$，分两种情况计算对应点坐标：
1. 当位似图形与原图形在原点同侧时：
$A'$的坐标为$(4×\frac{1}{2},2×\frac{1}{2})=(2,1)$，$B'$的坐标为$(3×\frac{1}{2},0×\frac{1}{2})=(1.5,0)$；
2. 当位似图形与原图形在原点异侧时：
$A'$的坐标为$(4×(-\frac{1}{2}),2×(-\frac{1}{2}))=(-2,-1)$，$B'$的坐标为$(3×(-\frac{1}{2}),0×(-\frac{1}{2}))=(-1.5,0)$。
结合位似图形的性质：所有对应点连线均经过位似中心（原点），逐一比对选项，只有D选项符合上述两种位似图形的特征，故选D。
【答案】
画出图形,如图所示. 故选 D.

【知识点】
位似变换的坐标规律，位似图形的性质
【点评】
本题考查平面直角坐标系中的位似变换，解题的关键是牢记以原点为位似中心时，位似图形存在位于位似中心同侧、异侧两种情况，避免因漏解错选，通过计算对应点坐标即可快速判断正确选项。
【难度系数】
0.7

6[2026广东深圳期中]如图,在边长为1的小正方形组成的网格中,△AOB的顶点都在格点上,点A,B的坐标分别为(2,8),(6,6).请按要求完成下列问题:

(1)以点O为位似中心,在网格内画出△P₁OP₂,使△P₁OP₂与△AOB位似,且相似比为1:2;
(2)△P₁OP₂的面积为;
(3)点P₃是△AOB边上的格点(不与顶点重合),若△P₁P₂P₃与△AOB相似,则点P₃的坐标为.

(1)如图(1),△P₁OP₂ 即为所求.

(2)△P₁OP₂ 的面积为 $3×4-\frac{1}{2}×1×4-\frac{1}{2}×1×2-\frac{1}{2}×3×3=\frac{9}{2}$,故答案为$\frac{9}{2}$.
(3)如图(2),△P₁P₂P₃ 与 △AOB 相似时,点 P₃ 的坐标为(4,7),故答案为(4,7).

【分析】
(1) 位似作图首先明确位似中心为原点O，相似比为1:2，要求在网格内作图，因此取与△AOB同侧的位似图形，将A、B的横纵坐标分别乘以$\frac{1}{2}$即可得到对应点$P_1$、$P_2$的坐标，描点后顺次连接O、$P_1$、$P_2$即可得到所求图形。
(2) 求△$P_1OP_2$的面积可使用割补法：将三角形置于矩形中，用矩形面积减去周围三个直角三角形的面积；也可先算原△AOB的面积，根据位似图形面积比等于相似比的平方直接计算。
(3) 已知$P_1$、$P_2$分别是OA、OB的中点，要使△$P_1P_2P_3$与△AOB相似，根据中位线性质，取AB的中点作为$P_3$即可满足三边对应成比例，再用中点坐标公式计算$P_3$的坐标。
【解析】
(1) 位似中心为原点O，相似比为$1:2$，对应点坐标为原坐标乘以$\frac{1}{2}$：
点A(2,8)的对应点$P_1$坐标为$(2×\frac{1}{2},8×\frac{1}{2})=(1,4)$，
点B(6,6)的对应点$P_2$坐标为$(6×\frac{1}{2},6×\frac{1}{2})=(3,3)$，
描出$P_1$、$P_2$，顺次连接O、$P_1$、$P_2$，得到△$P_1OP_2$。
(2) 用割补法计算面积：
将△$P_1OP_2$置于长为4、宽为3的矩形中，
$S_{△ P_1OP_2}=3×4-\frac{1}{2}×1×4-\frac{1}{2}×1×2-\frac{1}{2}×3×3=12-2-1-\frac{9}{2}=\frac{9}{2}$。
(3) 取AB的中点作为$P_3$，此时△$P_1P_2P_3$三边分别为△AOB三边的$\frac{1}{2}$，三边对应成比例，两三角形相似。
根据中点坐标公式，$P_3$横坐标为$\frac{2+6}{2}=4$，纵坐标为$\frac{8+6}{2}=7$，且(4,7)是AB边上的格点，符合要求。
【答案】
(1) 如图(1),$△ P_{1}OP_{2}$ 即为所求.
(2) $\frac{9}{2}$
(3) 如图(2),点$P_3$的坐标为$(4,7)$.
【知识点】
平面直角坐标系中的位似变换，割补法求面积，相似三角形的判定
【点评】
本题综合考查位似作图、位似图形性质、网格面积计算和相似三角形判定，解题关键是掌握位似变换下坐标的变化规律，结合网格特点和相似性质分析计算，能有效巩固图形变换和相似的相关知识点。
【难度系数】
0.65